高中数学 第二章 数列复习教案 新人教b版必修5.doc

1第二章第二章 数列数列整体设计整体设计教学分析教学分析 本章知识网络本章复习建议本章教材的呈现方式决定了本章的复习方法，一方面让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用．数列可以看成是定义域为正整数集 N N* *(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们各有五个基本量：首项 a1、公差 d 或公比 q、项数 n、通项 an、前 n 项和 Sn；两个基本公式——通项公式和前n 项和公式将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线．本章的重点是等差和等比数列的基本性质及其应用，难点是等差和等比数列的基本性质的综合应用．因此注意等差、等比数列与相应函数的关系也就成了复习的重点．数列在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一．由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性．这就要求我们在数列复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握等差与等比数列的基本性质，帮助学生自我架构数列知识框架，提高综合运用数列知识和方法的能力．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心，应弄清通项公式的意义——项数 n 的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值，及对数列进行一般性的研究．数列的递推式是数列的另一种表达形式，常见方法有错位相2减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论．在处理这类问题的时候要注意项数．数列一章是高中多个数学知识点的交汇，也是多个数学思想方法的聚会，因此本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓展．本章小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题，在设计的例题中有所涉及．但仍不够，可再适当增加些．如三角形的三内角成等差数列等问题的探究．本章复习将分为两课时，第 1 课时重点是系统化本章知识结构，优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力；第 2 课时重点是灵活运用数列知识解决与数列有关的问题．为更好地理解教学内容，可借助信息技术复习本章内容．通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容．本章《新课程标准》要求是：1.数列的概念和简单表示法．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.2.等差数列、等比数列．(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．三维目标三维目标 1．通过本章复习，使学生理清本章知识网络，归纳整合知识系统，突出知识间内在联系，能用函数观点进一步认识数列．2．提高学生综合运用知识的能力，分析问题、解决问题的能力；培养学生自主复习及归纳的意识，激励学生思维创新．3．认识事物间的内在联系和相互转化，培养探索、创新精神．重点难点重点难点 教学重点：等差数列、等比数列的概念、通项、前 n 项和，及它们之间的内在联系；灵活应用数列知识解决问题．教学难点：用函数的观点认识数列并用数列知识灵活解决实际问题．课时安排课时安排 2 课时教教学学过过程程第第 1 1 课时课时3导入新课导入新课 思路 1.让学生阅读课本的小结内容．根据教材内容的呈现方式回答有关问题，同时也给学生以数列整体知识结构的记忆．由此展开新课．(幻灯片)思路 2.本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的研究，然后让学生根据本章学习的进程，回忆本章学习了哪些主要内容？用到了哪些思想方法？本章知识流程图留给学生自己操作．相比之下，这种引入对学生的思维要求较高，难度大，但却更能训练学生的创造性思维．教师可结合学生的活动出示相关多媒体课件．推进新课推进新课 Error!Error!1怎样理解函数与数列的关系？2回忆等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质各是什么？3回忆“叠加法” “累乘法” “倒序相加法” “错位相减法”的含义是什么？4对任意数列{an}，若前 n 项和为 Sn，则 an与 Sn具有怎样的关系？怎样理解这个关系式？它有哪些应用？活动：教师引导学生充分探究，自行总结，不要将归纳总结变成课堂上的独角戏，辅助课件可制成如下表格形式：数列等差数列等比数列定义通项公式递推公式性质4前 n 项和公式点拨学生注意，重新复习数列全章更应从函数角度来认识数列，这是学好数列、居高临下地把握数列的锦囊妙计．深刻认识数列中数的有序性是数列定义的灵魂．数列可以看成是定义域为正整数集 N N*(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时，对应的一列函数值．而数列的通项公式则是相应的函数解析式．反映到图象上，由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数，复习本章应突出数列的这一函数背景．对两类特殊数列——等差数列与等比数列的函数理解则是：等差数列是一次型函数，是最简单的递推数列；等比数列是指数型函数．它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题．关于等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式的推导方法以及“叠加法” “累乘法”等，可由学生回忆并进一步理解，这里不再一一列出．教师应特别引导学生关注 an与 Sn的关系．对于任何数列{an}，若前 n 项和为 Sn，则an＝Error! Error!常因忽略对 n＝1 的讨论或忽略 n≥2 这一条件而出错．这个关系式要深刻理解并灵活运用．用此关系式求 an时，若 S1满足 Sn－Sn－1的形式，则用统一的形式表示通项公式 an.若 S1不满足 Sn－Sn－1的形式，则分段表示通项公式 an.