小学奥数：4-2-7 格点型面积.学生版.pdf

4-2-7.格点型面积4-2-7.格点型面积 例题精讲例题精讲 模块一、正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定 是 1 个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点在方格网中，以格点为顶 点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形 那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算 公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例 题的格点数 我们能发现如下规律：1 2 L SN这个规律就是毕克定理 毕克定理毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为1 2 L SN 【例【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？】 判断下列图形哪些是格点多边形？ 【例【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积】 如图，计算各个格点多边形的面积 【例【例 3】 如图】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积，计算这个格点多边形的面积 III II I (c)(b)(a) 【例【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积 1cm 1cm A BC D E F 【例【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积】 分别计算图中两个格点多边形的面积 【巩固】求下列各个格点多边形的面积【巩固】求下列各个格点多边形的面积 （1）（2）（3）（4） 【例【例 6】“乡村小屋乡村小屋”的面积是多少？的面积是多少？ 【例【例 7】 右图是一个】 右图是一个8 12面积单位的图形求矩形内的箭形面积单位的图形求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积的面积 H G F E D C B A 【例【例 8】 比较图中的两个阴影部分和的面积，它们的大小关系比较图中的两个阴影部分和的面积，它们的大小关系_ 【例【例 9】 右图中每个小正方形的面积都是】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只，那么图中这只“狗狗”所占的面积是多少？所占的面积是多少？ 【巩固】如图，每一个小方格的面积都是【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？ 【例【例 10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积 是 日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积 是1，那么，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？三个数字所占的面积之和是多少？ 【例【例 11】5 5的方格纸，小方格的面积是的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点请你在图上选平方厘米，小方格的顶点称为格点请你在图上选7个格点， 要求其中任意 个格点， 要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能 大那么，所围图形的面积是 个点用直线连接后所围成的面积尽可能 大那么，所围图形的面积是平方厘米平方厘米 【例【例 12】两个边长相等的正方形各被分成】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格现将这两个正方形的一部分重叠起来， 若左上角的阴影部分 个大小相同的小方格现将这两个正方形的一部分重叠起来， 若左上角的阴影部分(块状块状)面积为面积为 2 5.12cm，右下角的阴影部分，右下角的阴影部分(线状线状)面积为面积为 2 7.4cm，求大正方形 的面积 ，求大正方形 的面积 【例【例 13】将边长为正整数将边长为正整数n的正方形平均分成的正方形平均分成 2 n个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

例如：图个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点例如：图 A 中的格点是边长为中的格点是边长为2的正方形的格点图的正方形的格点图 B 中，在边长为中，在边长为 12 的正方形中有四个完全相同的直角三 角形如果三角形的一条直角边是 的正方形中有四个完全相同的直角三 角形如果三角形的一条直角边是 3，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？(每个格点只计 一次 每个格点只计 一次) （A）（B） 模块二、模块二、三角形格点问题 1、定义：、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“”或“”，所形成的三角形都是等边三角形规定它 的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形 2、公式：、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点 数，L表示图形周界上的格点数，那么有22SNL，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数 的2倍与周界上格点数的和减去2 【例【例 14】如图】如图(a)，有，有21个点，每相邻三个点成个点，每相邻三个点成“”或或“”，所形成的三角形都是等边三角形计算三角形，所形成的三角形都是等边三角形计算三角形 ABC的面积的面积 A B C D F E C B A (b)(a) H G R (c)(d) A B C E F D C B A 【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算的等边三角形，计算ABC的面积的面积 C B A 【例【例 15】求下列格点多边形的面积】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点每相邻三个点“”或或“”成面积为成面积为1的等边三角形的等边三角形) （1）（2）（3）（4） 【例【例 16】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网如果大三角形的面积是】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网如果大三角形的面积是128，求图中粗线 所围成的三角形的面积 ，求图中粗线 所围成的三角形的面积 【例【例 17】如图，如果每一个小三角形的面积是】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ D C B A A B C D 【例【例 18】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米 那么， 三角形平方厘米 那么， 三角形ABC的面积是的面积是_ 平方厘米平方厘米 模块三、模块三、构造格点进行解题 【例【例 19】图中正六边形】图中正六边形ABCDEF的面积是的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形，求阴影四边形CEPQ的面积的面积 A B CD E F Q PP Q F E DC B A 【例【例 20】正六边形】正六边形ABCDEF的面积是的面积是6平方厘米平方厘米M是是AB中点，中点，N是是CD中点，中点，P是是EF中点问：三角 形 中点问：三角 形MNP的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ SR Q A B CD E F N MPPM N F E DC B A 【例【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？ O P N M 【例【例 22】把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形再将这个 六角形的各个 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形再将这个 六角形的各个“角角”(即小正三角形即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样 就得到图所示的图形如果这个图形面积是 的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样 就得到图所示的图形如果这个图形面积是 1，那么原来的正三角形面积是多少，那么原来的正三角形面积是多少? 。