《可靠性理论》课程教学课件(288P).ppt

可靠性分析可靠性分析《《可靠性理论可靠性理论》》课程：课程：32学时学时9-16周周2.0学分学分必修课程必修课程成绩：平时成绩成绩：平时成绩30%：作业和到课：作业和到课 考试成绩考试成绩70%：：闭卷闭卷教学计划与管理教学计划与管理第一章第一章 绪论绪论1.1 1.1 可靠性基本概念可靠性基本概念可靠性基本概念可靠性基本概念(1)(1)可靠性定义可靠性定义可靠性定义可靠性定义 系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的能力完成规定功能的能力完成规定功能的能力完成规定功能的能力三三三三个个个个规规规规定定定定规定规定规定规定条件条件条件条件是指系统或产品所处的使用环境与维护条是指系统或产品所处的使用环境与维护条是指系统或产品所处的使用环境与维护条是指系统或产品所处的使用环境与维护条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件、物理条件和使用维护条件等。

件、物理条件和使用维护条件等件、物理条件和使用维护条件等件、物理条件和使用维护条件等规定规定规定规定时间时间时间时间规定规定规定规定功能功能功能功能是指系统或设备是指系统或设备是指系统或设备是指系统或设备( (产品产品产品产品) )执行任务的时间执行任务的时间执行任务的时间执行任务的时间一般指由用户提出的指标和要求一般指由用户提出的指标和要求一般指由用户提出的指标和要求一般指由用户提出的指标和要求1.1 可靠性基本概念可靠性基本概念 可靠性就是系统在时间可靠性就是系统在时间可靠性就是系统在时间可靠性就是系统在时间t t内不失效的概率内不失效的概率内不失效的概率内不失效的概率P(t)P(t)如果果果果T T为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统无故障工作的概率有下式：无故障工作的概率有下式：无故障工作的概率有下式：无故障工作的概率有下式： P(t)=P(T>t)P(t)=P(T>t) P(t)P(t)具有下面三条性质：具有下面三条性质：具有下面三条性质：具有下面三条性质： (1)P(t)(1)P(t)为时间的递减函数；为时间的递减函数；为时间的递减函数；为时间的递减函数； (2)0(2)0≤≤≤≤ P(t) P(t) ≤≤≤≤ 1 1；；；； (3)P(t=0)=1(3)P(t=0)=1；；；；P(t=P(t=∞∞∞∞)=0)=0 系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的量，使用时间越长，系统越不可靠。

量，使用时间越长，系统越不可靠量，使用时间越长，系统越不可靠量，使用时间越长，系统越不可靠2)(2)可靠性的定量定义可靠性的定量定义可靠性的定量定义可靠性的定量定义1.2 可靠性研究的意义可靠性研究的意义 (1)(1)提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生随着随着随着随着科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加 一台一台一台一台600MW600MW的发电的发电的发电的发电机由于故障停运一天，使机由于故障停运一天，使机由于故障停运一天，使机由于故障停运一天，使电厂的收入减少电厂的收入减少电厂的收入减少电厂的收入减少432432万元；万元；万元；万元； 最为惨痛的教训是乌最为惨痛的教训是乌最为惨痛的教训是乌最为惨痛的教训是乌克兰的切尔诺贝利核电站，克兰的切尔诺贝利核电站，克兰的切尔诺贝利核电站，克兰的切尔诺贝利核电站，19861986年年年年4 4号反应堆因核泄号反应堆因核泄号反应堆因核泄号反应堆因核泄漏导致爆炸，直到漏导致爆炸，直到漏导致爆炸，直到漏导致爆炸，直到20002000年年年年1212月完全关闭，月完全关闭，月完全关闭，月完全关闭，1414年里乌年里乌年里乌年里乌克兰共有克兰共有克兰共有克兰共有336336万人遭到核万人遭到核万人遭到核万人遭到核辐射侵害。

辐射侵害辐射侵害辐射侵害波音波音波音波音747747喷气客机有喷气客机有喷气客机有喷气客机有4 4百百百百5 5拾万个部拾万个部拾万个部拾万个部件，当单个元件可靠性为件，当单个元件可靠性为件，当单个元件可靠性为件，当单个元件可靠性为99.999%99.999%时，若系统由时，若系统由时，若系统由时，若系统由1010个、个、个、个、100100个、个、个、个、……，，，，元件组成串联系统，可靠性为：元件组成串联系统，可靠性为：元件组成串联系统，可靠性为：元件组成串联系统，可靠性为： 系统个数系统个数系统个数系统个数( (个个个个) ) 产品可靠性产品可靠性产品可靠性产品可靠性 1 99.9991 99.999％％％％ 10 99.9910 99.99％％％％ 100 99.90100 99.90％％％％ 1000 99.011000 99.01％％％％ 1 1万万万万 90.48%90.48% 10 10万万万万 36.79%36.79% 100 100万万万万 <0.1%<0.1%1.2 可靠性研究的意义可靠性研究的意义 (2)(2)提高系统或产品的可靠性，能使产品的总费用降低。

提高系统或产品的可靠性，能使产品的总费用降低提高系统或产品的可靠性，能使产品的总费用降低提高系统或产品的可靠性，能使产品的总费用降低 (3)(3)提高系统或产品的可靠性，能提高设备的使用率提高系统或产品的可靠性，能提高设备的使用率提高系统或产品的可靠性，能提高设备的使用率提高系统或产品的可靠性，能提高设备的使用率 (4)(4)提高系统或产品的可靠性，能提高企业信誉，提高经济提高系统或产品的可靠性，能提高企业信誉，提高经济提高系统或产品的可靠性，能提高企业信誉，提高经济提高系统或产品的可靠性，能提高企业信誉，提高经济效益1.3 可靠性内函可靠性内函 (1)(1)可靠性按学科分类：可靠性按学科分类：可靠性按学科分类：可靠性按学科分类： 一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可靠性物理等靠性物理等靠性物理等靠性物理等。

(2)(2)可靠性的技术基础：可靠性的技术基础：可靠性的技术基础：可靠性的技术基础： 概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学；概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学；概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学；概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学；基础试验技术；环境技术等基础试验技术；环境技术等基础试验技术；环境技术等基础试验技术；环境技术等 (3)(3)可靠性学科特点：可靠性学科特点：可靠性学科特点：可靠性学科特点： 可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综合；反馈和循环合；反馈和循环合；反馈和循环合；反馈和循环( (通过反馈与循环不断提高产品的可靠性通过反馈与循环不断提高产品的可靠性通过反馈与循环不断提高产品的可靠性通过反馈与循环不断提高产品的可靠性) ) 1.4 可靠性研究的数理特征可靠性研究的数理特征 可靠性研究的是随机事件或随机现象。

世界上有些事件是可靠性研究的是随机事件或随机现象世界上有些事件是可靠性研究的是随机事件或随机现象世界上有些事件是可靠性研究的是随机事件或随机现象世界上有些事件是确定的，只要满足了一定条件，这些事件的结果是不变的，如确定的，只要满足了一定条件，这些事件的结果是不变的，如确定的，只要满足了一定条件，这些事件的结果是不变的，如确定的，只要满足了一定条件，这些事件的结果是不变的，如水由两个氢原子和一个氧原子组成水由两个氢原子和一个氧原子组成水由两个氢原子和一个氧原子组成水由两个氢原子和一个氧原子组成; ;地球是自西向东旋转的等等地球是自西向东旋转的等等地球是自西向东旋转的等等地球是自西向东旋转的等等但世界上有些事是不确定的，每次观测的结果是不同的，是有但世界上有些事是不确定的，每次观测的结果是不同的，是有但世界上有些事是不确定的，每次观测的结果是不同的，是有但世界上有些事是不确定的，每次观测的结果是不同的，是有差异的如测量同一批规格零件尺寸，会出现不同的结果如测量同一批规格零件尺寸，会出现不同的结果如测量同一批规格零件尺寸，会出现不同的结果如测量同一批规格零件尺寸，会出现不同的结果事件或现象事件或现象事件或现象事件或现象确定性确定性确定性确定性不确定性即随机性不确定性即随机性不确定性即随机性不确定性即随机性介于确定性与不确定介于确定性与不确定介于确定性与不确定介于确定性与不确定性之间是混沌现象性之间是混沌现象性之间是混沌现象性之间是混沌现象1.5 该课程要掌握的内容该课程要掌握的内容基础是概率论基础是概率论基础是概率论基础是概率论1 1、可靠性的概率统计知识、可靠性的概率统计知识、可靠性的概率统计知识、可靠性的概率统计知识2 2、系统可靠性分析：包括串联系统、并联系统、、系统可靠性分析：包括串联系统、并联系统、、系统可靠性分析：包括串联系统、并联系统、、系统可靠性分析：包括串联系统、并联系统、表决系统、旁联系统、混联系统和复杂系统可靠表决系统、旁联系统、混联系统和复杂系统可靠表决系统、旁联系统、混联系统和复杂系统可靠表决系统、旁联系统、混联系统和复杂系统可靠性分析与计算方法。

性分析与计算方法性分析与计算方法性分析与计算方法3 3、故障模式影响和故障树分析故障模式影响和故障树分析故障模式影响和故障树分析故障模式影响和故障树分析重点内容重点内容重点内容重点内容第二章第二章 可靠性的概率统计知识可靠性的概率统计知识 可靠性是可靠性是可靠性是可靠性是“ “产品在规定的条件下和规定的产品在规定的条件下和规定的产品在规定的条件下和规定的产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力时间内，完成规定功能的能力时间内，完成规定功能的能力时间内，完成规定功能的能力” ”我们把表示我们把表示我们把表示我们把表示和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可靠性特征量靠性特征量靠性特征量靠性特征量 产品的可靠性特征量主要有：产品的可靠性特征量主要有：产品的可靠性特征量主要有：产品的可靠性特征量主要有： (1)(1)(1)(1)可靠度；可靠度；可靠度；可靠度；(2)(2)(2)(2)失效概率密度；失效概率密度；失效概率密度；失效概率密度； (3)(3)(3)(3)累积失效概率；累积失效概率；累积失效概率；累积失效概率；(4)(4)(4)(4)失效率；失效率；失效率；失效率； (5)(5)(5)(5)平均寿命；平均寿命；平均寿命；平均寿命；(6)(6)(6)(6)可靠寿命；可靠寿命；可靠寿命；可靠寿命； (7)(7)(7)(7)中位寿命；中位寿命；中位寿命；中位寿命；(8)(8)(8)(8)特征寿命等。

特征寿命等特征寿命等特征寿命等2.1 可靠性特征量可靠性特征量1、可靠度、可靠度n n可靠度是可靠度是“产品在规定条件下和规定时产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率间内完成规定功能的概率”n n显然，规定的时间越短，产品完成规定的功能显然，规定的时间越短，产品完成规定的功能显然，规定的时间越短，产品完成规定的功能显然，规定的时间越短，产品完成规定的功能的可能性越大；规定的时间越长，产品完成规的可能性越大；规定的时间越长，产品完成规的可能性越大；规定的时间越长，产品完成规的可能性越大；规定的时间越长，产品完成规定功能的可能性就越小定功能的可能性就越小定功能的可能性就越小定功能的可能性就越小§ 可靠度是时间可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度的函数，故也称为可靠度函数，记作函数，记作R(t)n nR(t)是一递减函数是一递减函数可靠度函数可写成：可靠度函数可写成：R(t)=P(T>t)R(t)=P(T>t)式中：式中：t t为规定时间，为规定时间，T T为产品寿命为产品寿命有：有： 假如在假如在t=0时有时有N件产品开始工作，而到件产品开始工作，而到t时刻有，时刻有，n(t)个产品失效，仍有个产品失效，仍有N-n(t)个产品个产品继续工作，则可靠度继续工作，则可靠度R(t)的估计值为的估计值为:2、累积失效概率和失效概率密度、累积失效概率和失效概率密度(1)累积失效概率也称为不可靠度，记作累积失效概率也称为不可靠度，记作F(t)。

它是产品在规定的条件下和规定的它是产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为：时间内失效的概率，通常表示为： 注意：累积失效概率注意：累积失效概率注意：累积失效概率注意：累积失效概率F(t)F(t)与可靠度与可靠度与可靠度与可靠度R(t)R(t)是相反关系：是相反关系：是相反关系：是相反关系：R(t)+F(t)=1R(t)+F(t)=1 或者：或者：F(t)=1-R(t)有：有： (2)失效概率密度失效概率密度是产品在包含是产品在包含t的单的单位时间内发生失效的概率，是累积失效位时间内发生失效的概率，是累积失效概率对时间概率对时间t的导数，记作的导数，记作f(t)可用下式可用下式表示：表示： 假设假设假设假设n(t)n(t)表示表示表示表示t t时刻失效的产品数，时刻失效的产品数，时刻失效的产品数，时刻失效的产品数，△△△△n(t)n(t)表示在表示在表示在表示在(t, (t, t+t+△△△△t) t)时间内失效的产品数时间内失效的产品数时间内失效的产品数时间内失效的产品数失效概率密度为失效概率密度为失效概率密度为失效概率密度为: : : :3、失效率、失效率(1)失效率定义失效率定义 失效率失效率失效率失效率( (瞬时失效率瞬时失效率瞬时失效率瞬时失效率) )是：是：是：是：“ “工作到工作到工作到工作到t t时刻尚未时刻尚未时刻尚未时刻尚未失效的产品，在该时刻失效的产品，在该时刻失效的产品，在该时刻失效的产品，在该时刻t t后的单位时间内发生失效后的单位时间内发生失效后的单位时间内发生失效后的单位时间内发生失效的概率的概率的概率的概率” ”，也称为失效率函数，记为，也称为失效率函数，记为，也称为失效率函数，记为，也称为失效率函数，记为λ(t)λ(t)。

由失效由失效率的定义可知，在率的定义可知，在率的定义可知，在率的定义可知，在t t时刻完好的产品，在时刻完好的产品，在时刻完好的产品，在时刻完好的产品，在(t (t，，，，t+t+△△△△t) t)时间内失效的概率为：时间内失效的概率为：时间内失效的概率为：时间内失效的概率为： 上式表示上式表示上式表示上式表示B B事件事件事件事件(T>t)(T>t)发生的条件下，发生的条件下，发生的条件下，发生的条件下，A A事件事件事件事件(tt)-R(t)=P(T>t)累积失效概率累积失效概率累积失效概率累积失效概率( (不可靠度不可靠度不可靠度不可靠度) )与失效概率密度关系：与失效概率密度关系：与失效概率密度关系：与失效概率密度关系：n n系列关系式：系列关系式：其其其其推推推推导导导导过过过过程程程程 设设设设t=0t=0时有时有时有时有N N个产品正常工作，到个产品正常工作，到个产品正常工作，到个产品正常工作，到t t时刻有时刻有时刻有时刻有N-n(t)N-n(t)个产品正个产品正个产品正个产品正常工作，至常工作，至常工作，至常工作，至t+t+△△△△t t时刻，有时刻，有时刻，有时刻，有N-n(t+N-n(t+△△△△t) t)个产品正常工作个产品正常工作个产品正常工作个产品正常工作注意：失效率注意：失效率注意：失效率注意：失效率λ(t)λ(t)λ(t)λ(t)与失效概率密度与失效概率密度与失效概率密度与失效概率密度f(t)f(t)f(t)f(t)的区别的区别的区别的区别(2)失效率的单位失效率的单位 失效率失效率λ(t)是一个非常重要的特是一个非常重要的特征量，它的单位通常用时间的倒数征量，它的单位通常用时间的倒数表示。

但对目前具有高可靠性的产表示但对目前具有高可靠性的产品来说，就需要采用更小的单位来品来说，就需要采用更小的单位来作为失效率的基本单位，因此失效作为失效率的基本单位，因此失效率的基本单位用菲特率的基本单位用菲特(Fit)来定义，来定义，1菲特菲特=10-9/h=10-6 /1000h，它的意义，它的意义是每是每1000个产品工作个产品工作106 h，只有一，只有一个失效n n 产品的可靠性取决于产品的可靠性取决于产品的可靠性取决于产品的可靠性取决于产品的失效率，根据长期产品的失效率，根据长期产品的失效率，根据长期产品的失效率，根据长期以来的理论研究和数据统以来的理论研究和数据统以来的理论研究和数据统以来的理论研究和数据统计，发现由许多零件构成计，发现由许多零件构成计，发现由许多零件构成计，发现由许多零件构成的机器或系统，其失效率的机器或系统，其失效率的机器或系统，其失效率的机器或系统，其失效率曲线的典型形态如图曲线的典型形态如图曲线的典型形态如图曲线的典型形态如图2.42.4所所所所示，由于它的形状与浴盆示，由于它的形状与浴盆示，由于它的形状与浴盆示，由于它的形状与浴盆的剖面相似，所以又称为的剖面相似，所以又称为的剖面相似，所以又称为的剖面相似，所以又称为浴盆曲线浴盆曲线浴盆曲线浴盆曲线(Bathtub—curve)(Bathtub—curve)，它明显地分为三段，分，它明显地分为三段，分，它明显地分为三段，分，它明显地分为三段，分别对应元件的三个不同阶别对应元件的三个不同阶别对应元件的三个不同阶别对应元件的三个不同阶段或时期。

