破解概率与统计大题.doc

miqing100概率与统计问题一．方法综述概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学知识解决问题．解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力．除以上过“三关”外，对于概率与统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关．本专题重点说明破解概率与统计问题的方法与技巧.二．解题策略类型一 过“文字关”——抓关键语句，破干扰信息【例1】【2019•新课标Ⅰ，21】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．证明：，1，2，，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）的所有可能取值为，0，1．，，，的分布列为： 0 1 （2）证明：，，由（1）得，，，．因此，2，，，故，即，又，，1，2，，为公比为4，首项为的等比数列；解：由可得，，，，．表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【指点迷津】1.此类问题文字叙述较长，解答问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解“无关信息”；(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例数字、字母等)；(3)明确题目所求内容．2. 本题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.【举一反三】【2020湖南浏阳一中第六次月考】随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：x12345y(万人)2050100150180（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.附：性回归方程中，.【解析】（1） 故 从而所以所求线性回归方程为，令，解得.故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人（2）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为,即.遥控车移到第（）格的情况是下列两种，而且也只有两种.①遥控车先到第格，又掷出奇数，其概率为②遥控车先到第格，又掷出偶数，其概率为所以， 当时，数列是公比为的等比数列以上各式相加，得 （）， 获胜的概率失败的概率设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为元，或X的期望参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约400元.类型二 过“图表关”——会转换信息，思解题方法【例2】【2019•新课标Ⅲ，理17】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中，的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【解析】（1）为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中，．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：．乙离子残留百分比的平均值为：．【指点迷津】从所给表格中正确提取解题所需要的信息是解决此类问题的关键．【举一反三】【2020届吉林长春十一中线上模拟】为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示．分组（单位：岁）频数频率5①②合计（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望．【解析】（1）①处填,②处填；补全频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在的人数为．（2）用分层抽样的方法,从中选取人,则其中“年龄低于岁”的有5人,“年龄不低于岁”的有人．由题意知,X的可能取值为0,1,2,且,,．∴X的分布列为：X012P∴．类型三 过“计算关”——明算理，精计算，防失分【例3】【2020四川内江模拟】基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2018.112018.122019.012019.022019.032019.04月份代码123456111316152021（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系.如果能，请计算出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的型车和800元/辆的型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表： 报废年限车型1年2年3年4年总计1030402010015403510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，，，.参考公式：相关系数，，.【解析】（1）由表格中数据可得，，.∵ .∴与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.，∴，∴关于的线性回归方程为.（2）这100辆款单车平均每辆的利润为（元），这100辆款单车平均每辆的利润为（元）．∴用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购款车型.【指点迷津】（1）在计算K2的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中n，a，b，c，d所表示的值．（2）利用最小二乘法求“”时，应注意避免计算出错．（3）计算随机变量的概率，往往涉及排列组合计算，易于出错，应特别细心.【举一反三】【2020届广东佛山顺德区第三次质检】为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望.附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2.【解析】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根据题意完善2×2列联表，如下；超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，用频率估计概率，从该校学生中随机调査60名学生，则X～B（60，），所以，k＝0，1，2，3，…，60；.三．强化训练1．【2020河北张家口一中期末】甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；P(ξ＝3)＝·a2＝.所以ξ的分布列为ξ0123P(1－a)2(1－a2)(。