超详细人教版初三数学下册期末知识点归纳总结（超详细）文档.pdf

人教版九年级数学下册学问点总结 其次十六章 二次函数 . 1 261 二次函数及其图像 . 1 262 263 用函数观点看一元二次方程 . 6 实际问题与二次函数 . 6 其次十七章 相像 . 6 271 272 图形的相像 . 相像三角形 . 6 7 273 其次十八章 位似 . 锐角三角函数 . 8 8 281 282 锐角三角函数 . 9 解直角三角形 . 10 其次十九章 投影与视图 . 投影 . 12 291 12 292 三视图 . 12 其次十六章 二次函数 261 二次函数及其图像 二次函数（ quadratic function ）是指未知数的最高次数为二次的多项式函 数；二次函数可以表示为 f(x)=ax2+bx+c(a 不为 0) ；其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线； 一般的，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： 一般式 y=ax 2;+bx+c(a 0,a ， b， c 为常数 ) ，顶点坐标为 (-b/2a ， -(4ac-b 1 第 1 页，共 13 页 2)/4a) ； 顶点式 y=a(x+m) 2+k(a 0,a ， m， k 为常数 ) 或 y=a(x-h) +k(a 0,a ， h， k 为常数 ) ，顶点坐标为（ -m， k）对称轴为 x=-m，顶点的位置特点和图像 的开口方向与函数 ax 的图像相同，有时题目会指出让你用配方法 把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与 x 轴有交点 A（ x1 ， 0）和 B （ x2 ， 0）的 抛物线 ； 重要概念： a，b，c 为常数， a0，且 a 打算函数的开口方向， a0 时， 开口方向向上， a0 时，开口方向向下； a 的肯定值仍可以打算开口大小 ,a 的肯定值越大开口就越小 ,a 的肯定值越小开口就越大； 牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3)/(x2-x1)(x2- x3)+(y1(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3) ；由此可引导出交点式的系数 a=y1/(x1*x2) (y1 为截距 ) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式； 求根公式 x 是自变量， y 是 x 的二次函数 x1,x2=- b( (b2 -4ac)/2a 2 第 2 页，共 13 页 ( 即一元二次方程求根公式） （如右图） 求根的方法仍有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=2x 的平方 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线； 不同的二次函数图像 假如所画图形精确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的； 留意：草图要有 1 本身图像，旁边注明函数； 2 画出对称轴，并注明 X=什么 3 与 X 轴交点坐标，与 Y 轴交点坐标，顶点坐标；抛物线的性质 轴对称 x = -b/2a ； 1. 抛物线是轴对称图形；对称轴为直线 对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点 P； 特殊地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0） 顶点 2. 抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， 4ac-b2;)/4a ) 当-b/2a=0 时， P 在 y 轴上；当 = b2; -4ac=0 时， P 在 x 轴上； 开口 3. 二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小； 当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口； |a| 越大，就抛物线的开口越小； 打算对称轴位置的因素 4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置； 当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左； 由于如对称轴在左边 3 第 3 页，共 13 页 就对称轴小于 0，也就是 - b/2a0, 所以 b/2a 要小于 0，所以 a， b 要异号 可简洁记忆为左同右异，即当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时 （即 ab 0 ） ，对称轴在 y 轴右； 事实上， b 有其自身的几何意义：抛物线与 y 轴的交点处的该抛物线切 线的函数解析式（一次函数）的 斜率 k 的值；可通过对二次函数求导得到； 打算抛物线与 y 轴交点的因素 5. 常数项 c 打算抛物线与 y 轴交点； 抛物线与 y 轴交于（ 0， c） 抛物线与 x 轴交点个数 6. 抛物线与 x 轴交点个数 = b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； = b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； = b2-4ac - b b2 4ac x= 0 时，抛物线与 的值的相反数，乘上 x 轴没有交点； X 的取值是虚数（ 虚数 i ，整个式子除以 2a） 当 a0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b²/4a ； 在 x|x-b/2a 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 y|y 4ac -b2/4a 相反不变 当 b=0 时，抛物线的对称轴是 形为 y=ax2+c(a 0) y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变 特殊值的形式 7. 特殊值的形式 4 第 4 页，共 13 页 当 x=时 y=a+b+c x=-1 时 y=a-b+c 当 当 x=2 时 y=4a+2b+c 当 x=-2 时 y=4a-2b+c 二次函数的性质 8. 