段或时期段或时期段或时期2)失效率曲线失效率曲线 (浴盆曲线浴盆曲线)n n第一段曲线是元件的早期第一段曲线是元件的早期第一段曲线是元件的早期第一段曲线是元件的早期失效期，表明元件开始使失效期，表明元件开始使失效期，表明元件开始使失效期，表明元件开始使用时，它的失效率高，但用时，它的失效率高，但用时，它的失效率高，但用时，它的失效率高，但迅速降低迅速降低迅速降低迅速降低n n第二段曲线是元件的偶然第二段曲线是元件的偶然第二段曲线是元件的偶然第二段曲线是元件的偶然失效期，其特点是失效率失效期，其特点是失效率失效期，其特点是失效率失效期，其特点是失效率低且稳定，往往可近似看低且稳定，往往可近似看低且稳定，往往可近似看低且稳定，往往可近似看成是一常数成是一常数成是一常数成是一常数n n第三段曲线是元件的耗损第三段曲线是元件的耗损第三段曲线是元件的耗损第三段曲线是元件的耗损失效期，失效率随时间延失效期，失效率随时间延失效期，失效率随时间延失效期，失效率随时间延长而急剧增大长而急剧增大长而急剧增大长而急剧增大重要规律：偶然失效期设重要规律：偶然失效期设重要规律：偶然失效期设重要规律：偶然失效期设λ(t)=λλ(t)=λ，系统的可靠度为：，系统的可靠度为：，系统的可靠度为：，系统的可靠度为： 曲线段曲线段曲线段曲线段失效时期失效时期失效时期失效时期失效特征失效特征失效特征失效特征失效类型失效类型失效类型失效类型第一段第一段第一段第一段曲线曲线曲线曲线早期失效早期失效早期失效早期失效失效率随失效率随失效率随失效率随时间降低时间降低时间降低时间降低递减型递减型递减型递减型第二段第二段第二段第二段曲线曲线曲线曲线偶然失效偶然失效偶然失效偶然失效失效率低失效率低失效率低失效率低且平稳且平稳且平稳且平稳恒定型恒定型恒定型恒定型第三段第三段第三段第三段曲线曲线曲线曲线耗损失效耗损失效耗损失效耗损失效失效率随失效率随失效率随失效率随时间增大时间增大时间增大时间增大递增型递增型递增型递增型n n不可修产品的平均寿命是指产品失效前的平均不可修产品的平均寿命是指产品失效前的平均工作时间，记为工作时间，记为MTTF(Mean Time To Failure)；；n n可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均故障间隔时间，记作故障间隔时间，记作MTBF(Mean Time Between Failures)。

4、平均寿命、平均寿命n n 如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，记作记作记作记作θ θ若产品失效密度函数若产品失效密度函数若产品失效密度函数若产品失效密度函数f(t)f(t)已知，由概率已知，由概率已知，由概率已知，由概率论中数学期望的定义，有：论中数学期望的定义，有：论中数学期望的定义，有：论中数学期望的定义，有：平均寿命的平均寿命的平均寿命的平均寿命的意义是可靠意义是可靠意义是可靠意义是可靠度函数度函数度函数度函数R(t)R(t)与与与与t t轴所形成轴所形成轴所形成轴所形成的面积的面积的面积的面积n n不可修产品平均寿命不可修产品平均寿命MTTF估计值为：估计值为：式中：式中：式中：式中：n n为测试产品的总数；为测试产品的总数；为测试产品的总数；为测试产品的总数；t ti i为第为第为第为第i i个产品失效前的工作时间。

个产品失效前的工作时间个产品失效前的工作时间个产品失效前的工作时间n n可修产品平均寿命可修产品平均寿命MTBF估计值为：估计值为：式中：式中：式中：式中：N N为测试产品所有的故障数；为测试产品所有的故障数；为测试产品所有的故障数；为测试产品所有的故障数；n ni i为第为第为第为第i i个测试产品的故障数；个测试产品的故障数；个测试产品的故障数；个测试产品的故障数；t tij ij为第为第为第为第i i个产品第个产品第个产品第个产品第j-1j-1次故障到第次故障到第次故障到第次故障到第j j次故障次故障次故障次故障的工作时间，单位为的工作时间，单位为的工作时间，单位为的工作时间，单位为h h如果仅考虑首次失效如果仅考虑首次失效如果仅考虑首次失效如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，前的一段工作时间，前的一段工作时间，前的一段工作时间，两者平均寿命两者平均寿命两者平均寿命两者平均寿命θ θ估估估估计值为：计值为：计值为：计值为：n n 平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产品寿命的离散程度。

产品寿命方差的定义为：品寿命的离散程度产品寿命方差的定义为：品寿命的离散程度产品寿命方差的定义为：品寿命的离散程度产品寿命方差的定义为：5、寿命方差与标准差、寿命方差与标准差如果如果如果如果n n个产品抽样测试的寿命分别为个产品抽样测试的寿命分别为个产品抽样测试的寿命分别为个产品抽样测试的寿命分别为t t1 1，，，，t t2 2，，，，……，，，，t tn n，产品寿命平均值与方差分别为：，产品寿命平均值与方差分别为：，产品寿命平均值与方差分别为：，产品寿命平均值与方差分别为：寿命的标准差为寿寿命的标准差为寿寿命的标准差为寿寿命的标准差为寿命方差的平方，即：命方差的平方，即：命方差的平方，即：命方差的平方，即：5、可靠寿命、中位寿命和特征寿命、可靠寿命、中位寿命和特征寿命可靠寿命是指可靠度等于给定值可靠寿命是指可靠度等于给定值r时产时产品的寿命，表达式为：品的寿命，表达式为：式中：式中：式中：式中：R R-1-1(r)(r)是是是是R(t)R(t)的的的的反函数反函数反函数反函数当当R=0.5时产品的寿命为中位寿命，表达式为：时产品的寿命为中位寿命，表达式为：当当R=e-1=0.368时产品的寿命为特征寿命，即：时产品的寿命为特征寿命，即：可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系习题习题1：：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为：式中：式中：t为年。

为年求：累积失效概率求：累积失效概率F(t)，可靠度函数，可靠度函数R(t)，失效率，失效率λ(t)，平均寿命，平均寿命MTTF，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)习题习题2：：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数，λ(t)=λ(t)=λ=0.25λ=0.25××1010-4-4/h/h求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均的可靠寿命，平均寿命寿命MTTF，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿和特征寿命命T(e-1)习题习题3：：50个在恒定载荷运行的零件，个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累积失效概率；的累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的失效时的失效概率密度；概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率的失效率时间时间h1025501001502504003000失效数失效数△△n(t)42375343累积失效数累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数仍旧工作数N-n(t)4644413429262219习题习题1 1：：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为：式中：式中：t为年。

求：累积失效概率为年求：累积失效概率F(t)，可靠度函数，可靠度函数R(t)，失效率，失效率λ(t)，平均寿命，平均寿命θθ ，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)答案解：解：上式中不知道上式中不知道∞∞是多少，但有是多少，但有R(∞)=0R(∞)=0，即：，即： 解得解得t t1 1=t=t2 2=8=8年，表明年，表明8 8年后元件将全年后元件将全部失效部失效解得解得r r1 1=2.243=2.243年年(r(r2 2=13.66=13.66年年>8>8年舍去年舍去) )解得解得r r1 1=3.147=3.147年年(r(r2 2=12.85=12.85年年>8>8舍去舍去) )习题习题2 2：：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数，λ(t)=λ=0.25λ(t)=λ=0.25××1010-4-4/h/h求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命的可靠寿命，平均寿命θθ ，中，中位寿命位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)解：解：习题习题3 3：：5050个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累积失效概率；的累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的失效概率密度；时的失效概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率。

的失效率时间h1025501001502504003000失效数△n(t)42375343累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数N-n(t)4644413429262219解：解：要点：要点：f(t)f(t)、、 λ(t)λ(t)是研究是研究t t时间后单位时间的失效产品数，时间后单位时间的失效产品数， f(t) f(t) 是除是除以试验产品总数，以试验产品总数，λ(t)λ(t)是除以是除以t t时仍正常工作的产品数注意单位时仍正常工作的产品数注意单位 2.2 维修性特征量维修性特征量维修性定义：维修性定义：维修性是指在规定的条件下使用的维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能的能力对应产品应可靠性对应产品应可靠性维修性特征量有三个：维修性特征量有三个：维修度维修度M(t)M(t)；；修复率修复率μ(t)μ(t)；；平均修复时间平均修复时间MTTRMTTR 把产品维修时间把产品维修时间Y Y所服从的分布称为维修分布，所服从的分布称为维修分布，记为记为G(t)G(t)。

维修度是指在规定的条件下使用的产品维修度是指在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的时间发生故障后，在规定的时间(0(0，，t)t)内完成修复的概内完成修复的概率，记为率，记为M(t)M(t)2.2.1 维修度维修度维修度维修度(Maintainability)(Maintainability)定义定义 维修度是时间维修度是时间(维修时间维修时间t)的函数，故又称为维修度函数的函数，故又称为维修度函数M(t)，，它表示当它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品时，处于失效或完全故障状态的全部产品在在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率 所以维修度所以维修度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t) 修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表示为可表示为μμ(t)(t)对应于产品的失效率对应于产品的失效率λλ(t)(t)2.2.2 修复率修复率修复率定义修复率定义 维修度维修度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t) ，m(t)为维修时为维修时间的概率密度函数。

间的概率密度函数对应于产品的失效概率密度对应于产品的失效概率密度f(t) 平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计值为修复时间总和与修复次数之比，记作值为修复时间总和与修复次数之比，记作MTTR(Mean Time To MTTR(Mean Time To Repair)Repair)对应于可修产品的平均工作时间对应于可修产品的平均工作时间( (平均寿命平均寿命)MTBF)MTBF2.2.3 平均修复时间平均修复时间平均修复时间平均修复时间(MTTR)定义定义两个重要规律两个重要规律项目项目可靠度可靠度维修度维修度累积分布函数累积分布函数可靠度函数可靠度函数R(t)1-M(τ)不可靠度函数：不可靠度函数：F(t)维修度函数：维修度函数：M(τ)密度函数密度函数失效密度失效密度f(t)=dF(t)/R(t)维修概率密度维修概率密度m(τ)=dM(τ)/dτ(单位时间单位时间)率率失效率失效率λλ(t)=f(t)/R(t)修复率修复率μ(τ)=m(τ)/[1-M(τ)] 可靠度与维修度之间的关系可靠度与维修度之间的关系可靠度或不可靠度可靠度或不可靠度维修度维修度平均修平均修复时间复时间例题：2.3 有效性特征量有效性特征量有效性定义：有效性定义：有效性也称可用性，表示可维修产品在规有效性也称可用性，表示可维修产品在规定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。

规定条件包定的条件下使用时具有维持规定功能的能力规定条件包括产品的工作条件和维修条件有效性是一个反映可维修括产品的工作条件和维修条件有效性是一个反映可维修产品使用效率的广义可靠性尺度产品使用效率的广义可靠性尺度2.2.3 有效度和可用度有效度和可用度 有效度定义：有效度定义：有效度有效度(也叫可用度也叫可用度)是指可维修的产品在是指可维修的产品在规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率对于不可维修的产品，有效度等于可靠度对于不可维修的产品，有效度等于可靠度 有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为A(t)它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和固有有效度四形式固有有效度四形式1 、瞬态有效度、瞬态有效度 瞬态有效度定义：瞬态有效度定义：瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为A(t)。

瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践 平均有效度定义：平均有效度定义：平均有效度是指可维修产品在一时间平均有效度是指可维修产品在一时间区间的平均值区间的平均值又称任务有效度又称任务有效度2 、平均有效度、平均有效度3 、稳态有效度、稳态有效度 稳态有效度定义：稳态有效度定义：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于∞∞的瞬时有的瞬时有效度记为效度记为A(∞∞)或或A，又称为时间有效度或可工作时间比又称为时间有效度或可工作时间比U—可维修产品平均能正常工作的时间，单位为可维修产品平均能正常工作的时间，单位为h；；D—产品平均不能工作的产品平均不能工作的时间，时间，h；；MTBF—可修产品平均无故障工作时间；可修产品平均无故障工作时间；MTTR—可修产品的平均可修产品的平均修理时间，即平均修复时间修理时间，即平均修复时间4 、固有有效度、固有有效度 固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的时间MADT(mean active down time)—平均实际不能工作的时间。

平均实际不能工作的时间 其与稳态有效度的区别：其与稳态有效度的区别：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于∞∞的的瞬时有效度瞬时有效度瞬时有效度、平均有效度瞬时有效度、平均有效度(即任务有即任务有效度效度)和稳态有效度之间的关系和稳态有效度之间的关系习题习题4：：一设备从以往的经验知道，平均无故障时一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为间为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布设备发生故障时间及修复时间服从指数分布求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；；(2)该设备的稳态有效度为多少该设备的稳态有效度为多少?提示：提示：习题习题4答案：答案：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布故障时间及修复时间服从指数分布求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；；(2)该设备该设备的稳态有效度为多少的稳态有效度为多少?解：解：(1)该设备平均无故障时间时间为该设备平均无故障时间时间为20天，即天，即MTBF=20因因MTBF=1/λ，，λ=1/20；；同理平均修复时间为同理平均修复时间为2天，天，MTTR=1/μ，，μ=1/2R(5)=exp(- λt)=exp(-5/20)=0.779R(15)=exp(- λt)= exp(-15/20)=0.472(2)A= μ/(μ+λ)=0.909或或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909 稳态有效度定义稳态有效度定义2.4 概率的基本运算概率的基本运算2.4.1 随机事件随机事件 随机事件的定义：随机事件的定义：凡是事先不能确定结果的现象称凡是事先不能确定结果的现象称随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件。

随机事件的一个基本结果称为基的事件称为随机事件随机事件的一个基本结果称为基本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这种事件称为复合事件种事件称为复合事件(如从扑克牌中抽一张，抽出如从扑克牌中抽一张，抽出1、、2、、….、或、或13等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件) 在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，记为记为ΩΩ ；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为Ø 2.4.2 随机事件的概率随机事件的概率 概率的统计定义：概率的统计定义：假定在相同条件下进行假定在相同条件下进行n次重复试验，次重复试验，事件事件A发生了发生了k次，当试验次数次，当试验次数n趋向无穷时，发生频率的极趋向无穷时，发生频率的极限定义为事件限定义为事件A发生的概率，记为发生的概率，记为P(A) 随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，这是平稳随机这是平稳随机过程及随机现象的一个重要特征。

过程及随机现象的一个重要特征2.4.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 1、事件间的关系、事件间的关系 如果事件如果事件A包含事件包含事件B，且事件，且事件B包含事件包含事件A，则称事件，则称事件A与与B相等记为相等记为A=B1)包含与相等关系：如果事件包含与相等关系：如果事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，则发生，则称事件称事件B包含事件包含事件A，即：，即：(2)事件的和：事件的和：“n个事件个事件A1，，A2，，…，，An中至少有一个发生中至少有一个发生”这一事件，称为这一事件，称为Al，，A2，，…，，An的和事件记为：的和事件记为：(3)事件的积：事件的积：“n个事件个事件A1，，A2，，…，，An同时发生同时发生”，称为，称为Al，，A2，，…，，An的的积事件记为：积事件记为：(4)事件的差：事件的差：“事件事件A发生，但事发生，但事件件B不发生不发生”，称为事件，称为事件A与与B的差记为：记为：A-B(5)对立事件或逆事件：对立事件或逆事件：“事件事件A不发不发生生”，称为事件，称为事件A的对立事件或逆事的对立事件或逆事件记为：件记为：(6)互斥事件或互不相容事件：互斥事件或互不相容事件：“如果事件如果事件A和事件和事件B不能同时发生不能同时发生”，称事件，称事件A与与B是互不相容事件是互不相容事件(互斥事件互斥事件)，有，有AB=Ø 。

