详解十五道高中立体几何典型易错题.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑详解十五道高中立体几何典型易错题 典型立体几何题 典型例题一 例1 设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 分析：命题①是假命题．由于底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩 形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体； 命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．由于有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如下图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中全体对角线相等，对角面B1BDD1是平行四边形，对角线 BD1?B1D，所以四边形B1BDD1是矩形，即BB1?BD，同理四边形A1ACC1是矩形，所以AA1?AC，由AA1//BB1知BB1?底面ABCD，即该平行六面体是直平行六面体． 应选A． 说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与识别，要紧扣底面外形及侧棱与底面的位置关系来解题． 下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以察觉立体几何与平面几何大量学识是可以举行类比的．见表表 平行四边形 ①对边平行且相等 ②对角线交于一点，且在这一点彼此平分 平行六面体 ①相对的侧面平行且全等 ②对角线交于一点且在这一点彼此平分 ③四条边的平方和等于两条对角线③十二条棱的平方和等于四条对的平方和 1 / 16 角线的平方和 典型立体几何题 典型例题二 例2 如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1?8，BD1与侧面BB1C1C所成角为30?，求：（1）BD1与底面ABCD所成角；（2）异面直线BD1与AD所成角；（3）正四棱柱的全面积． 分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面ABCD、 A1B1C1D1是正方形，长方体中有对比多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为概括的角，落实 线面成角，先要找线面垂直关系．异面直线BD1与AD所成角通过AD//A1D1，落实为概括的?A1D1B．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式． 解：（1）在正四棱柱A1C中，∵D1C1?面BB1C1C， ∴?D1BC1是D1B与侧面BB1C1C所成角，即?D1BC1?30?． ∵ BD1?8，∴ D1C1?4，BC1?43， ∵ A1B1C1D1是正方形，∴B1C1?D1C1?4， D1D?平面ABCD，∴ ?D1BD是D1B与底面ABCD所成角， 在Rt△D1DB中，BD?B1D1?42，BD1?8， ∴cos?D1BD?BD2，∴?D1BD?45?， ?BD12即BD1与底面ABCD所成角为45?． （2）∵AD//A1D1， ∴?A1D1B是BD1与AD所成角（或补角）． ∵D1A1?平面AA1B1B，∴ D1A1?A1B， Rt△A1D1B中，A1D1?4，BD1?8， ∴cos?A1D1B? 1，∴?A1D1B?60?， 2 2 / 16 典型立体几何题 即异面直线AD与BD1所成角为60?． （3）Rt△BB1C1中，B1C1?4，BC1?43． ∴ BB1?42， ∴ S全?24?4?4?42?4?42?3222?1． 说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是生动解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件． 典型例题三 例3 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA求直线B1C11?5，AB?12，与平面A1BCD1的距离． 分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有CB?平面AA1BB1，这样，只要作B1H?A1B，又有B1H?CB，得到B1H?平面 ????BCD1A1． 解：长方体AC1中，有BC?平面AA1BB1，过B1作B1H?A1B于H，又有 BC?B1H， ∴ B1H?平BCD1A1，即B1H是B1C1到平面A1BCD1的距离． 在Rt△BB1A1中，由已知可得，BB1?5，A1B1?12， ∴ A1B?13，∴B1H?60． 1360． 13即B1H是B1C1到平面A1BCD1的距离为 说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，譬如，求正方体AC1中，A1C1与面C1BD所成角．这里，要 3 / 16 典型立体几何题 找A1C1与C1BD所成角，务必找A1到平面C1BD的垂线，由于BD?面AA1C1C，在对角面AC1内，过A1作A1H?OC1于H，那么BD?A1H，所以A1H?面C1BD，可以得到?A1C1O为A1C1与面C1BD所成角，在对角面AA1C1C中可计算 ?A1C1O?arctan2． 典型例题四 例4 如图，已知直三棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB?AC，F为侧棱BB1上一点， BF?BC?2a，FB1?a．（1）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任 一点，求证：EF?FC1；（2）若A1B1?3a，求FC1与平面AA 1B1B所成角的大小．分析：E点在AD上变化，EF为平面ADF内变化的一组相交直线（都过定点F），要证明C1F与EF垂直，必有C1F?平面ADF．求FC1与平面ABB1A1所成角的关键是找C1到面从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱AAABB1A1的垂线，1?平面A1B1C1给找点C1到面AB1的垂线创造了便当的条件． 解：（1）∵AB?AC，且D是BC的中点，∴AD?BC， 又∵ 直三棱柱中BB1?平面ABC，∴AD?BB1， ∴ AD?平面BB1C1C，∴AD?C1F． 在矩形BB1C1C中，BF?BC?2a，B1F?a， ∴DF?5a，FC1?5a，DC1?10a， ∴DF2?FC12?DC12，∴?DFC1?90?，即FC1?DF， ∴FC1?平面ADF，∴FC1?EF． （2）过C1作C1H?A1B1于H，∵AA1?平面A1B1C，∴AA1?C1H， ∴C1H?平面AA1B1B，连接FH，?C1FH是C1F与平面AB1所成角． 在等腰△ABC中，AB?AC?3a，BC?2a，∴AD?22a， 4 / 16 典型立体几何题 在等腰△A1B1C1中，由面积相等可得，C1H?3a?22?2a， ∴C1H?42a，又C1F?5a， 3410， 15在Rt△C1HF中，sin?C1FH?410， 15∴?C1FH?arcsin即C1F与平面AB1所成角为arcsin410． 15说明：由于点E在AD上变化，给斟酌增加了难度，但留心斟酌，它又供给了解题的突破口，使得线线垂直成为了CF1与一组直线垂直．此题的证明还有一个可行的思路，虽然E在AD上变化，但是由于AD?平面BB1C1C，所以E点在平面BC1上的射影是定点D，EF在平面BC1上射影为定直线DF，使用三垂线定理，可由C1F?DF，直接证明 C1F?EF．三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直 O是底面ABCD的一个有力工具，再看一个例子，正方体AC1中， 的中心，E是A1B1上动点，F是DD1中点，求AF与OE所成角．我们取AD中点G，虽然E点变化，但OE在面AD1上射影为定直线A1G，在正方形AA1D1D中，易证A1B?AF，所以，AF?OE，即AF与OE所成角为90?． 典型例题五 例5 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为a，过BC的截面与底面成30?的二面角，分别就（1）a?3；（2）a?1计算截面的面积． 分析：要求出截面的面积，首先务必确定截面的外形，截面与底 面成30?的二面角，假设a较大，此时截面是三角形；但是假设a较小，此时截 5 / 16 — 7 —。