课时跟踪检测（二十一）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积.doc

课时跟踪检测（二十一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积A级——学考合格性考试达标练1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为(　　)A．27 cm3　　　　　　 B．60 cm3C．64 cm3 D．125 cm3解析：选B　长方体即为四棱柱，其体积为底面积高，即为345＝60 (cm)3.故选B.2．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于(　　)A．12 B．48C．64 D．72解析：选D　该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6(34)＝72.故选D.3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　　)A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈解析：选B　由题意知，刍童的体积为[(42＋3)3＋(32＋4)2]36＝26.5(立方丈)．故选B.4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)A．6 B．12C．24 D．48解析：选D　正四棱锥的斜高h′＝ ＝4，S侧＝464＝48.故选D.5.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是(　　)A. B.C. D.解析：选C　∵VCA′B′C′＝VABCA′B′C′＝，∴VCAA′B′B＝1－＝.故选C.6．若五棱台ABCDEA1B1C1D1E1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．解析： S表＝S侧＋S两底，则S两底＝S表－S侧＝30－25＝5.答案：57．已知高为3的直棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1ABC的体积为________．解析：由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝，所以VB1ABC＝Sh＝3＝.答案：8．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm和6 cm，侧棱长为5 cm，则它的侧面积为________cm2.解析：侧面等腰梯形的高为＝2(cm)，所以侧面积S＝5＝50(cm2)．答案：509．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.解：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故VPABC＝S△PACPB＝243＝4.10．长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，求四面体PCDQ的体积．解：设长方体的长、宽、高分别为AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.由题意知PD＝c，S△CDQ＝CDAD＝ab，所以VPCDQ＝S△CDQPD＝abc＝abc＝V.B级——面向全国卷高考高分练1．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　)A．6 B.C．3 D．2解析：选B　设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝，yz＝，xz＝，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝.故选B.2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析：选A　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋32＝a2.故选A.3.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1AEF的体积为2，则四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为(　　)A．12 B．8C．20 D．18解析：选A　设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1AEF＝VFA1AE＝S△A1AEh＝h＝(AA1AB)h＝S四边形ABB1A1h＝VABCDA1B1C1D1，所以VABCDA1B1C1D1＝6VA1AEF＝62＝12.所以四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为12.故选A.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)A．1∶1　　　　　 B．1∶C．1∶　　　　　 D．1∶2解析：选C　由题图可知，三棱锥D1AB1C的各面均是正三角形. 其边长为正方体侧面对角线. 设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥＝4(a)2＝2 a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶.故选C.5．棱台的体积为76 cm3，高为6 cm，一个底面面积为18 cm2，则另一个底面面积为__________．解析：设另一个底面面积为x cm2，则由V＝h(S＋＋S′)，得76＝6(18＋x＋)，解得x＝8，即另一个底面的面积为8 cm2.答案：8 cm26．三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则＝________.解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝Sh，V1＝VEADB＝Sh＝Sh，所以＝.答案：7.三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1ABC，三棱锥B A1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比．解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1ABC＝S△ABCh＝Sh，VCA1B1C1＝S△A1B1C1h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VBA1B1C＝V台－VA1ABC－SCA1B1C1＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4.C级——拓展探索性题目应用练　用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．解：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.r。