高考数学数列专题突破.pdf

第一部分等差数列、等比数列的概念及求和一、选择题1.（2009 年广东卷文）已知等比数列仅“的公比为正数，且 “9=2%，4=1，则%=A.-B.C.V2 D.22 2【答案】B【解析】设公比为q,由已知得闻 2.“4 =2（4/）2,即/=2,又因为等比数列%的公比为正数，所以q=0,故 弓=&=3=也，选 Bq y J2 22.（2009 安徽卷文）已 知 为 等 差数列,+出+%=工.+.+%=第，则等于A.-1 B.1 C.3 D.7【解 析】+a,+5=15 即 =105 a,=35 同理可得 =33 公 差d=a4 a=2 a20=a4+（20 4）xrf =1.选 B o【答案】B3.（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列 an的前 项和为5.若为是生与%的等比中项，Sg=32,则50等于A.18 B.24 C.60 D.9 0【答案】C【解 析】由 a：=a3a7 得（q+3d =（q+2 d）（q+6 d）得 2q+3d =0,再由S 8=8 q+g d=3 2 得 2q+7 d =8 则 d =2,q=3,所 以o nS|o =l O 4+型 d=6O,.故选C24.（2009 湖南卷文）设S“是等差数列 a,J 的前n 项和，已知%=3,&=，则跖等于（）A.13B.35C.49D.63【解析】7（4 +%）=7（/+）=7（3+11）=49 故选 c.2 2 24 1 =4+d=3 6 Z.1或由 =d=!2【答案】B7.（2009 四川卷文）等差数列%的公差不为零，首项4=1,%是卬和生的等比中项，则数列的前10项之和是A.9 0 B.100 C.145 D.19 0【答案】B【解析】设公差为d,则（l +d）2 =l l +4d）.解得d=2,I.S 1 =1008.（2009 宁夏海南卷文）等差数列 4 的前n 项和为S“，已知勺一+勺用-4=0,S2i n_t=38，则 i n =A.38【答案】CB.20C.10D.9【解析】因为 6 是等差数列，所以，am_y+a,-1 =2am,由am_+am+y-a；=0,得：2M一4=。

所以，尸2,乂S23 8,即*竽3=3 8,即（2m-1）X 2=38,解得 m=1 0,故选.C9.（2009 重庆卷文）设 ,是公差不为0 的等差数列，q=2 且成等比数列,则%的前项和S.=（）.n I n n n2 5n n2 3n、2A.+B.+C.+D.n +n4 4 3 3 2 4【答案】A【解析】设数列 4 的公差为d ,则根据题意得（2+2d）2=2.（2+5d）,解得d=；或d=0（舍去），所以数列%的前项和S“=2+四二=E+F2 2 4 4二、填空题10.（2009 全国卷I 理）设等差数列 4 的前项和为S,若9=7 2,则+4 +%=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _答 案 24解析,/”是等差数列，由S9 =7 2,得：.S9-9 a5,a5=8%+%+=（2 +为）+%=（5 +6）+4 =3%=24.11.（2009 浙江理）设等比数列%的公比q=，前”项 和 为 S，则&=答案：15解 析 对 于&=也 二 心1 414a/.&_ _ _ 15闻%q 3/（11 一“、）-12.（2009 北 京 文）若 数 列%满 足：q=l q+I=2%（e N*）,则;前 8 项的和Sg=.（用数字作答）答 案 225解析本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.识、基本运算的考查.属于基础知I 1,6 1)2q=2,Q 3 =4,-2a3 =8,=16,28-1易知 S 8=1 =255,J 应填 255.13.(2009全国卷n 文)设等比数列 凡 的前n 项和为力。

若q=1,%=4$3,则a4=_X_答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由为=1 =4$3得 心 3 故 a4=a=314.(2009全国卷II理)设等差数列 的前项和为S，若%=5%则包=_5解 析.4 为等差数列，.t=翁=9答 案 915.(2009辽宁卷理)等差数列 怎 的前项和为S“，且6s5-5S3=5,则4 =_解析 VSn=naiH-n(nl)d2S5=5ai+10d,S3=3ai+3d.,6S5-5S3=30a1+60d-(15al+15d)=15a,+45d=15(a1+3d)=l 5al答 案 I三、解答题16.(2009浙江文)设S,为数列 q 的前项和，S=kn2+n,N*,其中是常数.(I)求卬及(I I)若对于任意的加 N*,am,a2m,4川成等比数列，求忆的值.解(I)当 =1,4=S=4+1 ,n 2,an=Sn 5n_j=kn2+n-k(n-I)2 4-(n-1)=2kn-k+1 (*)经验，=1,(*)式成立，/.an=2k n(I D va,a2m,a4m 成等比数列，；.a2m*2=am.a4m,-=n v +2m .2(I I I)假设存在0和。