事件间的运算规律事件间的运算规律2.4.4 概率运算的基本公式概率运算的基本公式 1、概率的加法公式、概率的加法公式设设A与与B是任意两个事件，则是任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地：特别地：(2)当当A与与B为互不相容事件：为互不相容事件：P(AB)=P(Ø )=0，，P(A+B)=P(A)+P(B) 推广到推广到n维，若维，若A1、、A2、、A3、、…、、An为互不相容事件，有：为互不相容事件，有：例题：例题： 2、条件概率公式、条件概率公式设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)>0，，P(A|B)(在事件在事件B发生的条件下，发生的条件下，A事件发生的概率事件发生的概率)为为特别地：特别地： 3、概率的乘法公式、概率的乘法公式设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)>0，由条件概率公，由条件概率公式：式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，，对于对于A，，B，，C三个事件：三个事件：特别地：特别地：(1)如果如果A与与B相互独立相互独立(事件事件A的发生不受事件的发生不受事件B的影响，的影响，事件事件B的发生也不受事件的发生也不受事件A的影响的影响)，，(2)当事件当事件A1,A2,…,An相互独立，概率的乘法公式可推相互独立，概率的乘法公式可推广到广到n维维概率概率乘法乘法公式公式例题：例题： 4、全概率公式、全概率公式如果事件如果事件A1,A2,…,An满足：满足：(1) A1,A2,…,An两两互不相容，且两两互不相容，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)(2) A1+A2+…+An=ΩΩ 即即A的全事件的全事件对于任一事件对于任一事件B都有：都有：全概率公式的常用形式：全概率公式的常用形式：重要重要公式公式 在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。

只要知道了各种原因个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式只要知道了各种原因Ai发生发生条件下事件条件下事件B发生的概率，该事件发生的概率，该事件B的概率就可通过全概率公式求得的概率就可通过全概率公式求得 5、贝叶斯公式、贝叶斯公式(逆概率公式逆概率公式)设事件设事件 A1,A2,…,An为一完备事件，为一完备事件，B为任一事件，且为任一事件，且P(B)>0，则：，则：证明：证明： 贝叶斯公式所解决的技术问题贝叶斯公式所解决的技术问题 贝叶斯公式解决：贝叶斯公式解决：如果已知各种原因的概率如果已知各种原因的概率(A(Aj j) )，设在，设在随机试验中该事件随机试验中该事件B B已发生，问在这个条件下，各种原因已发生，问在这个条件下，各种原因A Aj j发发生的概率是多少生的概率是多少? ? 如在可靠性工程中，已知某产品有如在可靠性工程中，已知某产品有n n种故障模式种故障模式A1A1，，A2A2，，…，，AnAn，知道各故障模式发生的概率，知道各故障模式发生的概率P(AP(Aj j) )，现在该产，现在该产品发生了故障品发生了故障( (事件事件B)B)，那么是故障模式，那么是故障模式A Ai i引起的概率是多引起的概率是多少少? ?在这在这n n种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式引起种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式引起的的? ?例题：贝叶斯公式贝叶斯公式概率运算公式汇总表概率运算公式汇总表2.5 随机变量的概率分布及其数字特征随机变量的概率分布及其数字特征2.5.1 随机变量的概念随机变量的概念 在实际问题中，常用的随机变量有在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量离散型随机变量和和连连续型随机变量续型随机变量两种类型：两种类型： (1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的取值是有限个或无限个但可列出来，则称取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机变为离散型随机变量。

如掷骰子，出现的点数量如掷骰子，出现的点数X是能够一一列出来的是能够一一列出来的(X=1，，X=2，，…，，X=6)，，X是一个离散型随机变量是一个离散型随机变量 (2)如果随机变量如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间的所有可能取值充满某个区间(a,b）a可以是可以是-∞∞，，b可以是可以是+∞∞ ，则称，则称X为连续型随机变量如一批为连续型随机变量如一批零件的测量直径，规定其偏差不超过零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，则偏差是一个连，则偏差是一个连续型随机变量续型随机变量2.5.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 1、分布律、分布律 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，其概率分布就是指它的概率，其概率分布就是指它的概率分布律，简称分布律离散型随机变量分布律，简称分布律离散型随机变量X的一个可能取值，的一个可能取值，它取该值的概率为它取该值的概率为pi，则，则X的分布律可用下式表示：的分布律可用下式表示： 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律满足以下两条性质：的分布律满足以下两条性质： (1)X的每个取值的概率的每个取值的概率A非负；非负； (2)X的所有可能取值对应的概率之和为的所有可能取值对应的概率之和为1，即，即∑pi=1。

判断离判断离散型随散型随机变量机变量的条件的条件例题例题解：必须满足两个条件解：必须满足两个条件: (1)pk≥ 0；； (2) 2、累积分布函数或分布函数、累积分布函数或分布函数累积分布函数定义：累积分布函数定义：X取值不大于取值不大于x的概率为累积分布函数的概率为累积分布函数或分布函数，离散型随机变量或分布函数，离散型随机变量X的分布函数可表示为：的分布函数可表示为：离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：具有以下三条性质： (1)F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；是不连续的，是一个非减的跳跃函数； (2)F(-∞∞ )=0，，F(+∞∞ )=1; (3) 0≤F(x)≤1 例如：例如：2.5.3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 1、分布密度函数、分布密度函数 连续型随机变量的取值充满某个区间连续型随机变量的取值充满某个区间(a，，b)，可，可以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为0，即，即P(X=c)=0，，c∈∈(a,b)。

因此连续型随机变量的概率分布因此连续型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述实际上，所以我们只有知道就不能用分布律来描述实际上，所以我们只有知道X在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引入分布密度函数的概念律，所以必须引入分布密度函数的概念例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数移移0.5避免落在边界上避免落在边界上例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数(续续) 连续型分布密度函数的性质连续型分布密度函数的性质(判断密度函数的条件判断密度函数的条件) 分布密度函数分布密度函数f(x)在任一点在任一点xo处的函数值处的函数值f(xo)不是概率而是分布不是概率而是分布密度 随机变量随机变量X落在一个区间落在一个区间[a,b]上的概率等于分布密度函数上的概率等于分布密度函数f(x)在在该区间上的定积分，即该区间上的定积分，即 2、连续型随机变量分布函数、连续型随机变量分布函数 由右图不难得出：由右图不难得出：如果如果△△x x较小较小2.5.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征--均值与方差均值与方差 在可靠性工程中，常用的数字特征为数学在可靠性工程中，常用的数字特征为数学期望期望(平均值平均值)与方差。

如平均寿命与方差如平均寿命MTBF就是就是产品寿命的平均值，寿命方差是产品寿命与平产品寿命的平均值，寿命方差是产品寿命与平均寿命之间的离差数学期望反映了随机变量均寿命之间的离差数学期望反映了随机变量取值的平均值，而方差则反映了随机变量的各取值的平均值，而方差则反映了随机变量的各个取值与平均值的离散程度个取值与平均值的离散程度 2、数学期望、数学期望(均值均值) 设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi (i=1，，2，，…)，如果和，如果和∑xipi存在，则称存在，则称∑xipi为为X的数学的数学期望，记为期望，记为E(X)即: 设设X X是连续型随机变量，其分布密度为是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，，(f(x) ≥≥ 0)，如果：，如果：离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 2、方差与标准差、方差与标准差 设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi (i=1，，2，，…)，则，则X的方差的方差D(X)为为: 设设X X是连续型随机变量，其分布密度为是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，，(f(x) ≥≥ 0)，则，则X X的方差为：的方差为：离散型随机变量的方差与标准差离散型随机变量的方差与标准差连续型随机变量的方差与标准差连续型随机变量的方差与标准差D(x)的平方为的平方为X的标准差或均方差。

无论是离散型随机变量的标准差或均方差无论是离散型随机变量或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式例题例题方差计算简易公式2.6 可靠性中常见的概率分布可靠性中常见的概率分布2.6.1 二项分布二项分布(离散型离散型) 二项分布所解决的问题：二项分布所解决的问题： 二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种结果的事件分别用结果的事件分别用A与与 表示，设它们发生的概率分别为表示，设它们发生的概率分别为P(A)=p，，P( )=1-p，现在独立地重复做，现在独立地重复做n次试验，那么在次试验，那么在n次试验中事件次试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率是多少次的概率是多少? 可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态分布和威布尔分布七种，其中二项分布和泊松分布是分布和威布尔分布七种，其中二项分布和泊松分布是离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布。

离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布 例如例如 如果用如果用X表示在表示在n次重复试验中事件次重复试验中事件A发生发生的次数，显然，的次数，显然，X是一个随机变量，是一个随机变量，X的可能取的可能取值为值为0,1,2,…n，则随机变量，则随机变量X的分布律为：的分布律为：随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为：二项分布的随机变量二项分布的随机变量X的均值和方差为：的均值和方差为： 二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性和质量控制领域和质量控制领域 常用于常用于“有放回有放回”地抽取，进行地抽取，进行重复试验重复试验(无放回地抽取不是重复试验，如果试验品无放回地抽取不是重复试验，如果试验品数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验)，如检，如检验一批产品是否合格常用二项分布来计算验一批产品是否合格常用二项分布来计算例题例题2.6.2 泊松分布泊松分布(离散型离散型)随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为：泊松分布随机变量泊松分布随机变量X的均值和方差是：的均值和方差是：在可靠性分析中，常用下式在可靠性分析中，常用下式 将泊松分布引入与时间的关系，且单位时间产将泊松分布引入与时间的关系，且单位时间产品失效次数为常数。

品失效次数为常数例题例题0~5次的累次的累积分布函数积分布函数习题习题6 6习题习题7 7习题习题6 6解：必须满足两个条件解：必须满足两个条件: (1)pk≥ 0；； (2)习题习题7 7解：解：习题习题8 8习题习题9 9 一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆试验表明，每一千次着陆发生一次轮飞机能安全着陆试验表明，每一千次着陆发生一次轮胎爆破用二项分布求飞机安全着陆的概率用二项分布求飞机安全着陆的概率习题习题1010 某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率次以上故障的概率习题习题8 8解：解：X的可能取值为的可能取值为F(x)分段点，由分布函数分段点，由分布函数F(x)的表达式的表达式可知，可知，X的可能取值为的可能取值为1,2,3；而；而F(x)是一跳跃函数，是一跳跃函数，X的分的分布律为：布律为：P(X=1)=F(1)-F(0)=0.2-0=0.2P(X=2)=F(2)-F(1)=0.5-0.2=0.3P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.5=0.5习题习题9 9 一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆。

试验表明，每一千次着陆发生一个轮飞机能安全着陆试验表明，每一千次着陆发生一个轮胎爆破用二项分布求飞机安全着陆的概率用二项分布求飞机安全着陆的概率解：解：习题习题1010 某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率次以上故障的概率解：λ=4 /年，有：一年发生5次故障的概率是：1-F(5)=1-P(X≤5) =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5) =1-e-4-4e-4-42e-4/2-43e-4/3!- 44e-4/4!-45e-4/5! =1-0.01832-0.07326-0.14653-0.19537-…… =1-0.78514=0.214862.6.3 指数分布指数分布(连续型连续型)(7)特征寿命特征寿命指数分布平均寿命与特征寿命相同指数分布平均寿命与特征寿命相同双参数分布双参数分布特征寿命特征寿命 t(e-1)=γ +1/λ (与平均寿命相同与平均寿命相同)指数分布曲线与双参数指数分布曲线对比指数分布曲线与双参数指数分布曲线对比提出双参数指数分布曲线的目的是考察产品在保证寿命后的可靠性。

提出双参数指数分布曲线的目的是考察产品在保证寿命后的可靠性平均寿命或特征寿命例题例题2.6.4 正态分布正态分布(连续型连续型) μ μ实际上就是试验数据的均值，实际上就是试验数据的均值，σσ为为方差如果我们对一个系统进行寿命可靠方差如果我们对一个系统进行寿命可靠性试验，得出了该系统寿命的性试验，得出了该系统寿命的μμ和和σσ，用，用上式即可得出系统寿命的分布密度函数上式即可得出系统寿命的分布密度函数 由式：由式：可得出系统寿命的分布函数可得出系统寿命的分布函数 μ 分布密度函数：分布密度函数：分布函数：分布函数：根据右图标准正态分布的对根据右图标准正态分布的对称特征，计算中经常用到下称特征，计算中经常用到下列公式：列公式：根据试验结根据试验结果查表可方果查表可方便地得出系便地得出系统可靠度函统可靠度函数数由正态分布变成标准正态分布由正态分布变成标准正态分布 在正态分布公式中令在正态分布公式中令z=(t-μ)/σ，可将随机变，可将随机变量量X标准化，标准化后的随机变量标准化，标准化后的随机变量z服从标准正服从标准正态分布则：态分布。

则： t=μ+σz 必须清楚正态分布的图形及图必须清楚正态分布的图形及图形位置与形位置与μσ的关系 标准正态分布的图形是一定的标准正态分布的图形是一定的 例题例题由标准正态表由标准正态表Ø (z)=0.95反查得反查得z=1.64485Z= (x-μ)/σx= μ+σz2.6.5 截尾正态分布截尾正态分布(连续型连续型该分布的意义是很多该分布的意义是很多工程实际中工程实际中t≥0，不能，不能为负，正态分布为负，正态分布t为为(-∞,+∞ )，所以截尾，所以截尾正态分布存在调节参正态分布存在调节参数数a正态分布截截尾尾正正态态分分布布特特征征量量例题例题工作时间非工作时间非负采用截尾负采用截尾正态分布正态分布ø (1)是分布密度函数，是算出来的2.6.6 对数正态分布对数正态分布(连续型连续型)注意：注意：μ、、σ是随机变量的是随机变量的对数的均值和标准差对数的均值和标准差 注意：注意：μ、、σ是对数的是对数的均值和标准差均值和标准差 该分布的意义是通过该分布的意义是通过对数变换，可以使较对数变换，可以使较大的数缩小为较小的大的数缩小为较小的数，常用于把几个数数，常用于把几个数量级的数据用对数分量级的数据用对数分布去拟合分析。

布去拟合分析正态分布对对数数正正态态分分布布特特征征量量例题例题2.6.7 weibull分布分布(连续型连续型)指数分指数分布、双布、双参数指参数指数分布数分布和正态和正态分布均分布均可看成可看成是是weibull分布的分布的特例双参数双参数weibullweibull分布的可靠性特征向量分布的可靠性特征向量伽玛伽玛函数函数可以可以通过通过查表查表得出得出2.6.7 极值型分布极值型分布 在结构可靠度分析中，极值随机变量的概在结构可靠度分析中，极值随机变量的概率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载则要研究其在设计基准内最大值的概率分布，则要研究其在设计基准内最大值的概率分布，如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大载荷 (1) 极值型随机变量的确切分布极值型随机变量的确切分布2.6.7 极值型分布极值型分布 相互独立 (1) 极值型随机变量的确切分布极值型随机变量的确切分布2.6.7 极值型分布极值型分布 相互独立 (2) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.6.7 极值型分布极值型分布 a、指数型原始分布、指数型原始分布—极值极值I型分布型分布 指数型分布的概率密度函数的导数满足条件指数型分布的概率密度函数的导数满足条件 (2) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.6.7 极值型分布极值型分布 a、指数型原始分布、指数型原始分布—极值极值I型分布型分布 极值极值I型分布的分布函数为：型分布的分布函数为：  (2) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.6.7 极值型分布极值型分布 b、哥西型原始分布、哥西型原始分布—极值极值II型分布型分布  (2) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.6.7 极值型分布极值型分布 c、有界型原始分布、有界型原始分布—极值极值III型分布型分布  (2) 极值型随机变量的渐进分布极值型随机变量的渐进分布2.6.7 极值型分布极值型分布 极值极值I型、极值型、极值II型和极值型和极值III型分布的相互转换型分布的相互转换  设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为μ=38620MPa，，σ=17810MPa。

经检验，此活荷载服从极值经检验，此活荷载服从极值I型分布，求其型分布，求其分布函数分布函数 例题例题 常见概率分布的数字特征常见概率分布的数字特征习题习题1212习题习题1111 彩色电视机的平均寿命为彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用数分布，如果我们每天使用2小时，小时，5年的可靠度和年的可靠度和10年年的可靠度各为多少？的可靠度各为多少？ 习题习题1313 某城市日电能供应服从对数正态分布，某城市日电能供应服从对数正态分布，μ=1.2，，σ=0.5，供应量以，供应量以GWh计算该城市发电厂最大供电量为计算该城市发电厂最大供电量为9GWh/d求该城市电力供应不足的概率求该城市电力供应不足的概率 解解习题习题1111 彩色电视机的平均寿命为彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用数分布，如果我们每天使用2小时，小时，5年的可靠度和年的可靠度和10年年的可靠度各为多少？的可靠度各为多少？ 习题习题1212解解习题习题1313 某城市日电能供应服从对数正态分布，某城市日电能供应服从对数正态分布，μ=1.2，，σ=0.5，供应量以，供应量以GWh计算。

