燕尾定理教师版.pdf

4-2-4 燕尾定理 题库 page 1 of 17 燕尾定理：燕尾定理： 在三角形在三角形ABC中，中，AD，，BE，，CF相交于同一点相交于同一点O，那么，那么:: ABOACO SSBD DC  ．． O F E D CB A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为为ABO和和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这的形状很象燕子的尾巴，所以这 个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. . 通过一道例题证明一下燕尾定理：通过一道例题证明一下燕尾定理： 如右图，如右图，D是是BC上任意一点，请你说明：上任意一点，请你说明： 1423 :::SSSSBD DC S3 S1S4 S2 E D C B A 【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底， 所以有 14 ::SSBD DC；三角形ABE与三角形EBD同高， 12 ::SSED EA；三角形ACE与三角形 CED同高， 43 ::SSED EA，所以 1423 ::SSSS；综上可得 1423 :::SSSSBD DC. 【例【例 1】】 （（20092009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是的面积是1，，E是是AC的中点，点的中点，点D在在 BC上，且上，且:1:2BD DC ，，AD与与BE交于点交于点F．则四边形．则四边形DFEC的面积等于的面积等于 ．． F E D C B A 3 3 3 21 F E D C B A A BC D E FF E D CB A 【解析】 方法一：连接CF， 根据燕尾定理， 1 2 ABF ACF SBD SDC  △ △ ，1 ABF CBF SAE SEC  △ △ , 例题精讲例题精讲 燕尾定理燕尾定理 4-2-4 燕尾定理 题库 page 2 of 17 设1 BDF S △ 份，则2 DCF S △ 份，3 ABF S △ 份，3 AEFEFC SS △△ 份，如图所标 所以 55 1212 DCEFABC SS △ 方法二：连接DE，由题目条件可得到 11 33 ABDABC SS △△ ， 1121 2233 ADEADCABC SSS △△△ ，所以 1 1 ABD ADE SBF FES  △ △ ， 1111111 22323212 DEFDEBBECABC SSSS △△△△ ， 而 211 323 CDEABC SS △△ ．所以则四边形DFEC的面积等于 5 12 ． 【巩固】如图，已知【巩固】如图，已知BDDC，，2ECAE，三角形，三角形ABC的面积是的面积是30，求阴影部分面积，求阴影部分面积. . D E F CB A D E F CB A D E F CB A 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步 判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它 进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF，因为BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是 30， 所以 1 10 3 ABEABC SS △△ ， 1 15 2 ABDABC SS △△ ． 根据燕尾定理， 1 2 ABF CBF SAE SEC  △ △ ，1 ABF ACF SBD SCD  △ △ , 所以 1 7.5 4 ABFABC SS △△ ，157.57.5 BFD S △ ， 所以阴影部分面积是30107.512.5． (法二)连接DE，由题目条件可得到 1 10 3 ABEABC SS △△ ， 112 10 223 BDEBECABC SSS △△△ ，所以 1 1 ABE BDE SAF FDS  △ △ ， 111111 2.5 223232 DEFDEAADCABC SSSS △△△△ ， 而 21 10 32 CDEABC SS △△ ．所以阴影部分的面积为12.5． 【巩固】 如图， 三角形【巩固】 如图， 三角形ABC的面积是的面积是 2 200cm，，E 在在AC上上， 点， 点D在在BC上， 且上， 且:3:5AE EC , ,:2:3BD DC ，， AD与与BE 交于点交于点F．则四边形．则四边形DFEC的面积等于的面积等于 ．． F E D C B A A BC D E FF E D CB A 【解析】 连接CF， 4-2-4 燕尾定理 题库 page 3 of 17 根据燕尾定理， 26 39 ABF ACF SBD SDC  △ △ ， 36 510 ABF CBF SAE SEC  △ △ , 设6 ABF S △ 份，则9 ACF S △ 份,10 BCF S △ 份， 545 9 358 EFC S   △ 份， 3 106 23 CDF S  △ 份， 所以 2 4545 200(6910)(6)8 (6)93(cm ) 88 DCFE S  【巩固】 如图， 已知【巩固】 如图， 已知3BDDC，，2ECAE，，BE与与CD相交于点相交于点O, ,则则ABC△被分成的被分成的4部分面积各占部分面积各占ABC△ 面积的几分之几？