因此这个关系式的应用有两个方面：既可用此式求通项公式 an，又可将 an转化为 Sn－Sn－1的形式解决问题．应让学生明确用本章知识主要解决的问题是：①对数列概念(包括通项、递推等)理解的题目；②等差数列和等比数列中五个基本量 a1，an，d(q)，n，Sn知三求二的方程问题；③数列知识在生产实际和社会生活中的应用问题．讨论结果：(1)～(4)略．Error!例例 1 设{an}是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和，若{Sn}是等差数列，求 q 的值．活动：这是一道关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的题，起点比较低，5入手的路子宽．让学生独立思考，列式、求解，组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法．解法一：利用定义，∵{Sn}是等差数列，∴an＝Sn－Sn－1＝…＝S2－S1＝a2.∴a1·qn－1＝a1·q.∵a1≠0，∴qn－2＝1.∴q＝1.解法二：利用性质，∵{Sn}是等差数列，∴an＝Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＝an－1，a1·qn－1＝a1·qn－2.∵a1≠0，q≠0，∴q＝1.解法三：利用性质，∵2S2＝S1＋S3，∴2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，即 a2＝a3.∴q＝1.点评：还可以用求和公式、反证法等．变式训练设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，则 S15∶S5等于( )A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3答案：答案：A解析：解析：方法一：设等比数列的公比为 q，则S10＝S5＋S5·q5，S15＝S5＋S5·q5＋S5·q10，由 S10∶S5＝1∶2，得 1＋q5＝ ，q5＝－ ，1 21 2∴S15∶S5＝1＋q5＋q10＝ ＋ ＝ .1 21 43 4方法二：∵S10∶S5＝1∶2，∴S10＝ S5.1 2∵(S10－S5)2＝(S15－S10)S5，∴(－ S5)2＝(S15－ S5)S5.1 21 2∴＝ .S15 S53 4例例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2n＋4(n∈N N* *)．(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列 a2，a3，…，an，…是等差数列．活动：学生很容易解决第(1)题，第(2)题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键6是要注意条件中的“除去首项后” ．(1)解：a1＝S1＝7，a2＝S2－S1＝22＋2×2＋4－7＝5，a3＝S3－S2＝32＋2×3＋4－(7＋5)＝7，即 a1＝7，a2＝5，a3＝7.(2)证明：∵an＝Error!∴当 n＞1 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n＋4－[(n－1)2＋2(n－1)＋4]＝2n＋1.an＋1－an＝2(定值)，即数列{an}除去首项后所成的数列是等差数列．点评：注意书写步骤的规范，理解第(2)题中 n＞1 时的讨论，准确表达推理过程，理解重要关系式 an＝Error! Error!的应用．例例 3 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝12，S12＞0，S13＜0，(1)求公差 d 的取值范围；(2)指出 S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．活动：这是一道经典考题，很有训练价值．教师引导学生观察题目条件及结论，寻找解题的切入点，鼓励学生多角度思考．对于第(1)个问题，目标是关于 d 的范围的问题，故应当考虑到合理地选用等差数列的前 n 项和的哪一个公式．其次，条件 a3＝12 可以得出 a1与 d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少未知量的作用．在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于 d 的不等式．对第(2)个问题的思考，可以有较多的角度，让学生合作探究，充分挖掘题目中的条件，寻找更好的思路．积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法．教师收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程．解：(1)依题意有 S12＝12a1＋ ×12×11d＞0，S13＝13a1＋ ×13×12d＜0，1 21 2即 2a1＋11d＞0，①a1＋6d＜0.②由 a3＝12，得 a1＝12－2d，③将③式分别代入①②式，得 24＋7d＞0 且 3＋d＜0，∴－＜d＜－3 为所求．24 7(2)方法一：由(1)知 d＜0，∴a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在 1≤n≤12 中存在自然数 n，使得 an＞0，an＋1＜0，则 Sn就是 S1，S2，…，S12中的最大值．7由于 S12＝12a1＋ ×12×11d＝6(2a1＋11d)＝6(a6＋a7)1 2＞0，S13＝13a1＋ ×13×12d＝13(a1＋6d)＝13a7＜0，1 2∴a6＞0，a7＜0.故在 S1，S2，…，S12中，S6最大．方法二：Sn＝na1＋ n(n－1)d1 2＝n(12－2d)＋ (n2－n)d1 2＝ (n－)2－.d 25－24d 2d5－24d28∵d＜0，∴(n－)2最小时，Sn最大．5－24d 2而当－＜d＜－3 时，有 6＜＜6.5，且 n∈N N，24 75－24d 2∴当 n＝6 时，(n－)2最小，即 S6最大．5－24d 2方法三：由 d＜0，可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在 1≤n≤12 中存在自然数 n，使得 an＞0，an＋1＜0，则 Sn就是 S1，S2，…，S12中的最大值．由 S12＞0，S13＜0，有12a1＋ ×12×11d＞0a1＋5d＞－ ＞0；1 2d 213a1＋ ×13×12d＜0a1＋6d＜0。