该城市发电厂最大供电量为计算该城市发电厂最大供电量为9GWh/d求该城市电力供应不足的概率求该城市电力供应不足的概率  随机变量的分布函数完整地描述了随机变量随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数．求出它的分布函数． 随机变量往往可以用一个或几个数字来描述随机变量往往可以用一个或几个数字来描述其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特征征(或统计参数或统计参数)数字特征虽不能完整地描述它的数字特征虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意义要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意义．常用的数字特征有．常用的数字特征有期望，方差、标准差、变异期望，方差、标准差、变异系数、偏度系数，峰度系数和矩系数、偏度系数，峰度系数和矩。

2.7 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1、期望、期望(均值均值)2.7 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2、方差、方差2.7 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 3、标准差、标准差2.7 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4、变异系数、变异系数方差、标准差和变异系数均反方差、标准差和变异系数均反应随机变量的离散程度应随机变量的离散程度5、矩、矩2.7 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 6、偏度系数和峰度系数、偏度系数和峰度系数2.7 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 设随机变量设随机变量X1、、X2、、X3相互独立，其中相互独立，其中X1在在[0,6]上上服从均匀分布，服从均匀分布，X2服从服从λ=0.5的指数分布，的指数分布，X3服从服从λ=3的泊松分布，记的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求，求D(Y)例题例题 设随机变量设随机变量X服从均值为服从均值为1，方差为，方差为4的正态分布，的正态分布，且且Y=1-3X，求，求E(Y)和和D(Y)习题习题14 经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。

阶原点矩，偏度系数和峰度系数习题习题15 设随机变量设随机变量X服从均值为服从均值为1，方差为，方差为4的正态分布，的正态分布，且且Y=1-3X，求，求E(Y)和和D(Y)习题习题14 习题习题15 经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6 求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数阶原点矩，偏度系数和峰度系数第三章第三章 系统可靠性分析系统可靠性分析 所谓系统，是为了完成某一特定功能，由所谓系统，是为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联系而且又能相互协调工作的单若干个彼此有联系而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体系统可以是机器、设备、元所组成的综合体系统可以是机器、设备、部件和零件；单元也可以是机器、设备、部件部件和零件；单元也可以是机器、设备、部件和零件系统和单元的含义是相对而言的，由和零件系统和单元的含义是相对而言的，由研究的对象而定。

研究的对象而定 系统可以分为可修复系统与不可修复系系统可以分为可修复系统与不可修复系统两类3.1 不可修复系统可靠性分析不可修复系统可靠性分析1、系统可靠性框图 可靠性框图则是表示系统的功能与组成系统的单元之间可靠性框图则是表示系统的功能与组成系统的单元之间的可靠性功能关系建立可靠性框图首先要了解系统中每个的可靠性功能关系建立可靠性框图首先要了解系统中每个单元的功能，各单元之间在可靠性功能上的联系，以及这些单元的功能，各单元之间在可靠性功能上的联系，以及这些单元功能、失效模式对系统的影响单元功能、失效模式对系统的影响 系统的最基本类型为串联系统和并联系统两种类型系统的最基本类型为串联系统和并联系统两种类型 如果系统中任何一个单元失效，系统就失效，或者系统如果系统中任何一个单元失效，系统就失效，或者系统中每个单元都正常工作，系统才能完成其规定的功能，那么中每个单元都正常工作，系统才能完成其规定的功能，那么称这个系统为串联系统称这个系统为串联系统 只有当所有的单元都失效，系统才丧失其规定的功能，只有当所有的单元都失效，系统才丧失其规定的功能，或者只要有一个单元正常工作，系统就能完成其规定的功能，或者只要有一个单元正常工作，系统就能完成其规定的功能，这种系统称为并联系统。

这种系统称为并联系统可靠性框图可靠性框图使水流出系统属串联系统，使水关闭系统属并联系统使水流出系统属串联系统，使水关闭系统属并联系统并并—串联系统框图串联系统框图串串--并联系统并联系统框图框图2、串联系统、串联系统 由由n个单元组成的串联系统表示当这个单元组成的串联系统表示当这n个单元都正个单元都正常工作时，系统才正常工作，换句话说，当系统任一常工作时，系统才正常工作，换句话说，当系统任一单元失效时，就引起系统失效单元失效时，就引起系统失效 串联系统任一单元失效时，就引起系统失效，其失效是串联系统任一单元失效时，就引起系统失效，其失效是和事件，串联单元每一个可靠时系统才能可靠，是积事件和事件，串联单元每一个可靠时系统才能可靠，是积事件串联系统可靠度是组成该系统的各独立单元可靠度的乘积串联系统可靠度是组成该系统的各独立单元可靠度的乘积串联系统可靠度计算如下串联系统可靠度计算如下串联系统失效率计算如下：串联系统失效率计算如下：λi(t)是第是第i个单元的失效率个单元的失效率当串联系统由两个单元构成时当串联系统由两个单元构成时失效率为：失效率为：nλ  (1)串联系统的可靠度低于该系统的每个单元的可串联系统的可靠度低于该系统的每个单元的可靠度，且随着串联单元数量的增大而迅速降低；靠度，且随着串联单元数量的增大而迅速降低； (2)串联系统的失效率大于该系统的各单元的失效串联系统的失效率大于该系统的各单元的失效率；率； (3)串联系统的各单元寿命服从指数分布，该系统串联系统的各单元寿命服从指数分布，该系统寿命也服从指数分布。

寿命也服从指数分布 串联的单元数越多，系统的可靠度越低因此，串联的单元数越多，系统的可靠度越低因此，要提高系统的可靠度，必须减少系统中的单元数或提要提高系统的可靠度，必须减少系统中的单元数或提高系统中最低的单元可靠度，即提高系统中薄弱单元高系统中最低的单元可靠度，即提高系统中薄弱单元的可靠度的可靠度串联系统的特征：串联系统的特征：提高系统提高系统可靠性方可靠性方法法3、并联系统、并联系统由由n个单元组成的并联系统表示当个单元组成的并联系统表示当这这n个单元都失效时，系统才失效，个单元都失效时，系统才失效，换句话说，当系统的任一单元正换句话说，当系统的任一单元正常工作时，系统正常工作常工作时，系统正常工作 并联系统所有单元均不可靠时，才会引起系统不可靠，并联系统所有单元均不可靠时，才会引起系统不可靠，其不可靠是积事件并联系统不可靠度是组成该系统的各独其不可靠是积事件并联系统不可靠度是组成该系统的各独立单元不可靠度的乘积立单元不可靠度的乘积并联系统不可靠度并联系统不可靠度(累积失效概率累积失效概率)计算如下计算如下并联系统可靠度计算如下并联系统可靠度计算如下 (1)并联系统的失效概率低于各单元的失效概率；并联系统的失效概率低于各单元的失效概率； (2)并联系统的可靠度高于各单元的可靠度；并联系统的可靠度高于各单元的可靠度； (3)并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命。

这说并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命这说明，通过并联可以提高系统的可靠度；明，通过并联可以提高系统的可靠度； (4)并联系统的各单元服从指数寿命分布，该系统不再并联系统的各单元服从指数寿命分布，该系统不再服从指数寿命分布服从指数寿命分布并联系统的特征并联系统的特征并联与串联对比图并联与串联对比图R(t)t习题习题16:16:现有现有n n个相同的元件，其寿命为个相同的元件，其寿命为F(t)=1-eF(t)=1-e- -λλt t，组成并联系统，试求该系，组成并联系统，试求该系统的故障率统的故障率习题习题17:17:假设一串联系统由假设一串联系统由n n个个MTTF=1000h(MTTF=1000h(指数分布指数分布) )的相同元件组的相同元件组成，试求当成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，时，系统的系统的MTTFMTTF，并画出元件个数与平均，并画出元件个数与平均寿命的关系图寿命的关系图习题习题16:16:现有现有n个相同的单元，其寿命不可靠度函数为个相同的单元，其寿命不可靠度函数为F(t)=1-e-λt，组成并联系统，试求系统的故障率。

组成并联系统，试求系统的故障率习题习题17:17:假设一串联系统由假设一串联系统由n n个个MTTF=1000h(MTTF=1000h(指数分布指数分布) )的相同元件组成，试求当的相同元件组成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，时，系统的系统的MTTFMTTF，并画出元件个数与平均寿命的关系图并画出元件个数与平均寿命的关系图4、、m/n(G)表决系统表决系统n中取中取m系统是指由系统是指由n个单元组成的个单元组成的系统中，至少有系统中，至少有m个单元正常工作个单元正常工作系统才正常工作，记为系统才正常工作，记为m/n(G)为为n中取中取m表决系统表决系统1) 2/3(G)表决系统表决系统22/3表决系统MATLAB模拟分析2/3表决系统与单个元件可表决系统与单个元件可靠度相交的点的时间：靠度相交的点的时间：t= [ln(0.5)]/λ =13.8629交点为中位寿命2/3表决系统模拟分析表决系统模拟分析t= 693.15h后后2/3表决系统表决系统可靠度开始小于单个元件可靠度开始小于单个元件的可靠度的可靠度可靠性数值模拟可靠性数值模拟2/3表决系统特征表决系统特征(1)相同条件下，相同条件下，2/3表决系统的可靠度高于两个或三个单表决系统的可靠度高于两个或三个单元组成的串联系统，低于两个或三个单元组成的并联元组成的串联系统，低于两个或三个单元组成的并联系统。

系统2)相同条件下，相同条件下， 2/3表决系统的平均寿命为一个单元的平表决系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的均寿命的5/6倍，低于一个单元的平均寿命倍，低于一个单元的平均寿命3)指数分布的相同元件组成的指数分布的相同元件组成的2/3表决系统与一个单元组表决系统与一个单元组成的系统相比：成的系统相比： (a)两个系统的中位寿命相同；两个系统的中位寿命相同； (b)当可靠水平当可靠水平r小于小于0.5时，一个单元系统的可靠寿时，一个单元系统的可靠寿命高于命高于2/3(G)表决系统的可靠寿命；表决系统的可靠寿命； (c)当可靠水平当可靠水平r大于大于0.5时，时，2/3(G)表决系统的可靠寿表决系统的可靠寿命高于一个单元系统的可靠寿命，且命高于一个单元系统的可靠寿命，且r越接近越接近1，采用，采用2/3(G)系统结构对提高可靠寿命的效果越显著系统结构对提高可靠寿命的效果越显著 因此，在对系统可靠水平要求很高的情况下，采因此，在对系统可靠水平要求很高的情况下，采用用2/3(G)表决系统结构可提高系统的可靠寿命表决系统结构可提高系统的可靠寿命。

(1) m/n(G)表决系统表决系统m/n(G)表决系统与串联和并联系统的关系表决系统与串联和并联系统的关系 m/n(G)表决系统中，如果表决系统中，如果m=n，，则系统变为串联系统，如果则系统变为串联系统，如果m=1则变则变为并联系统为并联系统m/n(G)表决系统定义：表决系统定义： n中取中取m系统是指由系统是指由n个单元组成的系统中，个单元组成的系统中，至少有至少有m个单元正常工作个单元正常工作系统才正常工作，系统才正常工作，5、混联系统、混联系统 由串联系统和并联系统混合而成的系统称为混联系由串联系统和并联系统混合而成的系统称为混联系统，最典型的是串统，最典型的是串---并联系统和并并联系统和并---串联系统串联系统1) 串串---并联系统并联系统 串串---并联系统的可靠性并联系统的可靠性框图如右图所示，是由一部框图如右图所示，是由一部分单元先串联组成一个子系分单元先串联组成一个子系统，再由这些子系统组成一统，再由这些子系统组成一个并联系统个并联系统当当λ=0.001时时(2) 并并---串联系统串联系统 并并---串联系统是由一部串联系统是由一部分单元先并联组成一些子系分单元先并联组成一些子系统，再由这些子系统组成一统，再由这些子系统组成一个串联系统，如右图。

个串联系统，如右图当当λ=0.001时时在相同的条件下，并在相同的条件下，并—串联系统的可靠度高于串串联系统的可靠度高于串—并联系统并联系统串-并并-串习题习题18:18:试比较下列五个系统的可靠度，设备单元的可试比较下列五个系统的可靠度，设备单元的可靠度相同，均为靠度相同，均为R R0 0=0.99=0.99(1)(1)四个单元构成的串联系统；四个单元构成的串联系统；(2)(2)四个单元构成的并联系统；四个单元构成的并联系统；(3)(3)四中取三储备系统；四中取三储备系统；(4)(4)串串- -并联系统并联系统(N=2(N=2，，n=2)n=2)(5)(5)并并- -串联系统串联系统(N=2(N=2，，n=2)n=2)习题习题19:系统的可靠性框图如下图所示，系统的可靠性框图如下图所示，R1=R2=0.9，，R3=R4=0.8，，R5=R6=0.7，，R7=R8=0.6求系统的可靠度求系统的可靠度56172348习题习题18:18:设各单元可靠度相同，均为设各单元可靠度相同，均为R R0 0=0.99=0.99(6)比较:(略)习题习题19:系统的可靠性框图如下图所示，系统的可靠性框图如下图所示，R1=R2=0.9，，R3=R4=0.8，，R5=R6=0.7，，R7=R8=0.6求系统的可靠度。

求系统的可靠度56172348解：R78=1-(1-R7) (1-R8)=1-0.4*0.4=0.84 R34=R3*R4=0.8*0.8=0.64 R56=R5*R6=0.7*0.7=0.49 R3456=1-(1-R34)*(1-R56)=1-(1-0.64)*(1-0.49)=0.8164R总= R78*R3456*R2*R1=0.84*0.8164*0.9*0.9=0.55556、旁联系统、旁联系统 为了提高系统的可靠度，除了多安装一些单元外，为了提高系统的可靠度，除了多安装一些单元外，还可以储备一些单元，以便当工作单元失效时，能立还可以储备一些单元，以便当工作单元失效时，能立即通过转换开关使储备的单元逐个地去替换，直到所即通过转换开关使储备的单元逐个地去替换，直到所有单元都发生故障时为止，系统才失效，这种系统称有单元都发生故障时为止，系统才失效，这种系统称为旁联系统旁联系统的可靠性框图如下图为旁联系统旁联系统的可靠性框图如下图 旁联系统与并联系统的区别旁联系统与并联系统的区别在在于：并联系统中每个单元一开始就于：并联系统中每个单元一开始就同时处于工作状态，而旁联系统中同时处于工作状态，而旁联系统中仅用一个单元工作，其余单元处于仅用一个单元工作，其余单元处于待机工作状态。

待机工作状态 旁联系统可分为两种情况旁联系统可分为两种情况，一，一是储备单元在储备期内失效率为零，是储备单元在储备期内失效率为零，二是储备单元在储备期内也可能失二是储备单元在储备期内也可能失效(1)储备单元完全可靠的旁联系统储备单元完全可靠的旁联系统 储备单元完全可靠是指：备用的单元在储备期内不储备单元完全可靠是指：备用的单元在储备期内不发生失效也不劣化，储备期的长短对以后的使用寿命没发生失效也不劣化，储备期的长短对以后的使用寿命没有影响；转换开关完全可靠是指：使用开关时，开关完有影响；转换开关完全可靠是指：使用开关时，开关完全可靠，不发生故障全可靠，不发生故障泊松分布泊松分布随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k-1次的累积分布函数为：次的累积分布函数为：λ --λt不同系统MATLAB模拟比较分析 串联系统的寿命串联系统的寿命为单元中最小的寿命，为单元中最小的寿命，并联系统的寿命为单并联系统的寿命为单元中最大的寿命，而元中最大的寿命，而转换开关与储备单元转换开关与储备单元完全可靠的旁联系统完全可靠的旁联系统的寿命为所有单元寿的寿命为所有单元寿命之和，这说明转换命之和，这说明转换开关、储备单元均完开关、储备单元均完全可靠的旁联系统的全可靠的旁联系统的可靠性最佳，串联系可靠性最佳，串联系统的可靠性最差。

统的可靠性最差旁联系统特征旁联系统特征不同系统MATLAB模拟比较分析旁联系统MATLAB模拟比较分析旁联系统与并联系统模拟比较(2)储备单元不完全可靠的旁联系统储备单元不完全可靠的旁联系统 在实际使用中，储备单元由于受到环境因素的影响，在在实际使用中，储备单元由于受到环境因素的影响，在储备期间失效率不一定为零，当然这种失效率不同于工作失储备期间失效率不一定为零，当然这种失效率不同于工作失效率，一般要小得多效率，一般要小得多 如果两个单元组成的旁联系统，其中一个为工作单元，如果两个单元组成的旁联系统，其中一个为工作单元，另一个为备用单元，又假设两个单元工作与否相互独立，储另一个为备用单元，又假设两个单元工作与否相互独立，储备单元进人工作状态后的寿命与其经过的储备期长短无关备单元进人工作状态后的寿命与其经过的储备期长短无关设两个单元的工作寿命分别为设两个单元的工作寿命分别为Xl，，X2，且相互独立，均服从，且相互独立，均服从指数分布，失效率分别为指数分布，失效率分别为λλl，，λλ2；第二个单元的储备寿命；第二个单元的储备寿命为为Y，服从参数为，服从参数为μμ的指数分布。

