2022年三角函数教材分析.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载第四章 三角函数教材分析 2006.3.3 三角函数是中学数学的重要内容之一,它的基础主要是几何中的相像形和圆,争论方法主要是 代数中的式子变形和图象分析,因此三角函数的争论已经初步把几何与代数联系起来了；本章所学 的学问内容,既是解决生产实际问题的工具,又是学习后继学问内容和高等数学的基础；本章教学时间约用36 课时,详细安排如下〔 仅供参考 〕 ：约 2 课时4.1 角的概念的推广4.2 弧度制约 2 课时4.3 任意角的三角函数约 2 课时4.4 同角三角函数的基本关系式约 2 课时4.5 正弦、余弦的诱导公式约 3 课时4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切约 7 课时4.7 二倍角的正弦、余弦、正切约 3 课时4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质约 4 课时4.9 函数 y=Asin〔 ω x+φ 〕 的图象约 3 课时4.10 正切函数的图象和性质约 2 课时4.11 已知三角函数值求角约 2 课时小结与复习约 4 课时 一、内容与要求 〔 一〕 本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱 导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数,以及三角函数的图象和性质,已知三角函数 值求角等；任意角的概念同角三角函数〕诱导公式三角函数式的的基本关系式任意角的两角和与差的恒等变形〔 求值、化简、证明）角的度量方法三角函数三角函数公式角度制与弧度制三角函数的二倍角的图象和性质三角函数公式函数 y=Asin〔 ω x+ 已知三角 函数值求角的图象 〔 二〕 章头引言支配了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积；这个问题可以用二次函数 来解决,但假如设角度为自变量,就会得到三角函数式,同学尚未学过求它的最大值；〔 三〕第一单元 是“ 任意角的三角函数”；第一推广了角的概念,介绍了弧度制,接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角 〔 都用坐标定义 〕 ,然后导出同角三角函数的基本关系式及正弦、余弦的诱导公式；而且教科书在本大节的各小节中,都支配了很多实例以及学问的应用；1.任意角,包括任意大小的正角、负角和零角,应当留意把握终边相同的角、象限角、轴上的角（限界角）等概念的联系与区分,要求能精确地表示,仍要留意与这些角有关的角的表示,如：已知角 α 是第几象限的角,求2、3角所在的象限和2α 角所在的位置；运用“ 整数集=奇数集∪偶 第 1 页,共 12 页 数集” 写出终边在x 轴或 y 轴上的角 α 的集合；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -留意：“ 角 α 的终边在优秀学习资料欢迎下载α 的终边在x 轴的正x 轴的非负半轴上” 的表达方式,与过去的说法“ 角半轴上” 的不同；角终边在x 轴的α =2kπ k ∈ Z角终边在α =kπ k ∈Z角 终 边 在α =k2 k ∈Z非负半轴上角终边在x 轴的α =π +2kπ k ∈Zx 轴上非正半轴上角终边在y 轴的α =2+2kπ k ∈Z角终边在α =2+kπ k ∈Z坐标轴上非负半轴上角终边在y 轴的α =3 2+2kπ k ∈ Zy 轴上非正半轴上2.由于任意角 α 的三角函数值仅与角α 的终边所在的位置有关,与其终边上的点的位置选取无关；而且三角函数的定义是同角三角函数关系式,乃至整章学问的基础,所以必需坚固把握任意角的三角函数的定义；要结合单位圆内的三角函数线,把握数形结合的数学思想方法解决三角函数问题；3.三角函数线： 单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示； 用三角函数线的数值来代替三角函数值要比由定义所规定的比值来求得三角函数值要直观得多,因此三角函数线是争论三角函数性质的一个重要工具,特殊是在求取值范畴、比较大小、解三角不等式等问题时,用三角函数线来求解非常简捷；另外,三角函数线又是绘制正弦曲线、正切曲线的基础； 4.诱导公式在三角函数求值、化简三角函数式、证明三角恒等式中起着重要的桥梁作用,肯定要 熟记在心；可以用“ 奇变偶不变,符号看象限” 或“ 纵变横不变,符号看象限” 来帮忙记忆；5.同角三角函数基本关系式,可用“ 正六边形记忆法”sin cos来记忆；当已知一个角的一个三角函数值时,可以依据“ 正六边形”图示来求出这个角的其他三角函数值,值得提示的是：应当首选倒数关系,尽量少用平方关系,由于用平方关系时,需要争论三角函数值的符号；〔 四〕 其次单元 是“ 两角和与差的三角函数”；先引入平tan 1cot面内两点间距离公式〔 只通过画图说明公式的正确性,不予严格证明 〕 ,用距离公式推出和角的余弦公式,然后顺次推 出其他公式,同时支配了这些公式的简洁应用和实际应用,包括解决引言中的实际问题,引出半角公式、 和差化积及积seccsc化和差公式让同学有所明白；1. 