2022级硕士研究生《数值分析》试卷(A)初稿.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022级硕士研究生《数值分析》试卷(A)初稿 合肥工业大学2022级硕士研究生《数值分析》试卷(A)初稿 一、判断题 (以下各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2 分，共10分) 1. 近似数x?3.200关于切实值x?3.202278有4位有效数字 ( ) 2. 设xi(i?0,1,2,3)是互异的点，li(x)(i?0,1,2,3)是Lagrange插值基函数，那么 *?4xl(x)?4x2iii?0732. ( ) 12345673. 设f(x)?x?3x?2，那么差商f[2,2,2,2,2,2,2]?1 ( ) 4. 设A是n阶非奇异方阵，那么解方程组Ax?b的迭代法收敛的充要条件是A的谱半径 3?(A)?1 ( ) 5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta方法的整体截断误差是O(h)，其中h是步长。

( ) 二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设x?(2,1,?3,4)，A??2. 设I?T4??25??. 那么 ||x||1? , Cond(A)?? . 4?3???20若用梯形求积公式计算I，结果是4；用Simpson求积公式计算I，f(x)dx， 结果是2. 那么f(1)? . 3. 设S是函数f在区间[0,3]上得志第一类边界条件的的三次样条： ?x2, 0?x?1,? S(x)??12??x?1??a?x?1??b,1?x?3,?2 那么a? ，b? ，f?(3)? . 4. 设函数f(0.8)??1.2,f(0.9)??1.4,f(1)??1.0,f(1.1)?0.2,f(1.2)?0.5, 步长 h?0.2，那么用三点数值微分公式计算f?(1)的近似值为 . 5. 设函数f(x)是最高次项系数为?1的3次多项式，的Lagrange插值多项式, 那么余项f(x)?*p2(x)是f(x)在节点?1,0,1上 p2(x)? . *三(此题总分值8分) 要使50的近似值x的相对误差限是0.01%，求x至少应具有几位有效数字？ 1 四(此题总分值10分) 对以下方程组分别建立收敛的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式，并说明理由。

?3x1?2x2?10x3?15,???10x1?4x2?x3?5, ?2x?10x?7x?8.23?1 五(此题总分值10分) 用以下表中的数据求插值多项式 p(x)，使之得志p(xi)?f(xi)， i?0,1,2，和p?(x0)?f?(x0),p?(x0)?f?(x0). xi f(xi) 0 1 0 1 3 4 2 11 f?(xi) 六(此题总分值12分) (1) 确定x1,x2,A1,A2，使下面的求积公式为Gauss型求积公式 ? 1?1f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2). (2) 用(1)中的两点Gauss公式计算I??10xcos2xdx的近似值 *x是方程f(x)?0的单根七(此题总分值12分) (1) 设f?C2[a,b]，写出求x的Newton 迭代格式；并证明求x的Newton迭代法至少是平方收敛的 (2) 取初值x0?1.5,x1?1.6，用弦截法求方程x?2x?1?0在x0?1.5邻近的实根 3**x*.（只迭代两次） 八(此题总分值10分) 求拟合以下表中数据的1次最小二乘多项式p1(x)，取权?i?1， i?0,1,2,3，并计算总误差Q. i 0 1 0.5 1 2 1.1 2 3 1.6 3 4 2.3 xi yi 九(此题总分值12分) (a) 证明Euler方法具有1阶精度。

(b) 用提升的Euler方法求解以下初值问题，取步长h?0.5， 2 y?dy?1?,?dtt??y(1)?2.?1?t?2,. 3 — 4 —。