的指数分布 当工作的单元当工作的单元1失效时，储备单元失效时，储备单元2已经失效，即已经失效，即X1>Y，，表明储备无效，系统也失效，此时系统的寿命就是工作单元表明储备无效，系统也失效，此时系统的寿命就是工作单元1的寿命的寿命X1；当工作的单元；当工作的单元1失效时，储备单元失效时，储备单元2未失效，即未失效，即X1

小时，试求其成功的概率习题习题20 一台机械设备上的某一零件，经长期使用一台机械设备上的某一零件，经长期使用表明，平均失效率为常数表明，平均失效率为常数λ=0.00001/小时，但小时，但这种零件库存仅一件这种零件库存仅一件(库存期间不失效库存期间不失效)，若希，若希望继续工作望继续工作50000小时，试求其成功的概率小时，试求其成功的概率 在可靠性工程中经常遇到的系统并非串、并联在可靠性工程中经常遇到的系统并非串、并联或混联结构系统，而是一个具有复杂结构的网络系或混联结构系统，而是一个具有复杂结构的网络系统复杂系统可靠度求法主要有：统复杂系统可靠度求法主要有： 状态枚举法；状态枚举法； 全概率分解法；全概率分解法； 最小路集法；最小路集法； 最小割集法；最小割集法； Monte—Carlo模拟法等模拟法等6、复杂系统、复杂系统小型网络小型网络大型复杂网络大型复杂网络(1)状态枚举法状态枚举法 状态枚举法也称真值表法，实际上就是穷举法状态枚举法也称真值表法，实际上就是穷举法。

这是一个最原始的计算系统可靠度的方法它只适这是一个最原始的计算系统可靠度的方法它只适用于对较小的系统进行可靠性分析用于对较小的系统进行可靠性分析 状态枚举法的思路是：设一个系统由状态枚举法的思路是：设一个系统由n个单元个单元组成，每个单元的可靠度和不可靠度分别为组成，每个单元的可靠度和不可靠度分别为pi和和qi，，i=1,2,…,n因为每个单元只有正常和失效两种状因为每个单元只有正常和失效两种状态由n个单元组成的网络系统总共有个单元组成的网络系统总共有2n种不同的种不同的状态，而且各种状态之间不存在交集，那么在这状态，而且各种状态之间不存在交集，那么在这2n种不同的状态中，将能使系统正常工作的所有状态种不同的状态中，将能使系统正常工作的所有状态之可靠度相加，可得系统的可靠度之可靠度相加，可得系统的可靠度 系统由系统由5个单元组成，因个单元组成，因此系统共有此系统共有25=32种不同的状种不同的状态，如果用态，如果用0表示单元或系统表示单元或系统失效，用失效，用1表示单元或系统正表示单元或系统正常工作，系统正常与失效的常工作，系统正常与失效的各种状态可列成一个表。

各种状态可列成一个表 表中系统编号为表中系统编号为7时，虽然时，虽然A1、、A2和和A5三个单元失效，但三个单元失效，但A3、、A4正常工正常工作，系统可正常工作状态作，系统可正常工作状态7时系统正时系统正常工作的概率为：常工作的概率为： 由于使系统正常工作的由于使系统正常工作的16种状态互不相容，故系统种状态互不相容，故系统的可靠度为表中这的可靠度为表中这16种状态的概率之和，即种状态的概率之和，即 由上面的计算可知，状态枚举法原理简单、容易掌由上面的计算可知，状态枚举法原理简单、容易掌握，但当组成网络的单元数握，但当组成网络的单元数n较大时，计算量较大，状较大时，计算量较大，状态枚举法实际上是不可行的态枚举法实际上是不可行的(2)全概率分析法全概率分析法全概率公式的常用形式：全概率公式的常用形式：(3)最小路集法与最小割集法最小路集法与最小割集法网络图的概念网络图的概念 ①①网络图：网络图：根据系统的可靠根据系统的可靠性框图，把表示单元的每个框用性框图，把表示单元的每个框用弧表示并标明方向，然后在各框弧表示并标明方向，然后在各框的连接处标上节点，就构成系统的连接处标上节点，就构成系统的网络图，网络图是分析复杂系的网络图，网络图是分析复杂系统的基础。

统的基础路集的概念路集的概念 ②②路集：路集：在网络图中，从节点在网络图中，从节点v1出出发，经过一串弧序列可以到达节点发，经过一串弧序列可以到达节点v2，，则称这个弧序列为从则称这个弧序列为从v1到到v2的一个路集的一个路集或一条路一个路集中所有弧对应的单或一条路一个路集中所有弧对应的单元都正常时，系统就能正常运行元都正常时，系统就能正常运行右图系统的路集共右图系统的路集共16个最小路集的概念最小路集的概念 ③③最小路集：最小路集：如果在一条路集如果在一条路集的弧序列中，任意除去其中的一条的弧序列中，任意除去其中的一条弧后，它就不再是一条路集，则称弧后，它就不再是一条路集，则称该路集为最小路集最小路集表示该路集为最小路集最小路集表示一种可使系统正常工作的最少单元一种可使系统正常工作的最少单元的集合，即每一个单元都是必不可的集合，即每一个单元都是必不可少的，减少其中任何一个单元，系少的，减少其中任何一个单元，系统就不能正常工作统就不能正常工作右图系统最小路集为：右图系统最小路集为：割集的概念割集的概念 ④④割集：割集：在网络图中，若存在网络图中，若存在某弧集，如果截断这些弧时，在某弧集，如果截断这些弧时，就将截断所有从输入节点到输出就将截断所有从输入节点到输出节点的路径，则称该弧集为一条节点的路径，则称该弧集为一条割集。

一条割集中所有弧对应的割集一条割集中所有弧对应的单元都失效时，系统就不能正常单元都失效时，系统就不能正常运行右图割集有右图割集有16个最小割集的概念最小割集的概念 ⑤⑤最小割集：最小割集：如果在一条割如果在一条割集的弧序列中，去掉其中任一条集的弧序列中，去掉其中任一条弧后，它就不成为割集，则称该弧后，它就不成为割集，则称该割集为最小割集若在一条割集割集为最小割集若在一条割集中增加任意一个其他单元，就可中增加任意一个其他单元，就可使系统正常工作使系统正常工作右图最小割集有右图最小割集有4个最小路集法最小路集法最小路集法：最小路集法：最小路集法思路是：找出系统中可最小路集法思路是：找出系统中可能存在的所有最小路集能存在的所有最小路集L1，，L2，，…，，Ln，系统正，系统正常工作表示至少有一条路集畅通，为和事件系常工作表示至少有一条路集畅通，为和事件系统的可靠度为：统的可靠度为：最小割集法最小割集法最小割集法：最小割集法：用最小割集法分析一个系统的可靠用最小割集法分析一个系统的可靠性的思路是：找出系统中可能存在的所有最小割性的思路是：找出系统中可能存在的所有最小割集集G1，，G2，，…，，Gm，系统失效表示至少有一条割，系统失效表示至少有一条割集中所有弧对应的单元均失效，系统失效是和事集中所有弧对应的单元均失效，系统失效是和事件。

系统的不可靠度为：件系统的不可靠度为：最小路集法最小路集法最小割集法最小割集法习题习题21ABDCFE已知下图中每个部件的可靠度为已知下图中每个部件的可靠度为R，求，求系统的可靠度系统的可靠度习题习题21已知下图中每个部件的可靠度为已知下图中每个部件的可靠度为R，求，求系统的可靠度系统的可靠度解：(1)当单元C正常时，系统的可靠性与D无关，相当于AB、EF并联再串联，形成一个K系统此时系统可靠度为：P(K|C)=RABREF=[1-(1-R)2] [1-(1-R)2] (2)当C单元失效时，系统相当于BDF组成一个串联系统，此时系统可靠度为：P(K|C)=RBRDRF=R3 系统可靠度为：P(K)= P(K|C)RC+ P(K|C)(1-RC)= [1-(1-R)2]2R+ R3(1-R)ABDCFE第五章第五章 故障模式影响及危害性和故障树分析故障模式影响及危害性和故障树分析 为了提高产品的可靠性，在可靠性设计时，必为了提高产品的可靠性，在可靠性设计时，必须对系统及组成系统的单元的故障进行分析本须对系统及组成系统的单元的故障进行分析本章研究故障模式及危害，介绍用故障树分析产品章研究故障模式及危害，介绍用故障树分析产品可靠性方法。

可靠性方法5.1 故障和故障率故障和故障率1、故障分类、故障分类 “故障故障”是用来描述元件丧失功能的状态故障分类有是用来描述元件丧失功能的状态故障分类有多种方法，从多种方法，从原因原因来分，可分为来分，可分为随机故障随机故障和和必然故障必然故障 随机故障随机故障是指人们事先无法预料的、随时都可能发生是指人们事先无法预料的、随时都可能发生的故障 必然故障必然故障是指人们事先可以预料的、必定要发生的故是指人们事先可以预料的、必定要发生的故障，即必然事件障，即必然事件1、故障分类、故障分类 故障按结构完整性进行分类，故障按结构完整性进行分类，有完全故障有完全故障和和部分故障部分故障；； 按时间关系来分类，可分为按时间关系来分类，可分为突发性故障突发性故障和和早早期故障期故障 突发性故障突发性故障是指在非常短的时间内可能发生是指在非常短的时间内可能发生的故障；的故障；早期故障早期故障也叫延迟故障，是指在一定的也叫延迟故障，是指在一定的时间内经过逐渐演变才能发生的故障时间内经过逐渐演变才能发生的故障 产品种类不同，故障的类型也不同。

产品种类不同，故障的类型也不同损伤程度的故障分类损伤程度的故障分类例如一设备自动控制系统发生故障，按元件的损坏程度可例如一设备自动控制系统发生故障，按元件的损坏程度可分为：分为： (1)硬故障硬故障：指因某一部件的局部或全部损坏而使系：指因某一部件的局部或全部损坏而使系统无法正常工作的故障统无法正常工作的故障(即元件损坏严重的故障即元件损坏严重的故障) (2)软故障软故障：指由于系统工作条件变化等因素的影响，：指由于系统工作条件变化等因素的影响，引起系统某些部件的工作性能变差，造成系统的控制性能引起系统某些部件的工作性能变差，造成系统的控制性能逐渐下降，以至不能满足正常工作的要求逐渐下降，以至不能满足正常工作的要求(即元件损坏轻即元件损坏轻微的故障微的故障) (3)中等故障中等故障：介于硬故障与软故障之间介于硬故障与软故障之间 故障分类故障分类 同一产品故障分类的方法可以有多种，如计算机软件的同一产品故障分类的方法可以有多种，如计算机软件的故障可根据下面几种情况进行分类：故障可根据下面几种情况进行分类： (1)输入故障分类输入故障分类：： 根据软件输入类型对软件故障进行分根据软件输入类型对软件故障进行分类。

类 (2)动态形式分类动态形式分类：： 根据动态形式对软件故障加以分类根据动态形式对软件故障加以分类可能的形式包括控制流故障、计算故障、死循环、响应时间可能的形式包括控制流故障、计算故障、死循环、响应时间偏差、资源分配不当等等偏差、资源分配不当等等 (3)原因分类原因分类：根据软件缺陷对故障加以分类根据软件缺陷对故障加以分类 (4)产生后果分类产生后果分类：根据软件失效对软件故障加以分类根据软件失效对软件故障加以分类 在模拟电路中，故障可分为两大类：一类称为在模拟电路中，故障可分为两大类：一类称为硬故障硬故障，，指元件的开路和短路失效故障；另一类称为指元件的开路和短路失效故障；另一类称为软故障软故障，指元件，指元件参数超出预定的容差范围，但均未使设备全失效参数超出预定的容差范围，但均未使设备全失效2、故障率的确定、故障率的确定注意故障率与失效率的区别：注意故障率与失效率的区别：产品失效率计算如下：产品失效率计算如下：(1)实验分析确定故障率实验分析确定故障率 寿命实验可以在实验室或实验车间进寿命实验可以在实验室或实验车间进行。

在这种条件下，测试条件行在这种条件下，测试条件(如温度、电如温度、电负荷及环境影响等负荷及环境影响等)是已知的缺点是现代是已知的缺点是现代元件的故障率很低，为确定故障率所需要元件的故障率很低，为确定故障率所需要的元件小时数的元件小时数ntk必然很大这样的实验不必然很大这样的实验不是时间太长就是经济上不允许，存在一定是时间太长就是经济上不允许，存在一定的弊端故障率的确定故障率的确定 (2)现场使用数据分析确定故障率现场使用数据分析确定故障率 制造商对用户使用过程中设备的运行情况制造商对用户使用过程中设备的运行情况(包括损包括损坏与维修坏与维修)密切关注并进行着详细的统计工作这些统密切关注并进行着详细的统计工作这些统计资料提供的信息包括用户使用的仪器数目，仪器中计资料提供的信息包括用户使用的仪器数目，仪器中所含的元件数目，以及仪器的工作时间和工作环境所含的元件数目，以及仪器的工作时间和工作环境还记录了发生故障及经过维修的元件数从统计学的还记录了发生故障及经过维修的元件数从统计学的观点来看，这是对大量元件进行抽样检验，通过对元观点来看，这是对大量元件进行抽样检验，通过对元件进行现场使用数据的分析来确定元件的故障率。

件进行现场使用数据的分析来确定元件的故障率 该方法的优点是统计结果来自于现场，试验成本该方法的优点是统计结果来自于现场，试验成本低，但缺点是现场环境往往是未知的或粗略的，影响低，但缺点是现场环境往往是未知的或粗略的，影响分析结果分析结果故障率的确定故障率的确定 存在一系列因素的影响，致使故障率试验所统计的故存在一系列因素的影响，致使故障率试验所统计的故障数出现偏差，有可能偏低，也有可能偏高障数出现偏差，有可能偏低，也有可能偏高统计发生故统计发生故障的元件数障的元件数K偏低，导致故障率偏低，统计发生故障的元件偏低，导致故障率偏低，统计发生故障的元件数数K偏高，会导致故障率偏高偏高，会导致故障率偏高 故障数故障数K偏低是由于统计报告中只记录了导致仪器设备偏低是由于统计报告中只记录了导致仪器设备出现故障的故障元件数，忽略了其他故障元件数因此，出现故障的故障元件数，忽略了其他故障元件数因此，实际的元件故障率就会估计得偏低实际的元件故障率就会估计得偏低 故障数故障数K偏高是由于统计人员在做统计检验时没有排除偏高是由于统计人员在做统计检验时没有排除下面的故障因素下面的故障因素：因布线错误引起元件发生的故障；出厂：因布线错误引起元件发生的故障；出厂时就是次品；因使用不当而使元件发生的故障；错误的应时就是次品；因使用不当而使元件发生的故障；错误的应用场合；由于外行操作引起元件发生的故障；推论故障；用场合；由于外行操作引起元件发生的故障；推论故障；不必要的元件更换等。

不必要的元件更换等2、故障率试验误差分析、故障率试验误差分析5.2 模式影响及危害性分析模式影响及危害性分析 故障模式影响及危害性分析故障模式影响及危害性分析是一种系统化的可靠性是一种系统化的可靠性分析方法分析方法(Failure Mode Effect and criticality Analysis-FMECA) 模式模式就是失效或故障的形式，同一种产品的故障有就是失效或故障的形式，同一种产品的故障有多种不同的形式多种不同的形式 故障模式故障模式可分为单因素故障模式可分为单因素故障模式(如电阻开路故障模如电阻开路故障模式和短路故障模式式和短路故障模式)和多因素故障模式和多因素故障模式 失效影响失效影响指一个部件指一个部件(元器件元器件)失效时，对系统所产失效时，对系统所产生的影响生的影响 危害度危害度指的是每一种故障模式对可靠性影响的危害指的是每一种故障模式对可靠性影响的危害程度，通常用故障影响的严重程度以及故障发生的频率程度，通常用故障影响的严重程度以及故障发生的频率来估计1、、 模式影响分析模式影响分析(FMEA) FMEA是在产品设计过程中，通过对产品各个组成是在产品设计过程中，通过对产品各个组成单元潜在的各种故障模式及其对产品功能的影响进行分单元潜在的各种故障模式及其对产品功能的影响进行分析，提出可能采取的预防改进措施，以提高产品可靠性析，提出可能采取的预防改进措施，以提高产品可靠性的一种设计分析方法。

