线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大.pdf

1 线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001A，矩阵B满足*2ABABAE，其中*A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B_. 解：|B19. 显然| 3A，在等式*2ABABAE两端右乘A得36ABBA(36)AE BA上式取行列式030300 |3003B故1|9B. 方法二： 因| 3A，则*3 1| |9AA将*2ABABAE移项得*(2)AE BAE两端取行列式得1 | 91B，故1|9B. 二、选择题（本题8 小题，每小题4 分，满分 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（11）设A是 3 阶方阵，将A的第 1 列与第 2 列交换得B，再把B的第 2 列加到第3 列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为（A）010100 .101（B）010101001. （C）010100011. （D）011100001. 解： （D）正确 . 由题意12AEB，其中12010100001E为第一种类型初等矩阵，23(1)BEC，其中23100(1)011001E为第三种类型初等矩阵. 2 于是有1223(1)AEECAQ则1223010100011(1)100011100001001001QEE与所给答案比较，选（D）. （12）设,A B为满足AB0的任意两个非零矩阵，则必有（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. 解： （A）正确 . 设A为mn矩阵，B为np矩阵，因为AB0故()()rrnAB，其中(), ()rrAB分别表示矩阵,A B的秩 . 又因为,A B皆是非零矩阵，故()0,()0rrAB，所以()rnA，()rnB. 因此A的列秩数，B的行秩数小于n， 这说明A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故选（ A）. 取101000A，100110B，则0000AB，由B的列向量组线性无关知（B） 、 （D）错误 . 取101010A，100110B，则0000AB，由A的行向量组线性无关知（C）错误 . 三、解答题（本题共9 小题，满分94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（20） （本题满分9 分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,nnna xxxxa xxnnxnxna xLLL LL试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 解法 1对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有11111111222220000aaaaannnnanaaABLLLLL LLLLL. 当0a时，()1rnA，故方程组有非零解，其同解方程组为3 120nxxxL，由此得基础解系为TTT121( 1,1,0,0) ,( 1,0,1,0) ,( 1,0,0,1)nLLLL，于是方程组的通解为1111nnxkkL，其中11,nkkL为任意常数 . 当0a时，对矩阵B作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n naannBLLLLLLLLLL可知(1)2n na时，()1rnnA，故方程组也有非零解，其同解方程组为1213120,30,0,nxxxxnxxM由此得基础解系为T(1,2, )nL，于是方程组的通解为xk，其中k为任意常数 . 解法 2 方程组的系数行列式为111112222(1)|.2naan naannnnaALLL LL当|0A，即0a或(1)2n na时，方程组有非零解. 当0a时，对系数矩阵A作初等行变换，有1111111122220000,0000nnnnALLLLLLLLLL故方程组的同解方程组为120,nxxxL由此得基础解系为TTT121( 1,1,0,0) ,( 1,0,1,0) ,( 1,0,0,1)nLLLL，于是方程组的通解为1111nnxkkL，其中11,nkkL为任意常数 . 4 当(1)2n na时，对系数矩阵A作初等行变换，有11111111222220000aaaaannnnanaaALLLLL LLLLL. 1111000021002100.001001annLLLLLLLLLL故方程组的同解方程组为1213120,30,0,nxxxxnxxM由此得基础解系为T(1,2, )nL，于是方程组的通解为xk，其中k为任意常数 . （21） （本题满分9 分）设矩阵12314315aA的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化. 解：A的特征多项式为1232201431431515aa110100(2) 143(2) 13315115aa2(2)(8183 )a. 若2是特征方程的二重根，则有22161830a，解得2a. 当2a时，A的特征值为2,2,6，矩阵1232123123EA的秩为 1，故2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化 . 若2不是特征方程的二重根，则28183a为完全平方，从而18316a，解得5 23a. 当23a时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113EA的秩为 2，故4对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化. 6 线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分 24 分. 把答案填在题中的横线上. ）（6）同数学（一）一、 （ 5）. 二、选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内. ）（13）同数学（一）二、 （11）. （14）同数学（一）二、 （12）. 