圆锥曲线中的证明、探索性问题-2025年高考数学备考复习.pdf

第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明、探索性问题口学生用书P200命题点1证明问题例 1 2022新高考卷皿已知双曲线C：5 一营=1 (0,6 0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为y=B x.(1)求 C 的方程.(2)过户的直线与的两条渐近线分别交于4,8两点，点 P(xi,yi),Q(&,玫)在C 上，且 不 及 0,力 0.过尸且斜率为一g的直线与过0 且斜率为旧的直线交于点从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M 在 A8 上；PQ/AB-,I I =I Affi I .解析(1)由题意得c=2.因为双曲线的渐近线方程为=，=百与 所以，=百 .又0 2 =0 2 +6 2，所以由得a=l,b=W,所以双曲线C 的方程为N g=l.(2)由题意知直线P的斜率存在且不为0,设直线尸的方程为(k W O),将直线尸的方程代入C 的方程，整 理 得(3产)/一 2为xF3=0,A 0,故 F+3R 0,则 修+改=半，xi x2=一=0,所以 3 a0,3 3 kI 2 2 J 3 (t2+3 k2)所以 X 1 X 2 =J(%i+%2)-4X 2=-.设点Af的坐标为(XM,_W),则y“一乃=一 百（XM-XJ,y-y2=V3（xM-%2）,两式相减，得 力 P2=2A/XM遮（X1+X2）,又 外一H=（区1 +/）（te+）=k（X l-X 2）,所以 2 y X M=k（X 1%2）+V3（xi+%2）,解得XM=k J t2+3 k2ktk 3两式相加，得 2）舷一（歹1+歹2）=V3（X 1 X 2）,又yi+2=（fcn+z）+=k（xi+%2）+2。

所以 2yM=左（xi+%2）+V3（x i 1 2）4-2 z,3 留+3k2 3t n解得 y M=,2,=-X M.M 3 k因此，点M的轨迹为直线歹=%,其中左为直线尸的斜率.若选择：因为P Q A B,所以直线4 8的方程为=左（x-2）,设4（必，）,B（X B,/）,不妨令点A在直线y y3 x上，则由yA-k（孙 一2）,yA=WXA，解得必=2k 2y/3 k23 k同理可得独=-,ye所 以/+物=4k2k2-3f,1 2k以+股=点”的坐标满足yM=k（XM-2）,_ 3M-1%M，得X M=2k2k23必+盯 _ 6k _ y+yB2 故M为4B的中点，即I M4 I=I MS I.若选择：当直线ZB的斜率不存在时，点M即 为点尸（2,0）,此时M不在直线夕=9上，矛盾.k当直线4 5的斜率存在时，易知直线4 5的斜率不为0,设 直 线 的 方 程 为 =冽（%2）（加WO）,A（力,丹）,B（XB,/）,不妨令点A在直线上，则由心7（4-2）,解 得/yA v3Xyl，2m 2V3mm一遍，m y/39同 理 可 得 独=个，/=一 售,m+V3 m+V3因为M在上，且I M4 I =I皿I，所以.=乎=患，.=中=急,又点M在直线y=|x上，所以7 n工k3 2m23解得左=加，因此PQ4R若选择：因为P Q A B,所以直线4 5的方程为y=左（x-2）,设4（打，外），B（X B,性），不妨令点A在直线上，则由yA=k（孙 一2）,yA=WXA，解得“告2近k,yA=同 理 可 得 期=忌，”_ 2 k+V T设A B的中点为C (xc,y c),则xc孙+%B 2 k22 k23f、._ y?i+y g _ 6/cyc 2 f c2-3,因 为I M A I =I M B I ,所以A/在4 5的垂直平分线上，即点M在直线y y 0=一，(%x c),口 c 6k 1 /2 k2、1.3 p、，、,0 2k2 6k即y一记二?=一%(X一再 三)上，与 y=%x联立，仔X M=记=x c,yM=-j=yc,即点M 恰为A B的中点，故点M在直线A B上.方法技巧有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立关于某个变量的函数，用代数方法证明.训 练 1 2 0 2 1新高考卷n 已知椭圆C：+=1(。