定义域： R 值域：（对应解析式，且只争论 a 大于 0 的情形， a 小于 0 的情形请读 者自行推断） (4ac-b2)/4a ， 正无穷）； t ，正无穷） 奇偶性：当 b=0 时为偶函数，当 b0 时为非奇非偶函数 ； 周期性：无 解析式： y=ax2+bx+c 一般式 a0 a 0，就抛物线开口朝上； a 0，就抛物线开口朝下； 极值点：（ -b/2a ， (4ac-b2)/4a =b2 -4ac, ） ； 0，图象与 x 轴交于两点： （-b- /2a ， 0）和（ - b+ /2a ， 0） ； 0，图象与 x 轴交于一点： （-b/2a ， 0） ； 0，图象与 x 轴无交点； y=a(x-h)2+k 顶点式 此时，对应极值点为（ h， k） ，其中 h=-b/2a ， k=(4ac-b2)/4a ； y=a(x-x1)(x-x2) 对称轴 X=(X1+X2)/2 交点式（双根式） （a0） 当 a0 且 X (X1+X2)/2 时，Y 随 X 的增大而增大， 当 a0 且 X（ X1+X2） /2 时 Y 随 X 的增大而减小 此时， x1 ，x2 即为函数与 X 轴的两个交点，将 X，Y 代入即可求出解析 5 第 5 页，共 13 页 式（一般与一元二次方程连 用）； 交点式是 Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个 x 轴交点和另一个点坐标设交 点式；两交点 X 值就是相应 X1 X2 值； 262 用函数观点看一元二次方程 y ax 2 1. 假如抛物线 bx c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 x 0 2 x0 时，函数的值是 0，因此 x0 就是方程 x ax bx c 0 的一个根； x 2. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点， 有两个公共点； 这对应着一元二次方程根的三种情形： 没有实数根， 有两个相等 的实数根，有两个不等的实数根； 263 实际问题与二次函数 在日常生活，生产和科研中，求使材料最省，时间最少，效率最高等问题，有些 可归结为求二次函数的最大值或最小值； 其次十七章 相像 271 图形的相像 概述 假如两个图形外形相同 , 但大小不肯定相等 , 那么这两个图形相像； （相 似的符号：） 判定 假如两个多边形满意对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边 形相像； 相像比 6 第 6 页，共 13 页 相像多边形的对应边的比叫相像比；相像比为 1 时，相像的两个图形 全等； 性质 相像多边形的对应角相等，对应边的比相等；相像多边形的周长比等 于相像比； 相像多边形的面积比等于相像比的平方； 272 相像三角形 判定 1. 两个三角形的两个角对应相等 2. 两边对应成比例 3. 三边对应成比例 , 且夹角相等 4. 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的 三角形与原三角形相像； 例题 A= A; B= B ABC ABC 性质 1. 相像三角形的一切对应线段 ( 对应高，对应中线，对应角平分线，外 接圆半径，内切圆半径等）的比等于相像比； 2. 相像三角形周长的比等于相像比； 3. 相像三角形面积的比等于相像比的平方 7 第 7 页，共 13 页 273 位似 假如两个图形不仅是相像图形，而且每组对应点的连线交于一点， 对应边相互平行， 那么这两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心， 这时的相像比又称为位似比； 性质 位似图形的对应点和位似中心在同始终线上，它们到位似中心的距离 之比等于相像比； 位似多边形的对应边平行或共线； 位似可以将一个图形放大或缩小； 位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位 变而位变； 依据一个位似中心可以作两个关于已知图形肯定位似比的位似图形 , 这两个图形分布在位似中心的两侧 , 并且关于位似中心对称； 留意 1，位似是一种具有位置关系的相像，所以两个图形是位似图形，必定 是相像图形，而相像图形不肯定是位似图形； 2，两个位似图形的位似中心只有一个； 3，两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一 侧； 4，位似比就是相像比 利用位似图形的定义可判定两个图形是否位似； 5，平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三 角形位似； 其次十八章 锐角三角函数 8 第 8 页，共 13 页 281 锐角三角函数 锐角角 A 的正弦（ sin ）, 余弦（ cos ）和正切（ tan ）, 余切（ cot ）以及正 割（ sec ） ， （余割 csc ）都叫做角 A 的锐角三角函数； 正弦（ sin ）等于对边比斜边， 余弦（ cos ）等于邻边比斜边 正切（ tan ）等于对边比邻边； cot ）等于邻边比对边 余切（ 正割（ sec) 等于斜边比邻边 余割 (csc) 等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 互余角的三角函数间的关系； sin (90 - )= cos , cos(90 - )=sin , tan (90 - )=cot , cot(90 - )=tan . 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2( )+cos2( )=1 )+1=sec2( ) tan2( cot2( )+1=csc2( ) 积的关系： sin =tan cos cos=cot sin tan =sin sec cot =cos csc sec=tan csc csc=sec cot 倒数关系： tan cot =1 sin csc=1 cos sec=1 9 第 9 页，共 13 页 直角三角形 ABC中 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 , 余切等于邻边比对边 三角函数值 （ 1）特殊角三角函数值 （ 2）0 90的任意角的三角函数值，查三角函数表； （ 3）锐角三角函数值的变化情形 （ i ）锐角三角函数值都是正值 （ ii ）当角度在 0 90间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （ iii ）当角度在 0 90间变化时， 0sin 1, 1 cos 0, 当角度在 00, cot 0. 特殊的三角函数值 0 30 45 60 90 0 1/2 2/2 3/2 1 sin 1 3/2 2/2 1/2 0。