的一种设计分析方法 进行进行FMEA可使设计更合理，考虑更全面它是可可使设计更合理，考虑更全面它是可靠性设计的重要内容，无论在方案论证阶段还是在技术靠性设计的重要内容，无论在方案论证阶段还是在技术设计阶段都应进行设计阶段都应进行FMEA 在许多重要领域，在许多重要领域，FMEA被明确规定为设计人员必被明确规定为设计人员必须掌握的技术，须掌握的技术，FMEA有关资料被规定为不可缺少的设有关资料被规定为不可缺少的设计文件在国际通信卫星的可靠性计划中也明确规定，计文件在国际通信卫星的可靠性计划中也明确规定，FMEA是必不可少的一项工作是必不可少的一项工作2、、 模式影响分析的方法和程序模式影响分析的方法和程序 FMEA有两种基本方法，即有两种基本方法，即硬件法硬件法和和功能法功能法工作中具体采用那样方法，取决于设计的复杂程度和可利用中具体采用那样方法，取决于设计的复杂程度和可利用信息的多少对复杂系统进行分析时，可以考虑综合采信息的多少对复杂系统进行分析时，可以考虑综合采用功能法和硬件法用功能法和硬件法 当产品可按设计图样及其他工程设计资料明确确定当产品可按设计图样及其他工程设计资料明确确定时，一般采用硬件法。

这种分析方法适用于从零件级开时，一般采用硬件法这种分析方法适用于从零件级开始分析再扩展到系统级，即自下而上进行分析，也可以始分析再扩展到系统级，即自下而上进行分析，也可以从任一层次开始向任一方向进行分析从任一层次开始向任一方向进行分析 模式影响分析一般根据设计资料，采用硬件法模式影响分析一般根据设计资料，采用硬件法模式影响分析模式影响分析(FMEA)步骤步骤 (1)明确系统组成、任务、功能、工作过程和各种工明确系统组成、任务、功能、工作过程和各种工作方法及其使用环境；明确系统可能失效的全部故障作方法及其使用环境；明确系统可能失效的全部故障(失失效效)模式，并对系统故障模式，并对系统故障(失效失效)进行分类、分级进行分类、分级 (2)画出可靠性结构框图在此框图中要明确表示组画出可靠性结构框图在此框图中要明确表示组成系统的零件、部件发生故障对系统的影响这种框图成系统的零件、部件发生故障对系统的影响这种框图自系统、子系统一直往下面，逐级细分，直到每个元件、自系统、子系统一直往下面，逐级细分，直到每个元件、接点和导线，并编制相应的代码，如下图接点和导线，并编制相应的代码，如下图。

模式影响分析模式影响分析(FMEA)步骤步骤 (3)列出所有元器件，以至接点、导线的各种失效形列出所有元器件，以至接点、导线的各种失效形式式(模式模式) (4)填写失效模式影响分析表下表为一范例，列出填写失效模式影响分析表下表为一范例，列出了了FMEA的基本内容，根据分析的需要可对其进行增补的基本内容，根据分析的需要可对其进行增补 严酷度类别严酷度类别—分析危害性的基础分析危害性的基础 严酷度类别严酷度类别是产品故障造成的最坏潜在后果的度量是产品故障造成的最坏潜在后果的度量表示可以将每一故障模式和每一被分析的产品按损失表示可以将每一故障模式和每一被分析的产品按损失程度进行分类程度进行分类 严酷度一般分为下述四类：严酷度一般分为下述四类： ①①I类类(灾难的灾难的)——这是一种会引起人员死亡或系统这是一种会引起人员死亡或系统(设备设备)毁坏的故障；毁坏的故障； ②②II类类(致命的致命的)——这种故障会引起人员的严重伤害、这种故障会引起人员的严重伤害、重大经济损失或导致系统重大经济损失或导致系统(设备设备)严重损坏；严重损坏； ③③III(临界的临界的)——这种故障会引起人员的轻度损害、这种故障会引起人员的轻度损害、一定的经济损失或导致任务延迟或系统一定的经济损失或导致任务延迟或系统(设备设备)轻度损坏；轻度损坏； ④④IV类类(轻度的轻度的)——这是一种不足以导致人员伤害、这是一种不足以导致人员伤害、一定的经济损失或系统一定的经济损失或系统(设备设备)损坏的故障，但它会导致损坏的故障，但它会导致非计划性维修。

非计划性维修3、危害性分析、危害性分析 危害性分析危害性分析是按每一故障模式的严酷度类别是按每一故障模式的严酷度类别及故障模式发生概率等级，评价分析各种可能的及故障模式发生概率等级，评价分析各种可能的故障模式的危害性故障模式的危害性 危害性分析有定性分析和定量分析两种方法危害性分析有定性分析和定量分析两种方法 定性分析是绘制危害性矩阵定性分析是绘制危害性矩阵 定量分析是计算故障模式危害度定量分析是计算故障模式危害度Cm和产品和产品危害度危害度Cr并填写危害性分析表并填写危害性分析表 危害性定性分析方法危害性定性分析方法 首先将各故障模式的发生概率按规定分成不同的等首先将各故障模式的发生概率按规定分成不同的等级通常按产品工作期间内某一故障模式的发生概率与级通常按产品工作期间内某一故障模式的发生概率与产品在该期间内总的故障概率的比值产品在该期间内总的故障概率的比值K的大小来划分：的大小来划分：A级是经常发生的，级是经常发生的，K>20%；；B级是有时发生的，级是有时发生的，10%

所谓危害性矩阵，就是横坐所谓危害性矩阵，就是横坐标为严酷度类别，纵坐标为标为严酷度类别，纵坐标为故障模式发生概率等级或危故障模式发生概率等级或危害度害度Cr的矩阵图，见图的矩阵图，见图5.2通过绘制危害性矩阵，以确通过绘制危害性矩阵，以确定和比较每一种故障模式的定和比较每一种故障模式的危害程度，进而为确定改进危害程度，进而为确定改进措施的先后顺序提供依据措施的先后顺序提供依据危害性定量分析方法危害性定量分析方法 在具备产品的技术状态数据和故障数据的情况下，在具备产品的技术状态数据和故障数据的情况下，采用定量的方法，可以得到更为有效的分析结果定量采用定量的方法，可以得到更为有效的分析结果定量分析就是计算故障模式危害度分析就是计算故障模式危害度Cm和产品危害度和产品危害度Cr及填写及填写危害性分析表危害性分析表产品危害性定量分析表产品危害性定量分析表习题习题22ABCB图图(a)和和(b)所示的两个系统中，含有四个相同元件，所示的两个系统中，含有四个相同元件，已知每个元件的失效率为已知每个元件的失效率为λ(常数常数)，若系统运行，若系统运行2000小时的可靠度要求至少为小时的可靠度要求至少为0.95，两种情况下元，两种情况下元件的失效率应满足什么要求？件的失效率应满足什么要求？CA(a)(b)习题习题22ABCB图图(a)和和(b)所示的两个系统中，含有三个相同元件，所示的两个系统中，含有三个相同元件，已知每个元件的失效率为已知每个元件的失效率为λ(常数常数)，若系统运行，若系统运行2000小时的可靠度要求至少为小时的可靠度要求至少为0.95，两种情况下元件的，两种情况下元件的失效率应满足什么要求？失效率应满足什么要求？CA(a)(b)5.3 故障树分析故障树分析 1、、 故障树图形的标志符号故障树图形的标志符号 故障树是一种图示模型，它的构造是使用各故障树是一种图示模型，它的构造是使用各种逻辑门按照系统与元件的因果关系组合而成的，种逻辑门按照系统与元件的因果关系组合而成的，即从顶事件出发，通过中间事件到各个有关的基即从顶事件出发，通过中间事件到各个有关的基本事件有机地连成一棵倒置的事件树，本事件有机地连成一棵倒置的事件树， 可见故可见故障树本身只是表明一种事件的联系，也就是一个障树本身只是表明一种事件的联系，也就是一个定性的模型。

定性的模型 在建树之前，我们必须了解和熟悉在故障树在建树之前，我们必须了解和熟悉在故障树中经常使用的各种符号，它们是建立故障树的基中经常使用的各种符号，它们是建立故障树的基础 1、门的符号、门的符号—7个个 逻辑门按照因果关系将各个有关事件连接起来，如逻辑门按照因果关系将各个有关事件连接起来，如下表一个门可以有一个或几个输入事件，但只能有一下表一个门可以有一个或几个输入事件，但只能有一个输出事件个输出事件门的符号门的符号 以上只有与门和或门是两种基本类型的门，以上只有与门和或门是两种基本类型的门，其他各种门都是这两种基本门的特殊情况其他各种门都是这两种基本门的特殊情况2、事件符号、事件符号-7种种 事件是故障树图形中的主体事件是故障树图形中的主体按照事件的性质不同，其符号可按照事件的性质不同，其符号可大致分为三类：大致分为三类： 第一类为第一类为初级事件符号初级事件符号，初级事件是指那些不需要再分解或由，初级事件是指那些不需要再分解或由于种种原因不能再做进一步分解的事件序号于种种原因不能再做进一步分解的事件。

序号1中的圆形表示基示事中的圆形表示基示事件，它不需再做进一步分析；序号件，它不需再做进一步分析；序号2中的菱形表示未做进一步分解的中的菱形表示未做进一步分解的事件，这是由于事件本身不明或缺少有关信息；序号事件，这是由于事件本身不明或缺少有关信息；序号3中的椭圆形表中的椭圆形表示条件事件，常用作逻辑门示条件事件，常用作逻辑门(如禁止门如禁止门)的特定条件；序号的特定条件；序号4中的房形中的房形为外部事件为外部事件(触发事件触发事件)，它是用来表示期望发生的事件它是用来表示期望发生的事件事件符号事件符号 第二类为中间事件符号，表中只有一个序号第二类为中间事件符号，表中只有一个序号5的长方的长方形用来表示各种逻辑门输出的结果事件形用来表示各种逻辑门输出的结果事件 第三类为转称符号，表中序号第三类为转称符号，表中序号6和和7中的三角形均为中的三角形均为此类符号此类符号6中三角形顶角上的一条直线表示输入，中三角形顶角上的一条直线表示输入，7中中三角形侧面的一条横线表示输出三角形侧面的一条横线表示输出例题：例题：2/3表决系统的故障树可用下图表示表决系统的故障树可用下图表示。

2/3TOP(顶事件顶事件)E2E3E1表决门表决门基本事件基本事件顶事件顶事件2、故障树分析的步骤、故障树分析的步骤 故障树分析首先是定义系统对象，并提出待解决的故障树分析首先是定义系统对象，并提出待解决的问题；其次是建立模型；然后再进步分析具体可分为问题；其次是建立模型；然后再进步分析具体可分为下列三大步骤下列三大步骤 (1)定义系统的对象与边界条件定义系统的对象与边界条件 所谓系统，是为了完成某一特定功能，由若干个彼所谓系统，是为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联系而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体此有联系而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体系统的基本特征系统的基本特征是一个由具有相互作用的分离元部件构是一个由具有相互作用的分离元部件构成的统一体成的统一体 系统中各个分离元件都完成相应的功能，一个系统系统中各个分离元件都完成相应的功能，一个系统可以用功能图表示为了画出合适的故障树，首先要确可以用功能图表示为了画出合适的故障树，首先要确定系统的边界条件，其中最重要的边界条件就是顶事件，定系统的边界条件，其中最重要的边界条件就是顶事件，即主要的系统故障，相对的边界条件是可能导致顶事件即主要的系统故障，相对的边界条件是可能导致顶事件发生的基本事件，其他边界则视具体情况而定。

发生的基本事件，其他边界则视具体情况而定故障树分析的步骤故障树分析的步骤 (2) 故障树的建造故障树的建造 故障树实际上就是系统故障的图示模型，绘制故障故障树实际上就是系统故障的图示模型，绘制故障树时，首先要按照系统的定义确定一个顶事件，然后使树时，首先要按照系统的定义确定一个顶事件，然后使用有关符号，从顶事件出发，分级分路通过有关逻辑门用有关符号，从顶事件出发，分级分路通过有关逻辑门及中间事件，直到基本事件，从而给出一棵倒立的树及中间事件，直到基本事件，从而给出一棵倒立的树必须注意，只能一次走一步，切勿跨越任何中间事件，必须注意，只能一次走一步，切勿跨越任何中间事件，否则会带来错误的模型，导致错误结论否则会带来错误的模型，导致错误结论 通常，按照元部件的类别，可将故障树分为三种：通常，按照元部件的类别，可将故障树分为三种： 初级故障树；初级故障树； 次级故障树；次级故障树； 指令故障树指令故障树初级故障树初级故障树 凡元部件在设计参数范围内工作而失效时，称为凡元部件在设计参数范围内工作而失效时，称为初初级故障级故障。

仅用元部件初级可靠性参数建成的故障树，称仅用元部件初级可靠性参数建成的故障树，称为初级故障树为初级故障树开关合不上右图特征：右图特征：所所有基本事件都有基本事件都是通过或门达是通过或门达到顶事件的，到顶事件的，从而任何一个从而任何一个基本事件发生，基本事件发生，都会导致顶事都会导致顶事件发生次级故障树次级故障树 凡是超出基本元部件失效以外所发生的故障，都属于凡是超出基本元部件失效以外所发生的故障，都属于次级故障范畴次级故障范畴未作进一步分未作进一步分解事件符号解事件符号指令故障树指令故障树 指令故障往往是由于操作失误造成的一般是属于指令故障往往是由于操作失误造成的一般是属于基本事件到顶事件不同级之间的中间事件基本事件到顶事件不同级之间的中间事件故障树的评价故障树的评价 建立故障树之后，就可以根据故障树对整个建立故障树之后，就可以根据故障树对整个系统进行评价，并从中得到定性和定量的结果系统进行评价，并从中得到定性和定量的结果 评价故障树的最好办法是利用它的最小割集评价故障树的最好办法是利用它的最小割集一个割集定义为一组事件的集合，当这些事件全一个割集定义为一组事件的集合，当这些事件全发生时，顶事件必然发生。

一个不能再进一步简发生时，顶事件必然发生一个不能再进一步简化的割集，称为最小割集在一个最小割集中，化的割集，称为最小割集在一个最小割集中，若缺少任何一个事件发生，就不能促使顶事件的若缺少任何一个事件发生，就不能促使顶事件的发生(1)故障树的定性评价故障树的定性评价—得出三个定性结果得出三个定性结果 (a)故障树的最小割集故障树的最小割集这些最小割集是所有可能导致系统故障这些最小割集是所有可能导致系统故障(即顶事件发生即顶事件发生)的部件故障的组合，它们不仅是定性评价的主要结的部件故障的组合，它们不仅是定性评价的主要结果，而且也是定量评价的基础果，而且也是定量评价的基础 24=16种种结果结果  (b)定性的部件重要度定性的部件重要度定性重要度给出每个元部件定性重要度给出每个元部件对系统发生故障贡献大小的对系统发生故障贡献大小的“定性等级定性等级”在求得最小在求得最小割集之后，按其阶数割集之后，按其阶数(即组成最小割集的基本事件数即组成最小割集的基本事件数)从从小到大顺序排列，就可得到有关元部件的定性重要度小到大顺序排列，就可得到有关元部件的定性重要度。

显然低阶割集的定性重要度比高阶割集的要大如下图显然低阶割集的定性重要度比高阶割集的要大如下图故障树中，最小割集为：故障树中，最小割集为：E1E2、、E3、、E4，一阶割集，一阶割集E3或或E4的重要度比二阶割集中的重要度比二阶割集中E1E2的的E1或或E2要大故障树的定性评价故障树的定性评价 (c)共因共因(或共模或共模)故障的敏感性故障的敏感性一个阶数高的最小一个阶数高的最小割集，如果其中各个元部件共因故障敏感性高，则其重割集，如果其中各个元部件共因故障敏感性高，则其重要度就不一定比其阶数低的最小割集的重要度小，部件要度就不一定比其阶数低的最小割集的重要度小，部件的重要度与共因故障的敏感性相关的重要度与共因故障的敏感性相关 如下图中如下图中E1E2相乘失效率高于相乘失效率高于E3或或E4，说明，说明E1E2的的共因敏感性高共因敏感性高故障树的定性评价故障树的定性评价(2)故障树的定量评价故障树的定量评价—得出三个定量结果得出三个定量结果 故障树的定量评价是要求出系统可靠性的定量结果，可故障树的定量评价是要求出系统可靠性的定量结果，可得出如下结果：得出如下结果： 1)数值概率。

