知识点归纳3三角恒等式.pdf

知识归纳 3-三角恒等式：（一）同角三角比的关系（一）同角三角比的关系111；cos；tancscseccotsincos2、商数关系： tan； cotcossin1、倒数关系：sin3、平方关系：sin2cos21；1 tan2 sec2；1cot2 csc2作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值六边形记忆法：六边形记忆法：以以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间上弦、中切、下割；左正、右余、中间 11的正六边形为模型的正六边形为模型同角三角比关系六角形记忆法同角三角比关系六角形记忆法六角形记忆法：六角形记忆法：1、倒数关系：对角线上两个三角比互为倒数2、商数关系：六边形任意一顶点上的三角比等于与它相邻的两个顶点上三角比的乘积3、平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角比的平方与等于下面顶点上的三角比的平方 二）诱导公式：（二）诱导公式：作用：作用： “去负脱周化锐”“去负脱周化锐” ，是对三角比的式子进行角变换的基本，是对三角比的式子进行角变换的基本思路思路1、利用诱导公式 2 将负角的三角比变为正角的三角函数去负；2、 利用诱导公式 1 的将任意角的三角比化为角度在区间0,2)内的三角第 1 页比脱周；3、利用其他诱导公式将上述三角比为锐角三角比化锐.同角三角函数的关系与诱导公式的运用：同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角比的值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论求任意角的三角函数值步骤：任意负角公式二、 任意正角 公式一0o360o角公式三、四、五、求值0o90o角已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个步骤： 确根据三角比的定义sin；cos；或tan，先取r 1，x, y的值由三角比的值确定根据所取的x, y或r的值确定角的终边所在的位置注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度： （3 3，4 4，5 5） ； （6 6，8 8，1010） ；（5 5，1212，1313） ； （8 8，1515，1717） ； （7 7，2424，2525）（三）两角与与差的正弦、余弦、正切公式（三）两角与与差的正弦、余弦、正切公式1、两角与与差的正弦第 2 页yrxryx2、两角与与差的余弦3、两角与与差的正切4、辅助角公式：asinbcos Asin其中Aa2b2，角满足cosaa2b2，sinba2b2常用的有：常用的有：sincos2sin4；sin3cos2sin3（四）二倍角的正弦、余弦、正切公式（四）二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦：sin2 2sincos2、二倍角的余弦：cos2 cos2sin2 2cos2112sin23、二倍角的正切：tan22tan1tan2注意：二倍角的正、余弦有如下运用：注意：二倍角的正、余弦有如下运用：4 、 降 次 扩 角 公 式 ：cos21cos21cos22；sin22sincos21sin2（五）半角的正弦、余弦、正切公式（五）半角的正弦、余弦、正切公式1、半角的正弦：sincos2 122、半角的余弦：cos 1cos223、半角的正切：tan2 1cos1cossin1cos1cossin（六）万能置换公式（六）万能置换公式形式形式 1 1：2tan1tan2sin2；cos2；2tantan21tan221tan221tan22第 3 页；1t22t2tcos如果令如果令tan t，则简单记为：，则简单记为：sin；tan2221t21t1t1tan22tan2tancos2形式形式 2 2：sin2；tan21 tan21 tan21tan2三角恒等变换解题规律：三角恒等变换解题规律：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换， 提高三角变换能力，要学会创设条件， 灵活运用三角公式， 掌握运算， 化简的方法与技能 常用的数学思想方法技巧如下：（1 1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的与差，倍半，互补，互余的关系，运相异角，可根据角与角之间的与差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：形如：2是是的二倍；的二倍；4是是2的二倍；的二倍；是是的二倍；的二倍； 2是是的的242二倍。

二倍2 ()()；或；或2()()等等44（2 2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数如）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名3 3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“为三角函数值，例如常数“1 1”的代换变形有：”的代换变形有：（4 4） 幂的变换：幂的变换： 降幂是三角变换时常用方法，降幂是三角变换时常用方法， 对次数较高的三角函数式，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法常用降幂公式有：一般采用降幂处理的方法常用降幂公式有：cos2第 4 页1cos2；2sin21cos2降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式21 cos常用升幂化为有理式，常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：常用升幂公式有：1cos 2cos22；1cos 2sin22（5 5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

逆用及变形应用如：如：1 tan1tan tan； tan；1tan1 tan44（6 6）三角函数式的化简运算通常从：）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幂”四方面入手；“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，与积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化化低次，无理化有理，与积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化第 5 页。