直线与圆、圆与圆的位置关系-2025年高考数学备考复习.pdf

第八章平面解析几何第4讲 直 线 与 圆、圆与圆的位置关系6学生用书P177课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2,能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.直线与圆的位置关系2022新高考卷UT15；2021新高考卷IIT11；2021全国卷甲T20本讲是高考的命题热点，主要考查：（1）直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系的判断，切线问题，弦长问题；（2）将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的条件.主要以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题的一部分考查，难度中等.在2025年高考的备考中重视常规考向的同时注意与圆锥曲线的综合命题.圆的弦长问题2023 新高考卷IIT15；2023全国卷甲T8；2021北京T9圆的切线问题2023新高考卷IT6；2022新高考卷IT14；2022全国卷甲T14；2020 全国卷IT11；2019全国卷HIT21圆与圆的位置关系2022新高考卷IT141.直线与圆的位置关系设圆的半径为r,圆心到直线/的距离为d,则位置关系相离相切相交图形G%公共点个数012判定方法代数法/rd)=rd 0)上一点 P(xo,1yo)的切线方程为(xQ)(X-Q)+(yo-b)(y b)=r2；(2)过圆C：(%a)2+(yb)2=r2(r 0)外一点 尸(xo,yo)作圆C 的两条切线，切点分别为4 B,贝 I 尸，A,B,。

四点共圆，且4 5 所在直线的方程为(回一a)(xa)+(次一b)(b)=r2；(3)若圆的方程为(XQ)2+(y6)2=r2(r 0),则过圆外一点尸(祝，次)的切线J22(%0-+(y0一方)r2.2.圆与圆的位置关系(1)设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别 为 七 r(R r),则位置关系外离外切相交内切内含图形公共点个数01210d,R,尸的关系 dR+r d=R+r R r d R d=R-r d 0)与圆C：7+产=户,点/(a,b),则下列说法正确的是(A B D )A.若 点/在 圆 C 上，则直线/与圆C 相切B.若 点/在 圆内，则直线/与圆C 相离C.若 点/在 圆外，则直线/与圆C 相离D.若点/在直线/上，则直线/与圆C 相切解析 对于A,若点N (a,b)在圆C 上，则所以圆心0,0)到直线/的距离d=r,所以直线/与圆C 相切，故 A 正确；对于B,若点N (a,b)在 圆 Cr2内，则 层+r,所以直线/与圆Ca2+b2相离，故 B 正确；对于C,若点/(a,6)在圆C 外，则 层+6 2，所以圆心0,0)到直线/的距离d=二 一O,所以直线/与圆C 相交，故 C 不正确；对于D,因为点/a2+b2在直线/上，所以层+尻=八，圆心C(o,0)到直线/的距离d=J=r,所以直线/la2+b2与圆C 相切，D正确.故选ABD.(2)2 0 2 2 新高考卷n 设点/(-2,3),B(0,a),若 直 线 关 于 y=a对称的直线与 圆(x+3)2+(y+2)2=1 有公共点，则。