面积的几分之几？ O E D CB A 13.5 4.5 9 2 1 1 2 13 O E D CB A 【解析】 连接CO,设1 AEO S △ 份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830 ABC S  △ 份，所以四部 分按从小到大各占ABC△面积的 124.51393 13.59 ,,, 303060 30103020   【巩固】【巩固】( (2007年香港圣公会数学竞赛年香港圣公会数学竞赛) )如图所示，在如图所示，在ABC△中，中， 1 2 CPCB，， 1 3 CQCA，，BQ与与AP相交于相交于 点点X，若，若ABC△的面积为的面积为6，则，则ABX△的面积等于的面积等于 ．． X Q P AB C X Q P AB C 4 4 1 1 X Q P C B A 【解析】 方法一：连接PQ． 由于 1 2 CPCB， 1 3 CQCA，所以 2 3 ABQABC SS， 11 26 BPQBCQABC SSS． 由蝴蝶定理知， 21 :::4:1 36 ABQBPQABCABC AX XPSSSS， 所以 44122 62.4 55255 ABXABPABCABC SSSS． 方法二：连接CX设1 CPX S △ 份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1 144)42.4 ABX S  △ 【巩固】如图，三角形【巩固】如图，三角形ABC的面积是的面积是1，，2BDDC，，2CEAE，，AD与与BE相交于点相交于点F，请写出这，请写出这4部分部分 的面积各是多少的面积各是多少? ? A B C D E F 48 6 2 1 A B C D E F 【解析】 连接CF，设1 AEF S △ 份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以 4-2-4 燕尾定理 题库 page 4 of 17 1 21 AEF S △ , 62 217 ABF S △ , 8 21 BDF S △ , 242 217 FDCE S   【巩固】 如图，【巩固】 如图，E在在AC上，上，D在在BC上， 且上， 且:2:3AE EC , ,:1:2BD DC ，，AD与与BE交于点交于点F． 四边形． 四边形DFEC 的面积等于的面积等于 2 22cm，则三角形，则三角形ABC的面积的面积 ．． A B C D E F A B C D E F 2.4 1.6 2 A B C D E F 1 2 【解析】 连接CF,根据燕尾定理， 1 2 ABF ACF SBD SDC  △ △ ， 2 3 ABF CBF SAE SEC  △ △ , 设1 BDF S △ 份 ， 则2 DCF S △ 份 ，2 ABF S △ 份 ，4 AFC S △ 份 ， 2 41.6 23 AEF S  △ 份, 3 42.4 23 EFC S  △ 份,如图所标,所以22.44.4 EFDC S份,2349 ABC S △ 份 所以 2 224.4 945(cm ) ABC S  △ 【【巩固】三角形巩固】三角形ABC中，中，C是直角，已知是直角，已知2AC ，，2CD ，，3CB ，，AMBM，那么三角形，那么三角形AMN( (阴影阴影 部分部分) )的面积为多少？的面积为多少？ A BC D M N A BC D M N 【解析】 连接BN． ABC△的面积为3223 根据燕尾定理，::2:1ACNABNCD BD△△； 同理::1:1CBNCANBMAM△△ 设AMN△面积为 1 份，则MNB△的面积也是 1 份，所以ANB△的面积是1 12 份，而ACN△的 面积就是2 24份，CBN△也是 4 份，这样ABC△的面积为441 110  份，所以AMN△的 面积为3 10 10.3 ． 【巩固】【巩固】如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的面积是2平方厘米，平方厘米，2ECDE，，F是是DG的中点．阴影部分的面积是多少的中点．阴影部分的面积是多少 平方厘米平方厘米? ? x y y x A BC D EF G G FE D CB A 33 G F E D CB A 2 1 3 【解析】 设1 DEF S △ 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 55 1212 BCD SS △阴影 平方厘米. 【例【例 2】】 如图所示，在四边形如图所示，在四边形ABCD中，中，3ABBE，，3ADAF，四边形，四边形AEOF的面积是的面积是12，那么平行四边，那么平行四边 形形BODC的面积为的面积为________________．． 4-2-4 燕尾定理 题库 page 5 of 17 O F ED C B A 6 8 4 6 2 1 O F ED C B A 【解析】 连接,AO BD,根据燕尾定理::1:2 ABOBDO SSAF FD △△ ,::2:1 AODBOD SSAE BE △△ ,设 1 BEO S △ ,则其他图形面积，如图所标，所以22 1224 BODCAEOF SS. 【例【例 3】】 ABCD是边长为是边长为12厘米的正方形，厘米的正方形，E、、F分别是分别是AB、、BC边的中点，边的中点，AF与与CE交于交于G，则四边形，则四边形 AGCD的面积是的面积是_____________。