数值概率故障树是以顶事件的定量数据故障树是以顶事件的定量数据(如故障概如故障概率、失效率等率、失效率等)来做最后评价的在最小割集确定之后，找来做最后评价的在最小割集确定之后，找出元部件的故障概率，求出最小割集事件发生的概率，最后出元部件的故障概率，求出最小割集事件发生的概率，最后计算系统故障概率计算系统故障概率(即顶事件发生的概率即顶事件发生的概率)可采用①①蒙特卡蒙特卡洛模拟法；洛模拟法；②②直接分析解答法直接分析解答法 2)元部件和最小割集的定量重要度元部件和最小割集的定量重要度定量重要度将给出定量重要度将给出由特定的最小割集或特定元部件而引起系统故障次数的百分由特定的最小割集或特定元部件而引起系统故障次数的百分比实际上定量重要度即为概率重要度实际上定量重要度即为概率重要度 3)元部件的灵敏度元部件的灵敏度这里是研究元部件数据变化或模型这里是研究元部件数据变化或模型偏差对顶事件发生概率的影响偏差对顶事件发生概率的影响3、确定故障树最小割集算法、确定故障树最小割集算法 在带有重复事件的故障树中，一般割集多于最小割在带有重复事件的故障树中，一般割集多于最小割集，需要对其进行化简。

可采用集，需要对其进行化简可采用布尔代数化简法布尔代数化简法和和矩阵矩阵排列法排列法 (1)布尔代数化简法布尔代数化简法 用逻辑运算将复杂故障树化简用逻辑运算将复杂故障树化简 (2)矩阵排列法矩阵排列法例题例题1有重复故障树有重复故障树化简后的故障树化简后的故障树例题例题2 试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故障树的最小割集，并画出其等效故障树障树的最小割集，并画出其等效故障树有重复故障树有重复故障树化简后的故障树化简后的故障树习题习题23 试用布尔代数化简法和矩阵试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故障树的最小割排列法，求下图故障树的最小割集，并画出其等效故障树集，并画出其等效故障树习题习题23 试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故障树的最小割集，并画出其等效故障树图故障树的最小割集，并画出其等效故障树4、故障树的对耦树及其最小路集、故障树的对耦树及其最小路集 一般地说，在系统可靠性设计中，要求一个一般地说，在系统可靠性设计中，要求一个系统在规定的条件下和规定的时间内能够可靠地系统在规定的条件下和规定的时间内能够可靠地工作，也就是说事件是成功的，而不希望出现的工作，也就是说事件是成功的，而不希望出现的事件是不成功事件是不成功(即故障即故障)的。

的故障故障”与与“成功成功”具有对偶的性质因此，通常每一个具有对偶的性质因此，通常每一个“故障树故障树”都可以找到与其对偶的都可以找到与其对偶的“成功树成功树” 如果将故障树中不希望发生的顶事件改为希如果将故障树中不希望发生的顶事件改为希望能做到的望能做到的“成功成功”顶事件，同时将其中的或门顶事件，同时将其中的或门改为与门，与门改为或门，再将各基本事件都用改为与门，与门改为或门，再将各基本事件都用其对偶事件来表示就可以把一棵故障树转化为其对偶事件来表示就可以把一棵故障树转化为其其对偶树对偶树(即即成功树成功树，也可以认为是故障树的补，也可以认为是故障树的补)故障树的对耦树及其最小路集故障树的对耦树及其最小路集 对偶转换的方法就是德对偶转换的方法就是德·摩根定律在可靠性问题中的摩根定律在可靠性问题中的应用原故障树中的最小割集就是其对偶树中的最小路应用原故障树中的最小割集就是其对偶树中的最小路集成功树的最小路集含义是：最小路集是一组事件的集成功树的最小路集含义是：最小路集是一组事件的组合，当这些事件全都不发生时，顶事件才不发生组合，当这些事件全都不发生时，顶事件才不发生。

最小最小”的意思是指这组事件中每一个事件的不发生对顶的意思是指这组事件中每一个事件的不发生对顶事件的不发生都是必要的事件的不发生都是必要的 成功树顶事件的表达式为：成功树顶事件的表达式为：故障树的对耦树及其最小路集故障树的对耦树及其最小路集故障树故障树成功树成功树故障树的对耦树及其最小路集故障树的对耦树及其最小路集成功树成功树故障树的对耦树及其最小路集故障树的对耦树及其最小路集故障树故障树成功树成功树成功树成功树5、顶事件概率的计算、顶事件概率的计算 一旦求得了故障树的一旦求得了故障树的最小割集或消除了割集最小割集或消除了割集中的重复事件中的重复事件，就可以估算顶事件发生的概率，，就可以估算顶事件发生的概率，对对“或门或门”的处理利用一般概率加法公式，而对的处理利用一般概率加法公式，而对“与门与门”的处理则利用概率乘法公式的处理则利用概率乘法公式 左图为消除了重复事件的故左图为消除了重复事件的故障树，底事件发生的概率为：障树，底事件发生的概率为：P(A)=0.02，，P(B)=0.05，，P(C)=0.15，且，且A、、B、、C事件事件的发生互不相容，求顶事件发生的发生互不相容，求顶事件发生的概率。

的概率顶事件概率的计算顶事件概率的计算 设左图为无重复故障树，并假定其中的全部基本事件设左图为无重复故障树，并假定其中的全部基本事件都是独立的，且都是独立的，且P(Ai)=1/4，，i=1,2,…,8，计算顶事件的概率计算顶事件的概率概率加法公式概率加法公式简化故障树和计算顶事件概率简化故障树和计算顶事件概率 求左图故障树最小割集，并假定其中的全部基本事求左图故障树最小割集，并假定其中的全部基本事件都是独立的，且件都是独立的，且P(Ai)=1/4，，i=1,2,…,46、顶事件失效的计算、顶事件失效的计算 首先给出下面四个假设条件：首先给出下面四个假设条件： (1)系统中的基本元部系统中的基本元部件是不可修复的；件是不可修复的；(2)元部件的失效率都是常数；元部件的失效率都是常数；(3)故障故障树中没有备份部件，也就是没有重复事件；树中没有备份部件，也就是没有重复事件；(4)基本失效基本失效事件是统计独立的事件是统计独立的 故障树的或门相当于可靠性中的串联设或门有故障树的或门相当于可靠性中的串联设或门有n个个输入事件，其可靠度均为指数分布，失效率为输入事件，其可靠度均为指数分布，失效率为λλi，，i=1，，2，，…，，n，则或门输出事件的可靠度，则或门输出事件的可靠度RS(t)为为顶事件失效的计算顶事件失效的计算i顶事件失效的计算顶事件失效的计算 求左图中故障树顶事件的失效率。

求左图中故障树顶事件的失效率已知系统工作到已知系统工作到t=1000h，基本事件的，基本事件的失效率为失效率为λ1=λ2=λ3=λ4=λ5=0.0001/h)7、故障树分析的优缺点、故障树分析的优缺点优点：优点： (1)通过建树的过程可以全面了解系统的组成及工作通过建树的过程可以全面了解系统的组成及工作情况，并且能专门研讨某些系统特殊的故障问题；情况，并且能专门研讨某些系统特殊的故障问题； (2)一切外部环境影响及人为失误等故障事件都可以一切外部环境影响及人为失误等故障事件都可以都虑在故障中；都虑在故障中； (3)可以利用演绎法帮助人们寻找故障原因所在；可以利用演绎法帮助人们寻找故障原因所在； (4)故障树的图示模型可以给设计、使用和维修管理故障树的图示模型可以给设计、使用和维修管理人员提供一种修改设计和故障诊断的有效工具；人员提供一种修改设计和故障诊断的有效工具； (5)故障树便于人们对系统进行定性或定量评价，且故障树便于人们对系统进行定性或定量评价，且有选择评价目标有选择评价目标(如可靠度、重要度如可靠度、重要度)和方法和方法(定性或定量定性或定量)的自由。

的自由故障树分析的优缺点故障树分析的优缺点 缺点：缺点： (1)工作量大，这是一种既不经济又费时间的分析方工作量大，这是一种既不经济又费时间的分析方法；法； (2)容易疏忽或遗漏某些有用信息，另一方面，某些容易疏忽或遗漏某些有用信息，另一方面，某些失效数据又不能充分利用；失效数据又不能充分利用； (3)得到的结果不容易检查；得到的结果不容易检查； (4)由于这种方法一般只考虑系统和元部件的成功与由于这种方法一般只考虑系统和元部件的成功与故障两种状态，对于多态事件较难处理；故障两种状态，对于多态事件较难处理； (5)处理共因故障的工作量大，对于从属和相依故障处理共因故障的工作量大，对于从属和相依故障则难以处理；则难以处理； (6)在一般条件下，对待机储备和可修系统难以分析在一般条件下，对待机储备和可修系统难以分析 求下图故障树最小割集，并假定其中的全部基本事件求下图故障树最小割集，并假定其中的全部基本事件都是独立的，且都是独立的，且P(Ai)=0.2，，i=1,2,…,4，计算顶事件的概率，计算顶事件的概率习题习题24 求下图故障树最小割集，并假定其中的全部基本事件求下图故障树最小割集，并假定其中的全部基本事件都是独立的，且都是独立的，且P(Ai)=1/4，，i=1,2,…,4，计算顶事件的概率，计算顶事件的概率习题习题25第四章第四章 系统的可靠性设计系统的可靠性设计4.1 概述概述 1、系统可靠性设计内涵、系统可靠性设计内涵 系统的可靠性设计系统的可靠性设计是指在遵循系统工程规范是指在遵循系统工程规范的基础上，在系统设计过程中，采用一些专门技的基础上，在系统设计过程中，采用一些专门技术，将可靠性术，将可靠性“设计设计”到系统中去，以满足系统到系统中去，以满足系统可靠性的要求。

可靠性的要求 系统可靠性设计技术系统可靠性设计技术是指那些适用于系统设是指那些适用于系统设计阶段，以保证和提高系统可靠性为主要目标的计阶段，以保证和提高系统可靠性为主要目标的设计技术和措施它是提高系统可靠性的行之有设计技术和措施它是提高系统可靠性的行之有效的方法效的方法2、可靠性设计的重要性、可靠性设计的重要性 可靠性设计是系统总体工程设计的重要组成部分，是可靠性设计是系统总体工程设计的重要组成部分，是为了保证系统的可靠性而进行的一系列分析与设计技术为了保证系统的可靠性而进行的一系列分析与设计技术 可靠性设计是可靠性工程的最重要的阶段表现在：可靠性设计是可靠性工程的最重要的阶段表现在： (1)设计规定了系统的固有可靠性设计规定了系统的固有可靠性如果在系统设计阶如果在系统设计阶段没有认真考虑其可靠性问题，那么以后无论怎样注意制段没有认真考虑其可靠性问题，那么以后无论怎样注意制造、严格管理、精心使用，也难以保证产品的可靠性要求造、严格管理、精心使用，也难以保证产品的可靠性要求 (2)现代科学技术的迅速发展，使同类产品之间的竞争现代科学技术的迅速发展，使同类产品之间的竞争加剧。

加剧只有在设计阶段采取措施，提高产品的可靠性，才只有在设计阶段采取措施，提高产品的可靠性，才会使企业在激烈的市场竞争中取胜，提高企业的经济效益会使企业在激烈的市场竞争中取胜，提高企业的经济效益 (3)在设计阶段采取措施，提高产品的可靠性，耗资最在设计阶段采取措施，提高产品的可靠性，耗资最少，效果最佳少，效果最佳美国的诺斯洛普公司估计，在产品的研制、美国的诺斯洛普公司估计，在产品的研制、设计阶段，为改善可靠性所花费的每一美元，将在以后的设计阶段，为改善可靠性所花费的每一美元，将在以后的使用和维修方面节省使用和维修方面节省30美元3、可靠性设计的目的、任务和要求、可靠性设计的目的、任务和要求 (1) 可靠性设计的目的和任务可靠性设计的目的和任务 可靠性设计的可靠性设计的目的目的就是在综合考虑产品的性能、可靠就是在综合考虑产品的性能、可靠性、费用和时间等因素的基础上，通过采用相应的可靠性性、费用和时间等因素的基础上，通过采用相应的可靠性设计技术，使产品在寿命周期内符合所规定的可靠性要求设计技术，使产品在寿命周期内符合所规定的可靠性要求 可靠性设计的可靠性设计的任务任务就是实现产品可靠性设计的目的，就是实现产品可靠性设计的目的，预测和预防产品所有可能发生的故障。

系统可靠性设计的预测和预防产品所有可能发生的故障系统可靠性设计的主要任务主要任务是：通过设计，基本实现系统固有可靠性是：通过设计，基本实现系统固有可靠性 可靠性设计一般有两种情况：可靠性设计一般有两种情况：一种是按照给定的目标一种是按照给定的目标要求进行设计，通常用于新产品的研制和开发；另一种是要求进行设计，通常用于新产品的研制和开发；另一种是对现有定型产品的薄弱环节，应用可靠性的设计方法加以对现有定型产品的薄弱环节，应用可靠性的设计方法加以改进、提高，达到可靠性增长的目的改进、提高，达到可靠性增长的目的 (2) 可靠性设计的基本原则可靠性设计的基本原则 在可靠性设计过程中应遵循以下原则：在可靠性设计过程中应遵循以下原则： (1)可靠性设计应有明确的可靠性指标和可靠性评估方可靠性设计应有明确的可靠性指标和可靠性评估方案；案； (2)可靠性设计必须贯穿于功能设计的各个环节，在满可靠性设计必须贯穿于功能设计的各个环节，在满足基本功能的同时，要全面考虑影响可靠性的各种因素；足基本功能的同时，要全面考虑影响可靠性的各种因素； (3)应针对故障模式应针对故障模式(即系统、部件、元器件故障或失效即系统、部件、元器件故障或失效的表现形式的表现形式)进行设计，最大限度地消除或控制产品在寿命进行设计，最大限度地消除或控制产品在寿命周期内可能出现的故障周期内可能出现的故障(失效失效)模式；模式； (4)在设计时，应在继承以往成功经验的基础上，积极在设计时，应在继承以往成功经验的基础上，积极采用先进的设计原理和可靠性设计技术。

采用先进的设计原理和可靠性设计技术 (5)在进行产品可靠性的设计时，应对产品的性能、可在进行产品可靠性的设计时，应对产品的性能、可靠性、费用、时间等各方面因素进行权衡，以便作出最佳设靠性、费用、时间等各方面因素进行权衡，以便作出最佳设计方案 (3) 可靠性要求可靠性要求 可靠性要求是进行可靠性设计、分析、制造、试验、验可靠性要求是进行可靠性设计、分析、制造、试验、验收的依据可靠性要求分为定量要求和定性要求两种收的依据可靠性要求分为定量要求和定性要求两种 ＊可靠性的定量要求：＊可靠性的定量要求：可靠性的定量要求是指选择和确可靠性的定量要求是指选择和确定产品的可靠性参数、指标以及验证方法，以便在设计、生定产品的可靠性参数、指标以及验证方法，以便在设计、生产、试验验证和使用过程中用量化的方法来评价或验证产品产、试验验证和使用过程中用量化的方法来评价或验证产品的可靠性水平的可靠性水平 ＊可靠性的定性要求：＊可靠性的定性要求：可靠性的定性要求是指用一种非可靠性的定性要求是指用一种非量化的形式来设计、评价，以保证产品的可靠性可靠性定量化的形式来设计、评价，以保证产品的可靠性。

可靠性定性要求可分为定性设计要求和定性分析要求两种性要求可分为定性设计要求和定性分析要求两种 ①①定性设计要求：所谓定性设计是为满足产品的可靠性定性设计要求：所谓定性设计是为满足产品的可靠性要求而完成的一组可靠性设计要求而完成的一组可靠性设计 ②②定性分析要求定性分析要求(产品功能、故障模式、故障树、区域产品功能、故障模式、故障树、区域性安全等性安全等) (4) 可靠性设计内容可靠性设计内容 可靠性设计的主要内容概括起来可以有以下几个方面：可靠性设计的主要内容概括起来可以有以下几个方面： (1)建立可靠性模型，进行可靠性指标的预计和分配建立可靠性模型，进行可靠性指标的预计和分配要进行可靠性预计和分配，首先应建立产品的可靠性模型要进行可靠性预计和分配，首先应建立产品的可靠性模型而为了选择方案、预测产品的可靠性水平、找出薄弱环节，而为了选择方案、预测产品的可靠性水平、找出薄弱环节， 以及逐步合理地将可靠性指标分配到产品的各个层次上去，以及逐步合理地将可靠性指标分配到产品的各个层次上去，就应在产品的设计阶段，反复多次地进行可靠性指标的预计就应在产品的设计阶段，反复多次地进行可靠性指标的预计和分配。