的取值范围是.解 析 解 法 一 由 题 意 知 点 4 (2,3)关于直线y=a的对称点为4(2,2 a 3),所以kA，B=号,所以直线的方程为即(3 a)x 2 y+2 a =0.由题意知直线与 圆(x+3)2+3+2)2=1 有公共点，易知圆心为(-3,-2),半径为1,所以I y+0,所以直线/与圆C 相交.解 法 二（几何法）由题意知，圆心C（1）到 直 线/的 距 离 占 扁 0）的距离等于2,则 6的 值 为 4 .解析 如图，分别作直线/1,心与直线/平行，且与直线/的距离均 zZ|；为2.圆C:x2+y2=6,则圆心坐标为（0,0）,半径，=4.圆心（0,0）到直线/:伍 一 y+6 =0的距离d=*.因为圆上恰有3 /V/）；个点到直线/的距离等于2,由图可知，圆 C 与&相切，与人有2 个:十交点，（转化为圆C 与直线/1,6 的位置关系）则+2-4，得|2 又 心 0,所以6=4.d-2 4,也 ，6 0）的 离 心 率 为 病的一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1 交于/,3两点，贝 I 4 8|=（D ）AV 5 2 V 5 3 V 5 4 V 5A-T B-C-D-解析 根据双曲线的离心率？=遮=,得 =遍 4,即0 2=5次，即Q2+6 2=5 2,所以加=ah24 屋，/=4,所以双曲线的渐近线方程为y=2x,易知渐近线y=2 x 与圆相交.（V =2%,解法一 由 2 2 得 5/1 6 x+1 2=0.设/（x i,y i）,B（%2,、（%2）+（y 3）=1,H)，则 Xl+%2=,X lx2=.所以 I AB I =)1 +22 I XX2 I =V 5 X J (y)24 X y=4 V 5故选D.解法二 则 圆 心（2,3）到渐近线y=2 x 的距离d=2 x 2-3 1 _=且,所以|/台|=业+（-D 22 J l-d2=2 J l-(y)2=呼，故选 D.（2）20 23新高考卷n 已知直线x-m y+l=0 与。

C：1）2+=4交 于 出 8 两点,写出满足“/3C 面积为表 的正的一个值.2（答案不唯一）.解析 设直线x 叼+1=0为直线/,由条件知C的圆心C （1,0）,半径R=2,C到直 线/的 距 离 二 彳 （提示：点（x o,次）到直线4 x+玫+C=0的距离d=yjl+m2I A+B yo+C I)I =2A2+B2=2J4-得1v4 I m I v 2 8ix7 x7 S=?整理得2”一5 I m I +2 =0,解得加=2或加=g.方法技巧求解圆的弦长问题的方法设直线/被圆C截 得 的 弦 为 圆 的 半 径 为 八 圆心到直线的距离为d,则 I几何法AB I=2 一.在解决圆的弦长问题时，多用几何法.若斜率为左的直线与圆相交 于/（XA,），B（XB,）两 点,W AB=代数法V l +f c2-I XAXB =1 +-7 I yAye I (其中左W O).特别地，当后=0 时，IAB =XAXB I ;当斜率不存在时，I 4S I =I yAyB I .训练2（1）20 21 北京高考 己知圆C：/+产=4,直线/：y=k x+m,当人的值发生变化时，直线/被圆C所截得的弦长的最小值为2,则机的值为（C ）A.2B.V 2C.+V 3D.3解析 解 法 一（几何法）设直线/与轴交于点4（0,m）,由题意知，圆心。

0,0）,当左的值发生变化时，要使直线/被圆所截得的弦长最小，则圆心C 到直线/的距离最大，为 I AC I,即 I 加 I=J22-12=V3,所以 m=V 3.解 法 二（代数法）由1“+,4 得（左 2+）/+2 加a+加 24=0.设交点/（xi,（y =kx+m（I-2km%1+久2=1，,_”），B（X2,2）,则?+则 I 45 I=V1+k2 I XIX2 I=V X1i Xz?=-k2+l.K l +k2.J（a+%2）2 4%62=1+北（若）2-4.黑=2J4 黑.显然当左=0 时，弦长取得最小值24-m 2=2,解得加=土国.（2）多选/2024南京市第五高级中学模拟 已知圆O：7+产=9,过点/（2,0）的直线/与圆交于M,N 两点，则（BD）A.存在直线/,使 得 I MV I =4B.使 得 I MN I 为整数的直线/有3 条C.存在直线/,使得MCW的面积为1D.存在直线/,使得VON的面积为竽解析 因为圆的半径为3,I 0/I =2,所以26I ACV I 2,不符合2 2 4 2条件，故 C 不正确.若 5=学，则 s in/V O N=f,则NMON=g或与若NMON=,则。