两角和与差的三角函数公式是本节全部公式（二倍角公式、半角公式以及万能公式、积化和 差公式与和差化积公式）的基础,在教学过程中,要将公式之间的内在联系讲透；既要重视公式的正向运用,也要重视公式的逆用与变形运用训练,提高公式的敏捷应用水平；2. 三角公式的主要运用是三角函数式的化简、求值及证明三角恒等式；在三角变换时要选准解决问题的突破口,要善于观看角的差异,留意拆角和拼角的技巧；观看函数名称的异同,留意切割化弦、化异为同的方法的选用；观看函数式结构的特点等； i ）留意把握以下几个三角恒等变形的常用方法和简洁技巧：1①常值代换, 特殊是 “ 1” 的代换, 如：1tgctg,1sin2cos2,1 2 cscctg2, 2 sectg2等等；②项的分拆与角的配凑；③降次与升次；④万能代换；ii ）对于形如asinbcos的式子,要引入帮助角tg并化成a2b2sin〔〕的形式,这 第 2 页,共 12 页 里帮助角所在的象限由a,b的符号打算,角的值由b a确定；对这种思想,务必强化训练,加深熟悉；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -iii优秀学习资料欢迎下载）三角函数的化简与求值的常用方法和技巧：①三角函数化简时,在题设的要求下,第一应合理利用有关公式,仍要尽量削减角的种数,尽 量削减三角函数种数,尽量化同角、化同名等；其他思想仍有：异次化同次、高次化低次、切割化 弦、特殊角三角函数与特殊值互化等；②三角函数的求值问题,主要有两种类型：一类是给角求值问题；另一类是给值求角问题；它 们都是通过恰当的变换,与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间 建立起联系；选用公式时应留意方向性、敏捷性,以制造出消项或约项的机会,简化问题； iv ）求三角函数值的常用方法有：⑴配方法；⑵化为一个角的三角函数；⑶数形结合法；⑷换 ；元法；⑸基本不等式法（学完第六章以后） 3. 在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要留意题设中角的范畴,并对 不同的象限分别求出相应的值；在应用诱导公式进行三角函数式的化简、求值时,应留意公式中符 号的选取；i ）关于三角函数式的简洁证明：三角恒等式的证明分为无附加条件和有附加条件两种,证明方 法敏捷多样；一般规律是从化简入手,适当变换,化繁为简,不过这里的变换目标要由所证恒等式 的特点来打算；①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法； ②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件,也就是要认真地寻 找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系；常用的方法是代入法和消元法；三角恒等式证明中的重点是把握等价转化的思想和变量代换的方法； 证明的关键是：发觉差异——观看等式两边角、函数、运算间的差异；查找联系——挑选恰当 公式,找出差异间的联系；合理转化促进联系,制造性地应用基本公式；ii ）关于角的恒等式或条件恒等式的证明,一般来说,要证f〔x〕,先证明,的同名三角函数值相等,即f〔〕f〔〕,再证明,在三角函数y的同一单调区间内,进而由函数的单调性得出； 4. 依据正弦函数、余弦函数的有界性,在求三角函数的最大值和最小值时,要留意挖掘题设中 的隐含条件,对于含有参数的问题,仍要留意参数的作用,该分类争论的就要分类争论； 5. 求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数 的单调性和有界性等；其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值；〔 五〕第三单元 是“ 三角函数的图象和性质” ；先利用正弦线画出函数 y sin x , x∈[0, 2 ] 的图象, 并依据 “ 终边相同的角有相同的三角函数值” ,把这一图象向左、 右平行移动, 得到正弦曲线；在此基础上,利用诱导公式,把正弦曲线向左平行移动 个单位长度,得到余弦曲线；接着依据这 2 两种曲线的外形和特点,争论了正弦、余弦函数的性质、正弦函数的简图的画法,以及 y=Asin〔 ω x+ 〕 的图象是如何由 y=sinx 的图象经过图象变换得到的,简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质； 最终表达了如何由已知三角函数值求角, 并引进了 arcsinx 、arccosx 、arctanx 等记号,以供遇到求角问题时用来表示答案；1. 三角函数的图象是三角函数及其性质的直观反映,是解决三角函数及其有关问题的重要工具；三角函数的性质是高考考查的重点,在讲课时,要使同学牢记三角函数的图象,并有意识地训练从 数形结合的角度去分析、解决问题（如：三角函数的图象的识别、特点（对称轴、对称中心）分析、变换（图象变换） 、依据图象写出三角函数的解析式）平面对量相结合,加强三角函数作为工具的应用意识；,仍要留意与其它学问的综合运用,特殊是与要将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“ 标准式” ,进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调区间等；对函数式作恒等变形时需特殊留意保持定义域的不变性；2.周期性是三角函数的特殊性质,求。