60)的 右 焦 点 为/(/，0),且离心率为手.(1)求C的方程.(2)设M,N是C上的两点，直 线 与 曲 线/+产=a o)相切.证明：M,N,F三点共线的充要条件是I M N I =V 3.解析(1)由题意，得c=V ,又e=当，所 以百,a 3所 以6=J a2 c2 l,所 以C的方程为+产=1.(2)由(1)知/+y=1 (x 0).证必要性：若 M,N,尸三点共线，则liV C V l=V 3.由题意知直线MN的斜率存在且不为0,由对称性不妨设直线跖V的方程为 =左(x-V 2)则寻=1,得2-所以直线N的方程为x+y-V 2 =0.x+y V 2 =0,由 消 去%得4 x 2 6岳+3=0,A0v+y2=1，设 M(X I,1),N(X 2,歹2),则%1+%2=乎，X 1 X 2=7,Z4所以 I M N I =J 1 +(1)2-I xiX2 I =历工(/+%2)24X1X2=V2X J|-4 x由对称性可知当左0时，I M N I =百.故必要性得证.证充分性：若I M N l =V3,则，N,厂三点共线.由 题 意 可 知 直 线 的 斜 率 存 在 且 不 为0,由对称性不妨设直线MV的方程为=依+加（左 0）,则 粤=1,得加V2+lVi+fc2.1y lex TTL,2 消去y,得（3 F+1）x2+6kmx+3 m23 =0,a+y 2 =i,得（3/+l）炉+6凶 +H x+3后2=0,A 0.设 M（X I,1）,N（X 2,2）,则 X i+x 2=X 1 X 2=T ,oK 十 J L oK T-1所以|MN I=V 1 +f c2-I X X 2 I=V 1 +f c2-J （久1 +%2）2 4%1%2 =.恚整理得一2左2+i=o,得左=一 j/C 十J.o n -r 1 oK 十J.1,所 以 加=鱼，所以直线MV的方程为y=x+&.令y=0,得 =&,即 直 线VN过 点 忆 所 以M,N,尸三点共线.由对称性知当人0时，M,N,厂三点共线，充分性得证.综上，M,N,歹三点共线的充要条件为|M N|=V 3.命题点2探索性问题例2 2 0 2 3河南省新乡市模拟 已知点N （2,1）在双曲线C：-=1（a l）上.（r az 1（1）求。

的方程.（2）是否存在过点尸（1,|）的 直 线/与C相交于4,8两点，且满足尸是线段N3的中点？若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.解析 已 知 点/（2,1）在c：=1（1）上，W az 1所以7 1=1,整理得a 4一4标+4=0,解 得 层=2,则 =鱼，所 以c的方程为y2=1.（2）由题可知若直线存在，则直线/的斜率存在，故 设 直 线/的 方 程 为（x-1）-1,且设交点/（x i,y i）,B（X 2,歹2）,则=1,二L两式相减得：（1 X 2）（工1+%2）=2 （y i J V 2）（歹1+2）,由于 P（1,一夕 为 45 中点，则 阳+%2=2,yi+y2=lf 则 =力 一=一,X 1 X 2则直线/的方程为=（X 1）即y=x+1,(y=-x+,由，言2-4 1,得 2/4x+5=0,A=(-4)2-4 X 2 X 5 =-2 4 0，b 0)的实轴长为2,直线 夕=居 为 C 的一条渐近线.(1)求 C 的方程.(2)若 过 点(2,0)的直线与交于尸，两点，在x 轴 上 是 否 存 在 定 点 使 得丽 丽 为 定 值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解析(1)由题意知，2cl=2,-=V 3,解得。