三、解答题（本题共9 小题，满分94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（22） （本题满分9 分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 解法 1对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aaaaaaaaaaaAB当0a时，()14r A，故方程组有非零解，其同解方程组为12340 xxxx. 由此得基础解系为TTT123( 1,1,0,0) ,( 1,0,1,0) ,( 1,0,0,1)，于是所求方程组的通解为112233kkkx，其中123,k kk为任意常数 . 当0a时，11111000021002100,3010301040014001aaB可知10a时，()34r A，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,xxxxxx由此得基础解系为T(1,2,3,4)，7 于是所求方程组的通解为kx，其中k为任意常数 . 解法 2 方程组的系数行列式311112222|(10)33334444aaaaaaA. 当|0A，即0a或10a时，方程组有零解. 当0a时，对系数矩阵A作初等行变换，有11111111222200003333000044450000A，故方程组的同解方程组为12340.xxxx其基础解系为TTT123( 1,1,0,0) ,( 1,0,1,0) ,( 1,0,0,1)，于是所求方程组的通解为112233kkkx，其中123,k kk为任意常数 . 当10a时，对A作初等行变换，有91119111282220100033733001004446400010A91110000210021003010301040014001，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,xxxxxx其基础解系为T(1,2,3,4)，于是所求方程组的通解为xk，其中k为任意常数 . （23） （本题满分9 分）同数学（一）三、 （21） . 8 线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,)()()()f x xxxxxxxx的秩为 _. 解： 秩为2 . 222123122331(,)()()()fx xxxxxxxx222123121323222222xxxx xx xx x于是二次型f的表示矩阵为211121112A易求得()2r A，故二次型f的秩为 2. 二、选择题（本题8 小题，每小题4 分，满分 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（12）设n阶矩阵A与B等价，则必有（A）当|(0)a aA时，|aB. （B）当|(0)a aA时，|aB. （C）当|0A时，| 0B. （D）当| 0A时，|0B. 解： （D）正确 . 因为n阶矩阵A与B等价，故存在n阶可逆矩阵,P Q使PAPB故| |BPAQ当|0A时，自然有| 0B，故（ D）正确 . 当|0A时，由|,|PQ皆不为零，故|0B，所以（ C）错误 . 当|0aA时，|aBPQ，仅由A与B等价，无法推出|1PQ，故（ A） 、 （B）不正确 . 当,A B相似时，（ A）才正确 . （13）设n阶矩阵A的伴随矩阵*A0，若1234, 是非齐次线性方程组Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系 . （A）不存在 . （B）仅含一个非零解向量. （C）含有两个线性无关的解向量. （D）含有三个线性无关的解向量. 解： （B）正确 . 因*A0，故*A中至少有一个非零元素. 由于*A中元素恰为A的1n阶代数余子式所组成，故A至少有一个1n阶子式非零，这表明()1rnA. 现断言()rnA，否则A可逆，则线性方程组Axb有惟一解，这与12, 是非齐次线性方程组Axb不同的解矛盾. 由此必有()1rnA，所以齐次线性方程组Ax0的解空间维数为(1)1nn，即Ax09 的基础解仅含一个非零解向量. 可见（ B）正确，（A）错误 . 尽管从1234, 是非齐次线性方程组Axb的互不相等的解，可以得出Ax0有三个不同的非零解，如121314,但是它们是成比例的线性相关解，也就是说Ax0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C） 、 （D）不正确 . 三、解答题（本题共9 小题，满分94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（20） （本题分13 分）设TTT123(1,2,0) ,(1,2,3 ) ,( 1,2,2 )aabab，T(1,3, 3). 试讨论当,a b为何值时，（I）不能由123, 线性表示；（II）可由123, 惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）可由123, 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解： 设有数123,k kk，使得112233kkk. （*）记123(,)A . 对矩阵()A施以初等行变换，有1111()22230323abaabA111101000abab. （I）当0,ab为任意常数时，有1111()0010001bA. 可知()()rrAA. 故方程组（ *）无解，不能由123, 线性表示 . （II）当0a，且ab时()()3rrAA ，故方程组（ *）有惟一解123111,0,kkkaa则可由123, 惟一地线性表示，其表示式为1211(1)aa. （III ）当0ab时，对()A 施以初等行变换，有110011()011.0000aaA. 可知()()2rrAA ，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),kkckcaa，其中c为任意常数 . 可由123, 线性表示，但表示式不惟一，其表示式为10 12311(1)()ccaa. （21） （本题满分13 分）111bbbbbbALLM MML. （I）求A的特征值和特征向量；（II）求可逆矩阵P，使得1P。