2022-2023学年吉林省长春市市汽车产业开发区第四中学高二数学理联考试题含解析.docx
6页2022-2023学年吉林省长春市市汽车产业开发区第四中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．2. 双曲线的渐近线与圆相切，则r=（ ）（A） （B）2 （C）3 （D）6参考答案：A3. 设全集U={1,2,3,4}，则集合A={1, 3}，则CUA=(A){1, 4} (B){2, 4} (C){3, 4} (D){2, 3}参考答案：B4. 在△ABC中，，，则△ABC一定是 （ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形参考答案：D5. 命题“?n∈N，f（n）?N且f（n）≤n”的否定形式是（ ）A．?n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n B．?n0∈N，f（n0）∈N且f（n0）＞n0C．?n∈N，f（n）∈N或f（n）＞n D．?n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0参考答案：D【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?n∈N，f（n）?N且f（n）≤n”的否定形式是：?n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．一般形式为：全称命题：?x∈M，p（x）；特称命题?x∈M，p（x）．6. 某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内为 ( )Ａ． B． C． D． 参考答案：B7. 空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（ ）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2参考答案：C【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．故选C．8. 若，则的值使得过点可以做两条直线与圆相切的概率等于 不确定 参考答案：B9. 在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D. 参考答案：D略10. 已知函数有平行于轴的切线且切点在轴右侧，则的范围为A． B． C． D．参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列的前项和则它的通项公式是__________. 参考答案：12. 已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围为 .参考答案： .13. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为 ．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率．【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V三棱锥O﹣PAB≥；在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，则V多面体CDEFGH=V四棱锥G﹣CDEF+V三棱锥G﹣DEH=，又V四棱锥P﹣ABCD=，则所求的概率为P==．故答案为：14. 幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是 ．参考答案：f（x）=考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：待定系数法．分析：幂函数f（x）的图象过点（3，），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．解答：解：由题意设f（x）=xa，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=∴a=∴f（x）=故答案为：f（x）=点评：本题的考点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用，考查用待定系数法求已知函数类型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式．15. 点P在直线上，O为原点，则|的最小值是 参考答案：16. 已知函数，则f (4) =_________.参考答案：3略17. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为；类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知，，.（1）求与的夹角和的值；（2）设，，若与共线，求实数m的值.参考答案：（1）与的夹角为，；（2）.【分析】（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长；（2）根据共线定理必存在使得：，求解参数.【详解】（1），，，，，所以，所以与的夹角为，；（2）由（1）可得：与不共线，，，若与共线，则必存在使得：，所以，得.【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.19. 已知各项都不相等的等差数列{an}，a6=6，又a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2+2n，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由bn=2+2n=2n+2n，利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和．【解答】解：（1）∵各项都不相等的等差数列{an}，a6=6，又a1，a2，a4成等比数列．∴，解得a1=1，d=1，∴数列{an}的通项公式an=1+（n﹣1）×1=n．（2）∵bn=2+2n=2n+2n，∴数列{bn}的前n项和：Sn=（2+22+23+…+2n）+2（1+2+3+…+n）=+2×=2n+1﹣2+n2+n．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20. （本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是梯形，⊥底面，，，。
1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的余弦值. 参考答案：解: (1)由已知有是直角梯形，作CE⊥AD，则且，在中,，，又AD=3，则，······ 3分，又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于··············································· 6分（2）方法一：平面由（1）知，则平面作于，连接，由三垂线定理知为所求二面角的平面角·············································· 9分在中，由∽则，，故二面角的余弦值为·········· 12分 （2）方法二：分别以为轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为········································································ 8分设平面的一个法向量为由，取得···················································· 10分，故二面角的余弦值为， 12分21. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）的零点有且只有一个，求实数a的值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．对t分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（II）F（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2，函数F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+∞）上有且仅有一个实数根．由题意可得：若使函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h（x）min．【解答】解：（I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．①当时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值， =﹣．②当t时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴x=t时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（t）=tlnt．（II）F（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2，函数F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+∞）上有且仅有一个实数根．令h（x）=lnx+x+，则h′（x）=+1﹣=．可得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（1）=3．由题意可得：若使函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h（x）min=3．因此：函数F（x）的零点有且只有一个，则实数a=3．22. 甲乙两班进行数学考试，按照大于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到下列联表．已知在100人中随机抽取1人为优秀的概率为． 优秀非优秀总计甲班10 乙班 30 合计 100（1）请完成上面的列联表；P（k2≥k0）0.100.050.025k02.7063.8415.024（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：k2=．参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由100人中随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出K2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【解答】解：（1） 优秀非优秀总计甲班104050乙班203050合计3070100（2），按95%的可能性要求，能认为“成绩与班级有关系” 。
