用待定系数法求一类不等式的最值.docx

用待定系数法求一类不等式的最值题 己知x，v，z均为正数，求函数〃(x,y,z)= 的最大值x +y +z~(第9届希望杯高二培训)一般解法是：心y,z） = X +V +Z （/+捉）+ （捉 +z2）xy+yz\[2xy + ^2yz_V2_ 2当且仅当x2 = — y2, — y2 = z2即x = z = - y (x, y, z > 0)时等号成立上述解法经过分母的变形后，巧妙地利用均值不等式，使问题得以求解，是开拓思路，培养创新精神的一个好题诚然，均值不等式是求函数最值的一种重要的方法，这种方法对变形能力的要求较高.常需考虑“一正、二定、三等”三个方面,但在实际问题中，我们发现有些题根本凑不出定值，或虽凑出定值而等号又不能成立，因此有时往往会觉得难以入手，如上例此时若通过“设参、定参”，并把表达式进行适当的分解或重组，创设使用含参均值不等式的情景，能使问题获解例如，我将原题该为：己知x,y,z均为正数，求函数“(x,y,z)= 的最大值x +y +z分析：两者解法之间是否有一定的相同之处呢？若把/+y2+z2拆成(X2 +：y2)+ gy2 +z2)是行不通的，不妨尝试引进新的参数。

其中 m+n = \ ）解：= p 2x +y +z x +my +ny +zxy + 2yz xy + 2yzv —— = - 2屈y + 2Sz 2插（xy + 农）\lm欲使上式为定植，只需毛=2,即〃 =4e又s = 1得心扑日此时当且仅当、=季寿=若,时,“有最大值〃心手推广：已知x,y,z均为正数,请读者一试求函数"3, y, z)=mxy+nyz2 2 2x +y +z(mn 0)的最大值应用巧增参数法，可快速地解决如下两题:例1： (97高考)甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过C千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度V(千米/时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.(I)略(II)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?解：y = ax — + bv2 — = s(— + bv),v e (0,c] (S, a, b, v 都为正数)V V V(1)若 A— < c , y = — + bv) > 2s4ab ,V b v当且仅当- = bv,即v = 时y有最小值.v V b(2)若£〉c，y = s" +主+虹^)冒2国+史改)V b v v cr 2 c 2当且仅当 如，即 < 人_ Q时y有最小值.V = C (1 n-he2此时 Vmin = s(2[——ab+ ——)=s(2bc + )V a c cbe2 + a例2：用总长为14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容器分析：设容器底面较长边长为xm,则另一边长为x-0.5m高为 h = 14.8-4x-4(x-0.5) = A? _2x (0.5 V X V 2.1)4设容器的容积为yn?,则有y =心—0.5)(4.2 —2x) (0.5 V x < 2.1)=——(mr)(〃x-0.5〃)(4.2 - 2x) (m,n 为参数)mn1mnmx+ 心 - 0.5〃 + 4.2 - 2x)m = 0.8得 < 〃 =1.2X = 1.5为使上式为一定值，需使2 = 0此时等号成立当且仅当mx=nx-0.5n = 4.2-2xm + 〃 一 2 = 0解不等式组< = 0.5/1(772 + 2)x = 4.2此时容器的高为/2 = 1.2 m ,容器容积有最大值'max = 1・8 m3.因此，在应用均值不等式求函数最值问题中，适当增设参数，可使条件与结论间的联系得以加强，获得淡化复杂技巧之功效.。