中考教育数学培优易错难题含学习解析之二次函数含详细.docx

中考教育数学培优易错难题含学习解析之二次函数含详细答案1×2×4﹣×5×5=15．2M与O重合，所以抛物线向右平移了中考数学培优易错难题(含分析)之二次函数含详尽答案一、二次函数1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为极点，且过点B（2，﹣5）1）求该函数的关系式；2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′的B′面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【分析】【剖析】（1）已知了抛物线的极点坐标，可用极点式设该二次函数的分析式，而后将B点坐标代入，即可求出二次函数的分析式；（2）依据函数分析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点双侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．因为△OA′B不′规则，可用面积割补法求出△OA′B的′面积．【详解】（1）设抛物线极点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的分析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；2）令x=0，得y=3，所以抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左边），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），11∴S△OA′=B′×（2+5）×9﹣22【点睛】本题考察了用待定系数法求抛物线分析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．娴熟掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的重点.2．如图，对于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上能否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．恳求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M抵达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到哪处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒抵达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴（ 下方2个单位处．【分析】【剖析】1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再依据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行议论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别依据这三种状况求出点P的坐标；3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解2析式化为极点式，依据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，1bc0c3解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行议论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（ 3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M轴上方出发1秒抵达2个单位处或点D点时，△MNB面积最大，最大面积是N在对称轴上x轴下方2个单位处．1．此时点N在对称轴上x3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的极点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的分析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其对于原点的对称点坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．Q′也在抛物线上，求点Q的A，C，M，N为极点的四【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q（5，45）；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【分析】【剖析】(1)设极点式，再代入C点坐标即可求解分析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其对于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线分析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种状况分类议论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的分析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入获得a=﹣1，22令y=0，获得：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，获得：∴m=m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N是′平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考察了二次函数的应用，第3问中理解经过平移AC可应用“一组对边平行且相等”获得平行四边形.4．如图，过A1,0、B3,0作x轴的垂线，分别交直线yCD两点.抛物线4x于、yax2bxc经过O、C、D三点．1求抛物线的表达式；2点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问能否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为极点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明原因；3若VAOC沿CD方向平移(点C段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中VAOC与VOBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．【答案】（1）y4x213x；（2）3或332或332；（3）1．332223【分析】【剖析】1）利用待定系数法求出抛物线的分析式；2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为极点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|4x2﹣4x|；解方程|4x2﹣4x|=3，求出x33的值，即点M横坐标的值；1（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S（t﹣61）21；当t=1时，s有最大值为1．33【详解】（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．ab3a43，∵抛物线过原点，∴设抛物线的分析式为：y=ax2+bx，∴3b，解得9a113b3∴抛物线的表达式为：4x213yx．33（2）存在．设直线OD分析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k11，∴直线OD分析式为yx．33设点M的横坐标为x，则M（x，14213MN1x），N（x，xx），∴MN=|y﹣y|=|x﹣3333（4x213x）|=|4x2﹣4x|．333由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为极点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3，∴|4x2﹣4x|=3．3。