和分配 (2)进行各种可靠性分析进行各种可靠性分析诸如故障模式影响及危害度诸如故障模式影响及危害度分析、故障树分析等以发现和确定薄弱环节，在发现了隐分析、故障树分析等以发现和确定薄弱环节，在发现了隐患后通过改进设计，从而消除隐患和薄弱环节患后通过改进设计，从而消除隐患和薄弱环节 (3)采取各种有效的可靠性设计方法采取各种有效的可靠性设计方法把可靠性设计方把可靠性设计方法和产品的性能设计工作结合起来，减少产品故障的发生，法和产品的性能设计工作结合起来，减少产品故障的发生，最终实现可靠性的要求最终实现可靠性的要求4.2 可靠性模型可靠性模型 4.2.1 可靠性模型内涵可靠性模型内涵 系统的可靠性模型系统的可靠性模型是指系统的是指系统的可靠性结构模型可靠性结构模型(也称为也称为可靠性方框图可靠性方框图)及其及其数学模型数学模型它是从可靠性角度表示系统它是从可靠性角度表示系统各单元、元件之间的逻辑关系的各单元、元件之间的逻辑关系的“概念概念”模型所谓可靠模型所谓可靠性结构模型是将系统各单元之间的可靠性逻辑关系用框图性结构模型是将系统各单元之间的可靠性逻辑关系用框图来表示的一种模型，而可靠性数学模型是对可靠性框图表来表示的一种模型，而可靠性数学模型是对可靠性框图表示的逻辑关系的数学描述。

示的逻辑关系的数学描述 在进行设计时，首先要根据设计任务要求，分析系统在进行设计时，首先要根据设计任务要求，分析系统的工作原理、环境条件；各部分、单元、元器件失效对产的工作原理、环境条件；各部分、单元、元器件失效对产品的影响；分析产品各组成部分的功能与可靠性之间的依品的影响；分析产品各组成部分的功能与可靠性之间的依存关系等，构思出原理图，并画出可靠性逻辑框图，建立存关系等，构思出原理图，并画出可靠性逻辑框图，建立数学模型，以便进行可靠性预计、分配和定量的估计数学模型，以便进行可靠性预计、分配和定量的估计可靠性模型可靠性模型 建立可靠性模型的一般步骤建立可靠性模型的一般步骤如下：如下： (1)确定产品的有关定义确定任务功能，规定性能参确定产品的有关定义确定任务功能，规定性能参数，建立相应的任务可靠性框图和建立故障标准；数，建立相应的任务可靠性框图和建立故障标准； (2)按照产品各部分的功能关系建立功能框图；按照产品各部分的功能关系建立功能框图； (3)在功能框图的基础上，经过分析，确定各部分之间在功能框图的基础上，经过分析，确定各部分之间的可靠性逻辑关系，建立的可靠性逻辑关系，建立可靠性结构模型可靠性结构模型；； (4)根据可靠性结构模型建立相应的根据可靠性结构模型建立相应的数学模型数学模型。

 4.2.2 基本可靠性模型和任务可靠性模型基本可靠性模型和任务可靠性模型 1、基本概念、基本概念 基本可靠性模型基本可靠性模型是用来估计由于系统的故障而引起对是用来估计由于系统的故障而引起对维修和后勤保障的要求系统中的一切功能单元维修和后勤保障的要求系统中的一切功能单元(包括非储包括非储备的和储备的备的和储备的)均构成串联模型均构成串联模型也就是储备单元越多，系也就是储备单元越多，系统的基本可靠性就越低统的基本可靠性就越低 任务可靠性模型任务可靠性模型是用来估计系统在执行任务的过程中，是用来估计系统在执行任务的过程中，完成其规定功能的能力完成其规定功能的能力系统储备单元越多，其任务可靠系统储备单元越多，其任务可靠性就越高性就越高 在进行设计时，要求在进行设计时，要求同时建立基本可靠性模型与任务同时建立基本可靠性模型与任务可靠性模型的目的可靠性模型的目的在于，需要在人力、物力、费用和任务在于，需要在人力、物力、费用和任务之间进行权衡，即对产品从成本与经济效益方面进行优化之间进行权衡，即对产品从成本与经济效益方面进行优化。

 2、任务可靠性模型的建立、任务可靠性模型的建立 为了建立任务可靠性模型，必须确定：为了建立任务可靠性模型，必须确定： (1)确定任务及任务剖面确定任务及任务剖面 复杂的系统往往是多功能的一种产品可以完成不同复杂的系统往往是多功能的一种产品可以完成不同的任务，如收录机可以完成收音、录音、放音等任务的任务，如收录机可以完成收音、录音、放音等任务 任务剖面是对任务剖面是对“某特定任务从开始到完成这段时间内某特定任务从开始到完成这段时间内发生的事件和所处的环境的描述发生的事件和所处的环境的描述”如作战飞机可分为航如作战飞机可分为航行剖面、起落剖面、作战剖面等行剖面、起落剖面、作战剖面等 (2)确定是否有代替的工作模式确定是否有代替的工作模式(如旁联模型等如旁联模型等) (3)建立和规定系统的性能参数及允许极限建立和规定系统的性能参数及允许极限(如产品的输如产品的输出功率出功率) (4)确定环境条件确定环境条件(不同产品有不同的使用环境不同产品有不同的使用环境) 任务可靠性模型的建立任务可靠性模型的建立 为了建立任务可靠性模型，必须确定：为了建立任务可靠性模型，必须确定： (5)确定任务模型确定任务模型 系统往往有多种功能，与此同时完成多种任务。

系统往往有多种功能，与此同时完成多种任务 (6)确定共因故障确定共因故障 共因故障是由于某种共同的原因而导致系统的故障共因故障是由于某种共同的原因而导致系统的故障 (7)确定相关故障确定相关故障 各单元的故障间往往是相关的，一个元件破坏，另一各单元的故障间往往是相关的，一个元件破坏，另一个元件承受破坏元件的载荷个元件承受破坏元件的载荷 (8)确定不同故障模式对产品或系统可靠性的影响确定不同故障模式对产品或系统可靠性的影响  分系统分系统可靠性计算方法可靠性计算方法 系统往往有多种功能，一些功能使用时，另一功能不系统往往有多种功能，一些功能使用时，另一功能不使用，即系统各分部件存在占空因素考虑占空因素可按使用，即系统各分部件存在占空因素考虑占空因素可按下列两种情况进行分析：下列两种情况进行分析：  共因故障可靠性计算方法共因故障可靠性计算方法—β因子法因子法 将故障原因分为两种，一种是完全由于独立原因引起将故障原因分为两种，一种是完全由于独立原因引起的故障，设其故障率为的故障，设其故障率为λ1，另一种是共同原因引起的故障，，另一种是共同原因引起的故障，设其故障率为设其故障率为λ2 ，则其故障率，则其故障率λ为：为： 共因故障可靠性计算方法共因故障可靠性计算方法—β因子法因子法 对于两个相同部件组成的并联系统，考虑共因故障时，对于两个相同部件组成的并联系统，考虑共因故障时，可靠性框图如下图所示。

设元件寿命服从指数分布，故障可靠性框图如下图所示设元件寿命服从指数分布，故障率为率为λ1，共因故障因子为，共因故障因子为β，可对系统进行可靠性分析：，可对系统进行可靠性分析： 共因故障可靠性计算方法共因故障可靠性计算方法—β因子法因子法 结论：考虑共因故障，系统可靠性降低结论：考虑共因故障，系统可靠性降低 β越高，系统可越高，系统可靠性降低越大靠性降低越大 考虑相关故障系统平均寿命计算方法考虑相关故障系统平均寿命计算方法 系统各单元的故障间往往是相关的由两个相同单元系统各单元的故障间往往是相关的由两个相同单元(A，，B)组成的并联系统，当组成的并联系统，当A、、B均为正常时，各承受一半均为正常时，各承受一半负载负载(L/2)若其中某个单元发生了故障，则另一单元必须若其中某个单元发生了故障，则另一单元必须承受全部负载承受全部负载(L)如果故障率与应力状态有关，则一个单如果故障率与应力状态有关，则一个单元的故障率就与另一个单元发生故障与否有关元的故障率就与另一个单元发生故障与否有关相同单元组成的并联系统相同单元组成的并联系统 考虑相关故障系统平均寿命计算方法考虑相关故障系统平均寿命计算方法 K=1就是并联系统的平均就是并联系统的平均寿命。

寿命 由于一般情况下由于一般情况下K>1，所，所以以系统在考虑了相关故障之后，系统在考虑了相关故障之后，系统的平均寿命通常会减少，系统的平均寿命通常会减少，可靠性也通常降低可靠性也通常降低相同单元组成的并联系统相同单元组成的并联系统 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 当考虑了两种故障模式当考虑了两种故障模式(如短路或断路如短路或断路)，若不，若不采取适当的防护措施，则某种故障模式可能会影采取适当的防护措施，则某种故障模式可能会影响工作单元例如串联电路中，断路模式可能会响工作单元例如串联电路中，断路模式可能会使工作单元不工作，而并联电路中，短路模式会使工作单元不工作，而并联电路中，短路模式会使工作单元不工作使工作单元不工作 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式的并联系统，当每个单元都相同，不同考虑不同故障模式的并联系统，当每个单元都相同，不同p0，不同，不同Ps时，系统可靠度模拟分析：时，系统可靠度模拟分析：考虑故障模式影响时，并联考虑故障模式影响时，并联单元个数与系统可靠度规律单元个数与系统可靠度规律结论：结论：系统中引系统中引入短路和断路模入短路和断路模式后，增加并联式后，增加并联单元可能会降低单元可能会降低系统的可靠度。

系统的可靠度3 典型的系统可靠性模型典型的系统可靠性模型 典型系统的可靠性模型有串联结构、并联结构、串并典型系统的可靠性模型有串联结构、并联结构、串并混合结构、表决及复杂结构等多种类型混合结构、表决及复杂结构等多种类型串并联基本模型的对偶性串并联基本模型的对偶性 串联模型和并联模型是两种最基本的可靠性模型可串联模型和并联模型是两种最基本的可靠性模型可以看出，串联系统和并联系统恰好构成一个互逆的关系，以看出，串联系统和并联系统恰好构成一个互逆的关系，也称为相互对偶性也称为相互对偶性例题：复杂结构可靠性分析例题：复杂结构可靠性分析 已知下图中各部件可靠度均为已知下图中各部件可靠度均为R0=0.9，用全概率分解，用全概率分解法求系统的可靠度法求系统的可靠度 全概率公式全概率公式4.3 可靠性指标分配可靠性指标分配 4.2.1 概述概述 可靠性指标分配是可靠性设计中不可缺少的一部分，可靠性指标分配是可靠性设计中不可缺少的一部分，也是可靠性工程的决策性问题它使工程技术人员明确自也是可靠性工程的决策性问题它使工程技术人员明确自己所负责设计的产品应该达到的可靠性指标并从一开始设己所负责设计的产品应该达到的可靠性指标并从一开始设计就应将相应的保证产品可靠性指标的措施计就应将相应的保证产品可靠性指标的措施“设计设计”到产到产品中去。

品中去 1、可靠性指标分配的定义、目的、可靠性指标分配的定义、目的 可靠性指标分配是指根据系统设计任务书中规定的可可靠性指标分配是指根据系统设计任务书中规定的可靠性指标靠性指标(经过论证和确定的可靠性指标经过论证和确定的可靠性指标)，按照一定的分，按照一定的分配原则和分配方法，合理的分配给组成该系统的各分系统、配原则和分配方法，合理的分配给组成该系统的各分系统、设备、单元和元器件，并将它们写入相应的设计任务书或设备、单元和元器件，并将它们写入相应的设计任务书或经济技术合同中经济技术合同中  可靠性指标分配的目的可靠性指标分配的目的 可靠性指标分配的目的就是使各级设计人员明确产可靠性指标分配的目的就是使各级设计人员明确产品可靠性设计的要求，将产品的可靠性定量要求分配到品可靠性设计的要求，将产品的可靠性定量要求分配到规定的层次中去，通过定量分配，使整体和部分的可靠规定的层次中去，通过定量分配，使整体和部分的可靠性定量要求协调一致并把设计指标落实到产品相应层性定量要求协调一致并把设计指标落实到产品相应层次的设计人员身上，用这种定量分配的可靠性要求估计次的设计人员身上，用这种定量分配的可靠性要求估计所需的人力、时间和资源，以保证可靠性指标的实现。

所需的人力、时间和资源，以保证可靠性指标的实现 可靠性指标分配实质可靠性指标分配实质 2、可靠性指标分配准则、可靠性指标分配准则 如果对分配没有任何约束条件，上式有无数个解在进行可靠性如果对分配没有任何约束条件，上式有无数个解在进行可靠性分配时需遵循下面几条准则，通过一定的约束实现唯一解或有限解：分配时需遵循下面几条准则，通过一定的约束实现唯一解或有限解： (1)对于复杂度高的分系统、设备等，应分配较低的可靠性指标对于复杂度高的分系统、设备等，应分配较低的可靠性指标因为产品越复杂，其组成单元就越多，要达到高可靠性就越困难并且因为产品越复杂，其组成单元就越多，要达到高可靠性就越困难并且更为费钱更为费钱 (2)对于技术上不成熟的产品，分配较低的可靠性指标对于这种对于技术上不成熟的产品，分配较低的可靠性指标对于这种产品提出高可靠性要求会延长研制时间，增加研制费用产品提出高可靠性要求会延长研制时间，增加研制费用 (3)对于处于恶劣环境条件下工作的产品，应分配较低的可靠性指对于处于恶劣环境条件下工作的产品，应分配较低的可靠性指标。

因为恶劣的环境会增加产品的故障率因为恶劣的环境会增加产品的故障率 (4)对于需要长期工作的产品，分配较低的可靠性指标因为产品对于需要长期工作的产品，分配较低的可靠性指标因为产品的可靠性随着工作时间的增加而降低的可靠性随着工作时间的增加而降低 (5)对于重要度高的产品，应分配较高的可靠性指标因为重要度对于重要度高的产品，应分配较高的可靠性指标因为重要度高的产品的故障会影响人身安全或重要任务的完成高的产品的故障会影响人身安全或重要任务的完成4.2.2 可靠性指标分配方法可靠性指标分配方法 可靠性分配方法有：等分配法、可靠性分配方法有：等分配法、AGREE分配法、评分分配法、评分分配法、工程加权分配法、比例组合法、可靠度再分配法、分配法、工程加权分配法、比例组合法、可靠度再分配法、系统失效率再分配法、成本最小分配法等系统失效率再分配法、成本最小分配法等 1、等分配法、等分配法 为了使系统达到规定的可靠度水平，不考虑各单元的为了使系统达到规定的可靠度水平，不考虑各单元的重要度因素而给各单元分配相等的可靠度，这种分配法称重要度因素而给各单元分配相等的可靠度，这种分配法称为等分配法。

设由为等分配法设由n个单元组成的串联系统，则系统的预计个单元组成的串联系统，则系统的预计可靠度为：可靠度为： 这个方法是美国电子设备可靠性顾问团这个方法是美国电子设备可靠性顾问团(AGREE)提出提出来的该方法是以分系统、单元对系统的重要性和分系统、来的该方法是以分系统、单元对系统的重要性和分系统、单元的相对复杂性为基础来进行可靠性指标分配的单元的相对复杂性为基础来进行可靠性指标分配的 所谓重要度是指某个单元发生故障时对系统可靠性的影所谓重要度是指某个单元发生故障时对系统可靠性的影响程度，用响程度，用Wi表示：表示：2、、AGREE分配法分配法 重要度重要度Wi大的单元分配到的可靠性指标应该高一些，大的单元分配到的可靠性指标应该高一些，复杂度复杂度Ki大的单元，由于包括的元器件数量多，实现较高大的单元，由于包括的元器件数量多，实现较高的可靠性指标困难，分配到的可靠性指标值应低一些的可靠性指标困难，分配到的可靠性指标值应低一些系系统失效率分配如下：统失效率分配如下：AGREE分配法分配法 这种方法适合在考虑优化设计的条件下使用在产品这种方法适合在考虑优化设计的条件下使用。

在产品研制过程中，如何既能保证产品可靠性总指标的分配，又研制过程中，如何既能保证产品可靠性总指标的分配，又能实现总的研制成本最小，这是可靠性设计中要解决的最能实现总的研制成本最小，这是可靠性设计中要解决的最关键的、也是最实际的问题关键的、也是最实际的问题 使用这种方法时，首先要从统计资料的分析着手，建使用这种方法时，首先要从统计资料的分析着手，建立分系统立分系统(或单元或单元)可靠性与研制成本的关系设可靠性与研制成本的关系设x表示研制表示研制成本，成本，Ri表示分系统的可靠性，表示分系统的可靠性，Rs表示系统的可靠性，表示系统的可靠性，n表表 示分系统的数目，有下式成立：示分系统的数目，有下式成立：3、成本最小分配法、成本最小分配法成本最小分配法成本最小分配法例题例题。