满足条件，由不等式p +q 2机及p 0得”工即(4加-k +Y)2=(2k m-k+l)(8 6n-k+1),整理得：m k(k-1)=0,对任意的z w N*成立，.,.4=0或%=117.(2009北京文)设数列 ,的通项公式为a“=p +q(e N*,P 0).数列 4 定义如下：对于正整数如0是使得不等式与?成立的所有中的最小值.(I )若 p =；,q=一；,求 4；(I I )若p =2,q=-1,求数列 “的前2勿项和公式；(I I I)是否存在0和Q,使得超=3,”+2(m e N*)?如果存在，求 和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.解(I )由题意，得凡=!，ln-3,得 2型.成立的所有n中的最小整数为7,即4 =7.(I I)由题意，得2 一1,对于正整数，由凡2?，得 2根据瓦，的定义可知当加=2人 一1 时，超=&(左6*)；当相=2%时，bm=k +(k&Nx).仇+匕2 +闻=(仇+也+闻“一1)+92+=(1 +2+3+-一 +机)+2+3+4 +-一 +(相 +1)2机(m+3)oP.耙=3?+2（机wN*）,根据耙的定义可知，对于任意的正整数加都有3m+1 -0 （或3 一 1 0）时，得1+（或用,）,3p-l 3/7-1这与上述结论矛盾！当 3P 1 =0,即 p=；1 时，得一；7 一 q O g1 q,解得一2 1:,存在 P 和 使得 b1n=3m +2（m wN*）；0 和 q 的取值范围分别是p =g，1 8.（20 0 9山东卷文）等比数列 4 的前n 项和为S“，已知对任意的 w N卡 ,点（,S“）,均在函数y =bx+r（b 0 且b w 1,仇r 均为常数）的图像上.（1）求 r的值；（1 1）当b=2时，记/?=（H G2V+）求数列 的前项和7；解：因为对任意的 e N*，点（总），均在函数y =bx+r（b 0 月）w 1,。

/均为常数）的图像上.所以得S =bn+r,当 =1 时，a=b +r,当 N 2 时，an=Sn-Sn_x=b+r-(b-+r)=b -b-=3 -1)尸,又因为an为等比数列，所以厂=-1,公比为6,所以a“=S-l）b T(2)当 b=2 时，an=(b-l)bn-=2-,n +1 n +1 n +1b =-=-=-“4 a 4 x 2,-1 2,+1MIIT 2 3 4 /i +l叱下+梦+及+西1 _ 2 3 4 n +1寸 寸 无+F+*相减，得;7；=舁 最+*!+.+击-n2 川+111尹-+2所以T.x(l一 击)1-23 1 +1 3 +1-2+2-4 2+i 2 2+1 3+32 2 2+|2 2+【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义,通项公式，以及已知S“求a”的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与等差数列对应项乘积所得新数列的前项和1 9.(20 0 9全国卷H文)已知等差数列%中，a 3a 7=T6,%+4=，求 6 J前 n 项和sn.解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解解：设%的公差为d,则(4 +2d)(q +6d)=-1 6q +3d+q +5d 0即4。

8的+1 21 2=-1 6ax=-4d二 广 或解得q =8d=-2因止匕=_ 8+(-4)=(一9),或=(-9)20.(20 0 9安徽卷文)已知数列 驾 的前n项 和&=3+皿，数列 4 的前n项和霏=2-4(I )求数列 入 与 工 的通项公式；(I I)设“4%证明：当且仅当n23时,J Y：【思路】由0=1%(”=?可求出明和么，这是数列中求通项的常用方法之区 一 S,T S N 2)-，在求出明和2 后，进而得到呢,接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法解析】（1）由于%=4 =4当 2 2 时，an=sn-5_!=(2n2+2n)-2(n-l)2+2(-1)=An ：.am=4n(n e N*)又当 x N 时2=7；(2-6,)-(2-如)2b,=如数列也 项与等比数歹u,其首项为1,公比为g=(|r,ri6(w+iy(:严)t由知 G=a：也=16/Z2 3=-V-2 16/12.(-),_|(+l)22n2由L1 得 1 L 1 +血即23G,2n又 N3时 史 孚 1成立，即 噎 0 恒成立2 C因此，当且仅当“N3时,Cn+lC21.（2009江西卷文）数列 的通项a.=n2（cos2 y-s in2半，其前项和为5,.求 S,;（2）求数列 bn的前n 项和7；.解：（1）由于cos）丝-sin?型=cos竺，故3 3 3S 3 k=(4 +4 +%)+(4+%+&)+(%*-2 +“31+%)=(一 3+3 2)+(-+62)+-,+(-郃一 2八(3 1)2 22 2 213 31-1-F +2 2S31=S a 3k18-5 A(9k+4)-2 2_k(4-9 k)=2，S 3k-2=-1 a3k-lk(4-9 k)(3 1 尸一 3女 一 2 1-1-=-K=-2 2 2 3 6故 S=，-,n=3 k-l6(3+4)-n=k(k e N*)“，小4 24.1 r13 22 9+41Tn=一1+-,2 4 42 44什7 1 r.o 22 9+4；,=-13+y +-+-,两式相减得3.T =一ln13o +9 +9 9+4 9+4 1o 1 9nr-=-13+-7-1 =一 一 ,“2 4 4”4“2 1 4 22n3 22 11 4,_ 8 1 3n故 丁“=彳 _ c c2-3 一7 T22.(2 0 0 9天 津 卷 文)已 知 等 差 数 列%的 公 差d不 为0,设SH=+a2q H +anqnTn=I-a2q+4-(-I)71-1 anqn,q w 0,G N*(I)若q=Lq=1,S3=15,求数列%的通项公式；(I I)若 =d,且酬,2,S 3成等比数列,求q的值。

III)若g w l,证 明(1 q)(1 +M J弱(1丫),“i-q 解:由 题 设，3=%+(q+d)4+(%+2dM2,将1吗=1 =15代入解得d=4,所以a,=4 一3 e N*(2)解：当叫=d,St=d,S2=d+2dq,S3=d+2dq+3弱 2”S 1,S 2，S3 成等比数 歹！J,所以$2?=S,S3,即(d +2dq)2=d(d+2dq+3dq2),注意至 ijd w o,整理得 q=2(3)证明:由题设，可得勿=qi,则S=Q +Q,q +4 3 4-+,2 夕 “1 C DTl n =a -a2Ci +a?.4,且 号 乜,i +l j n由（1）（2）及题设知，i n,且,2-（匕一乙）+（七-）（7 H-一/）曲 当%l j 时，匕 一I M T,由 q 2 ，尤4 q l,i =1,2,i 1即匕。