人教版八上数学 全等构造（4）截长补短法.docx

人教版八上数学 全等构造（4）截长补短法1. 如图，在 △ABC 中，AB=2AC，AD 平分 ∠BAC，且 AD=BD，求证：CD⊥AC．2. 如图，在 △ABC 中，CA=CB，∠ACB=90∘，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，CE⊥BD 于点 F，交 AB 于点 E．(1) 求证：CD=AE；(2) 求证：BD-CEDF 的值．3. 如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180∘，E，F 分别是 BC，CD 上一点，且 ∠BAD=2∠EAF，试探究 EF 与 BE，DF 之间的数量关系．4. 已知，在 △ABC 中，CA=CB，∠ACB=90∘，点 O 为 AB 的中点，点 M，N 分别在直线 AC，BC 上，且 ∠MON=45∘．(1) 如图 1，若点 M 在 AC 上，点 N 在 BC 上，求证：CN+MN=AM；(2) 如图 2，若点 M 在 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上，试探究：CN，MN，AM 之间的数量关系．答案1. 【答案】方法一（截长法）：在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，证 △ADE≌△ADC，DE⊥AB 即可．【解析】方法二（补短法）：延长 AC 至点 F，使 CF=AC，连接 DF，证 △ADB≌△ADF，CD⊥AF 即可．2. 【答案】(1) 连接 DE，证 CD=DE，DE=AE．(2) （截长法）在 BD 上截取 BG=CE，连接 CG，证 △BCG≌△CAE． ∴CG=AE=CD， ∴DF=FG， ∴BD-CEDF=DGDF=2．3. 【答案】 EF=BE+DF．（补短法）：延长 CB 至点 G，使 BG=DF，连接 AG，证 △ABG≌△ADF， ∴∠GAF=∠BAD=2∠EAF， ∴∠GAE=∠FAE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF=EG=BE+DF．4. 【答案】(1) （截长法）连接 OC，易证 OA=OC=OB，∠AOC=∠BOC=90∘，∠ACO=∠BCO=∠A=∠B=45∘，在 AM 上截取 AE=CN，连接 OE，证 △AEO≌△CNOSAS，OE=ON，∠EON=∠AOC=90∘， ∴∠EOM=45∘，再证 △EOM≌△NOM，MN=EM， ∴CN+MN=AE+EM=AM．(2) （补短法） CN+AM=MN，延长 MA 至点 E，使 AE=CN，连接 OE，证 △AEO≌△CNO，△EMO≌△NMO．。