新教材苏教版高中数学必修第一册第5章函数概念与性质 知识点考点重点难点归纳总结.doc

第五章函数概念与性质5.1　函数的概念和图象 1第1课时　函数的概念 1第2课时　函数的图象 55.2　函数的表示方法 95.3　函数的单调性 16第1课时　函数的单调性 16第2课时　函数的最大值、最小值 195.4　函数的奇偶性 235.1　函数的概念和图象第1课时　函数的概念知识点1　函数的概念函数的定义一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．函数的值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域1.有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．这种看法对吗？[提示]　不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象，f是对应关系．知识点2　同一函数(1)定义域和对应关系都相同的两个函数. (2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．2.定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？[提示]　不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．考点 类型1　函数的概念【例1】　判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→；(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.[思路点拨]　求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．[解]　(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝＝3，即在对应关系f之下，B中有两个元素3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|∉B，故不能构成函数．(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故不能构成函数．(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．判断一个对应关系是否为函数的标准是什么？[提示]　(1)A、B必须是非空数集．(2)A中任何一个一元素在B中必须有元素与其对应．(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．总结：函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 类型2　求函数的定义域【例2】　求下列函数的定义域．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋.[解]　(1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，即f(x)的定义域为.(2)要使f(x)有意义，则⇒x≥－1且x≠2，即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 类型3　求函数的值域或函数值【例3】　已知f(x)＝x2－4x＋2.(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．[思路点拨]　(1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3))．[解]　(1)f(2)＝22－42＋2＝－2，f(a)＝a2－4a＋2，f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．(3)g(3)＝3＋1＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝42－44＋2＝2.在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．[解]　f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域． 类型4　抽象函数求定义域【例4】　(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为________．(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为________．1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？[提示]　f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？[提示]　y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．(1)[－1,2]　(2)[3,6]　(3)　[(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，即f(2x)的定义域为.]抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域．用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：①定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么)②括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)第2课时　函数的图象知识点1　函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．1.函数的图象是否可以关于x轴对称？[提示]　不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．2.函数y＝f(x)，x∈A的图象与直线x＝m(垂直于x轴的直线)的交点有几个？[提示]　0或1个，具体来说，当m∈A，由函数的定义，它们有唯一交点，当m∉A，它们无交点．知识点2　作图、识图与用图(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－.考点 类型1　作函数的图象【例1】　作出下列函数的图象，并求函数的值域．(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．[解]　(1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．由图象可知，值域为{5,4,2,1}．(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，x＝1时，y＝1；x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了？[解]　图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．∵x＝1时，y＝1；x＝3时，y＝5.∴值域变为[1,5)．怎样画函数的图象？[提示]　1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想． 类型2　函数图象的应用【例2】　已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，据图回答以下问题：(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；(2)求f(x)在[－1,2]上的值域；(3)求f(x)与y＝x的交点个数；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．[解]　(1)由题图可得f(－2)＝－5，f(0)＝3，f(3)＝0，∴f(－2)