1,Z =V 3,a所以双曲线的方程为炉一9=1.(2)若 直 线 的 斜 率 不 为 0,设直线P的方程为x=m y+2,代入N9=1并整理得，(3 m2 1)产+1 2 加 y+9=0,-1设 尸(x i,i),Q(工 2,2),则 3 加 2 i w o,A=3 6 m2+3 6 0,y yi=93m2 1,假设在工 轴上存在定点 a,o),使得加丽为定值.M P MQ=(x i%)(X 2 t)y yi=(m2+1)(2 t)m(刃+8)+(2%)2=必坐 而+9+(2_f)23m2-1若祈万丽为定值，则必有工0=2,3 1解得，=一 1,此时丽 丽=0.若直线尸的斜率为0,则可取尸(-1,0),Q(1,0),M(-1,0),所以加 丽=(0,0)-(2,0)=0.所以在x 轴上存在定点M(1,0),使 得 丽质为定值0.2 21.命题点1 已知双曲线C：会一会=1 (4 0,6 0)的左、右焦点分别为E，/2,点 P(3,1)在 C 上，且 1 P B i I 尸仍 I=1 0.(1)求 C 的方程.(2)斜率为一3的直线/与交于/,2两点，点 2关于原点的对称点为D若直线P N,PD的斜率存在且分别为肌，ki,证明：%左2 为定值.解析(1)设 B(-c,0),F2(c,0),其中 c=a2 3+b2.8+3 (的一犯)2.命题点2/2 0 2 3 山东日照统考一模 已知抛物线C：&=2py(p 0)的焦点为R E 为 C上的动点，EQ垂 直 于 动 直 线(/2),则。

X 2,一歹 2).设直线/的方程为y=3x+m,将其与双曲线C 的方程联立，消去得 8 炉一6 冽 x+/+8=0,由 人=(6 冽)232(m2+8)0,得 I 冽 I 8,所 以Xl+%2=网，修了2=巴士4 8所 以VU 2=（3 xi+机）（3%2+冽）=9XIX2 3 m（xi+x2）m2=+9.8所 以 月 后 二 以 二.-1=为 废+为 一%一1 =%1 1 3%2 3%1%2+3 1 3%2 9+8 -3（/一2）1,所以和b为定值.（2）假设存在使得,则点M 为线段4 8的中点.设 （x of 才）G o W O）,依题意得x o,t）,则 koQ x f由=上可得歹=二 所以切线/的斜率为ki=-xo.4 2 2设/（X I,%）,B（X 2,2）,线 段 的 中 点 M （也 署，出 产），0（%1+%2）（%1一%2）I（、1+及）（丫1一、2）P 4+2整理可得左工.丝空=一 ,即 h k 0 M=3,%1-%2%1 十%2 乙 2所以:X o,koM=-可得 koM=，又 koQ=koM=，2 2%o 0所以t=l.综上，存在t=l,使 得 I A M I=I B M I.（-，练习帮,练透好题精准分层-6 学生用书练习帮P36 91.2024南昌市模拟 已知椭圆C：4+5=1（a b 0）经过点M（l,，/为 椭 圆 Caz bL 2的右焦点，。

为坐标原点，OEA/的面积为?4（1）求椭圆的标准方程；（2）过点尸（4,0）作一条斜率不为0 的直线与椭圆C 交于4,8两 点（/在 3,P 之间），直线2斤与椭圆C 的另一个交点为求证：点/,关于x 轴对称.解析 如 图，因为OEAf 的面积为三，所以工X c X，=3,解得c4 2 2 4=1.0 d +-7 =1,（次=4,又M（l,在椭圆C 上，所 以4b 2 解得I2a2b2=1,l 2=3,所以椭圆C 的标准方程为?+?=1 ,（2）由题意知直线E 4,总的斜率存在.根据椭圆的对称性，欲证/,关于 轴对称，只需证 kFA=kFD=kFB,即证 kFA kFB=0.设 4（x i,y i）,B（%2,J 2）,直 线 的 方 程 为 1=切+4,由爪+4 消去工 得（3加 2+4）产+24冽 y+36=0,（3%2+4y 2=12,所 以 为+=手，y i y 2=-.则而%+而 5=上+上=月 灰/）37 n 2+4 JU 37 n 2+4 r D/一1%2-1 （利 1）（%2-1）月m+及孙 一（丫1+丫2）（亚 1）（%2 1 1）因 为 。