到直线/的距离为3cos-=2,不符合条件；若/M O N=则到直线/的距离为3cosW=：4,.点M 在圆C 外部.当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,即x3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0 的距离 d=3 l=2=r,即此时满足题意，,直 线 x=3 是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y1 k(x3),即fcr了+13左=0,则圆心到切线的距离“二1上 当一3=厂=2,解得后=三.Vfc2+i 4O丁 切线方程为 y 1=-(x3),即 3x4y5=0.4综上可得，过点M 的圆的切线方程为X3=0 或 3x4y5=0.；I A/C I =/2 2J (3 1)+(1 2)=V5,二 过 点 M 的圆的切线长为J I M C I 2一 丁2=J s 4=1.方法技巧1.求过圆上一点尸(X0,y o)的切线/方程的方法利用O P与/垂直及/过点尸求切线方程.2.求过圆外一点的切线方程的方法几何法设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.代数法设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于X或y 的一元二次方程，利用=0 求解.注意(1)求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.(2)设直线方程时注意对斜率是否存在进行讨论.3.过圆外一点M作圆的切线，求切线长的技巧先求M 与圆心的距离d,再由勾股定理求得切线长为J d 2 一/(其中厂为圆的半径).训练3 (1)2 0 2 3 重庆市二调 已知直线/：x了+8=0 与 x 轴交于点/,过直线/上的动点尸作圆工2+产=1 6 的两条切线，切点分别为C,D,则直线CD恒过定点的坐标为2,2)；若 M是线段CA的中点，则 I A M I 的 最 小 值 为 4 a.解析 解法一 设点尸坐标为(xo,j o),。

为坐标原点，连接OP,易证C,两点在以O 尸为直径的圆上，故 C,D两点为此圆与圆N+产=1 6 的交点，由(x2+y2=1 6,2 2 1 化简得xo x+y o y=1 6,此方程即直线CD的方程，(T)+(y-?)得(焉+泓又点P是直线/上的动点，所以次)=xo+8,所以直线CD的方程为xo x+(xo+8)y=l6,即 xo (x+y)+8 y=1 6.当 x+y=0,8 y=1 6 时，y=2,x=2.故直线 C D 过定点(一 2,2).令定点为尸，由 O A/_L C D 知，OM LM F,又 I O 尸I=2 应，所以点M在以O 尸为直径的圆上，其轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=2,设圆心为N,则 N(l,1).又/(-8,0),AN =J (1 +8)2+l2=5 V 2,故 I/M l 的最小值为 5 鱼 一 鱼=4 夜.解 法 二 依 题 意，设点尸坐标为(xo,x0+8),贝 C D:xo x+(x0+8)y=1 6.(二级结论：从圆外一点尸(xo,次)，引 圆/+/=”的两条切线，切点弦所在直线的方程为xo x+yoy=r2)后同解法一.(2)2 0 2 1 天津高考 若斜率为皆的直线与y 轴交于点/,与圆r+(y i)2=i 相切于点 B,则 I AB I=W .解析 设直线48的方程为=岳+6,则点/(0,b),由于直线48与圆好+=1相切，且圆心为C (0,1),半径为1,则“2 1 =1 ,解得b=-1 或 6=3,I 2 2所以 I N C I=2,因为 1 3 c l =1,所以 I I=J I A C I BC =V 3.命题点4 圆与圆的位置关系角 度 1 圆与圆位置关系的判断_2 2例 5 2 0 2 3 安徽省十校联考 已知直线/：小+y 一3%2=0 与圆M:(x5)+(y-4)=2 5 交于4,3两点，则 当 弦 最 短 时，圆M与圆N：(x+2 机)2+产=9 的位置关系是(B )A.内切B.外离C.外切D.相交解析 易知直线/:mx-y3 m2 =0即 加(x3)-y2 =0,可 知/过 定 点 尸(3,2),因 为(3-5)2+(2-4)2闹=5+3,所以这两圆外离.故选B.角度2 两圆的公切线问题例6 2 0 2 2新高考卷I 写 出 与 。