高中课件 指数函数与对数函数.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,立德树人 和谐发展,第四章 指数函数与对数函数,4.,5,.,2,用二分法求方程的近似解,函数的零点与方程的解,【,导学,】,如何求二次方程 的实数根？,【,答,】,由根的判别式 得：,对于一个一般的函数，也可以这么算吗？它们有什么异同点？,函数的零点与方程的解,【,函数零点的定义,】,与二次函数的零点一样，对于一般函数 ，我们把使得,的实数 叫做函数 的,零点,.,这样，函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函,数 的图像与 轴的交点的横坐标,.,所以：,方程 有实数解,函数 有零点,函数 的图像与 轴有交点,函数的零点与方程的解,【,零点的定义给出了求解函数零点的基本方法,】,(1),代数法：,若方程 可解，其实数根就是函数 的零点,.,(2),几何法：,若方程 难以直接求解，将其改为 ，,进一步改为 ，在同一坐标系中分别画出两个函数,和 的图像，两图像交点的横坐标就,是函数 的零点,.,.,零点存在定理,【,实例分析,】,以二次函数 为例，我们知道求函数,的零点，其实就是求方程 的实数解,.,可以发现，在零点附近，函数的图像是连续不断的，,并且穿过 轴,.,函数在端点 和 时的取值,异号，即 ，于是函数在区间,(2,4),内有零点；,同样的，函数在区间,(-2,，,0),内有零点,.,一般地，如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，,且有 ，那么函数在区间 内至少有一个零点,.,即存在,使得 ，这个,t,也就是方程 的解,.,这就是,零点存在定理,.,零点存在定理,若 的图像在 上是不连续的，则 在,上没有零点,.,那可不一定,.,下面这个函数在,(-1,，,3),上照样有零点！,函数 的图像在区间,上是连续的，但 则,在 上没有零点,.,这也不一定,.,下面这个函数,，但函数在,上有零点！,零点存在定理,【,理解函数零点存在定理需要注意的问题,】,【1】,函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线,.,，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立,.,【2】,满足上述条件，则函数 的图像至少穿过 轴一次，即在区间,上函数 至少有一个零点，但是不确定到底有几个,.,【3】,该定理是一个充分不必要条件,.,反过来，若函数 在区间,上有零点，则不一定有 成立,.,零点存在定理,【,常见函数的零点,】,一个零点,无零点,两个零点,一个零点,无零点,无零点,一个零点,1,一个零点,0,无零点,受第九号台风,“,利奇马,”,影响，八月十日夜间到十一日夜间滕州出现了暴雨并伴有大风天气，造成了荆河中路一段长,2,千米的电路发生了故障如果你是一名维修工人如何迅速查出故障所在点？,?,设出现故障线路的起点和终点分别为,A,B,A,(,起点,),这样每查一次,就可以把故障点所在的范围,缩减一半,C,B,（终点）,D,E,取中点,这种解决问题的方法，就是,二分法,.,4.5.2用二分法求方程的近似解,问题1：你能求出下列方程的解吗？,无法利用公式求出精确值,其实大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解。

在实际问题中，往往只需要求出满足一定精确度的近似解我们已经知道，函数f(x)=ln x+2x-6在区间（2，3）内有零点.,问题,2,：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？,零点所在区间,区间端点函数值符号,中点值,中点函数值符号,（,2,，,3,）,f(2)0,2.5,f(2.5)0,（,2.5,，,3,）,f(2.5)0,2.75,f(2.75)0,（,2.5,，,2.75,）,f(2.5)0,2.625,f(2.625)0,（,2.5,，,2.625,）,f(2.5)0,2.562 5,f(2.562 5)0,（,2.531 25,，,2.562 5,）,f(2.5)0,（,2.5,，,2.562 5,）,f(2.531 25)0,f(2.531 25)0,f(2.531 25)0,（,2.531 25,，,2.539 062 5,）,f(2.546 875)0,f(2.531 25)0,列出下表：,问题,3,：,如若要求精确度为,0.01,，怎么找零点？,怎样才算达到精确度了呢？,由于,一般地，称,为区间,的中点,.,所以，可以将,作为函数,零点的近似值，也即方程,的近似根,.,注意精确度,像上面这种求方程近似解的方法称为,二分法,，它是求一元,方程近似解,的常用方法,.,二分法的定义：,对于在区间,a,b,上,_,且,f(a)f(b)0,的函数,y=f(x),通过不断地把函数,f(x),的零点所在,的区间,_,，使区间的两个端点逐步逼近,_,，进而得到零点近似值的方法叫做,二分法,（,bisection,）,.,连续不断,一分为二,零点,前提条件,利用二分法求方程的近似解,【,问题,】,二分法的理论依据是什么？,【,答,】,二分法的理论依据是零点存在定理，,仅适用于函数的变号零点,(,函数图,像通过零点时函数值的符号改变,),二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是,逐步逼近函数的零点,.,要根据函数的性质尽可能的找到含有零点的更小,的区间，当区间的长度小到一定程度时，就可以取得可以解决实际问题,近似值,.,【,步骤口诀,】,定区间，找中点，中间计算两边看；,同号去，异号算，零点落在异号间；,周而复始怎么办？精确度上来判断！,思考,1,：利用二分法求函数,y=f(x),的零点近似值第一步应做什么？,思考,2,：为了缩小零点所在的区间的范围，接下来应做什么？,思考,3,：,若,f(c)=0,说明什么？若,f(a),f(c)0,或,f(c),f(b)0,则分别说明什么？,思考,4,：,如果给定精确度 ，如何选取零点近似值,问题,4:,你能归纳出“给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗,?,1.,确定零点,x,0,的初始,区间,，验证,2.,求区间（,a,b,）的中点,c.,3.,计算 ，,并进一步确定零点所在的区间,（,1,）若 ，则,c,就是函数的零点,.,（,2,）若,(,此时零点,x,0,(a,c),，则,令,b=c,.,（,3,）若 （此时零点,x,0,(c,b),则令,a=c,.,即若 ，则得到零点近似值,a(,或,b,）；,4.,判断是否达到精确度 ：,否则重复步骤,2,4,给定精确度,二分法求函数,f(x),的零点近似值的步骤,：,由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解。

例,1.,借助计算器或计算机用二分法求方程,的近似解（精确度,0.1,）,.,方程可化为,2,x,+3x,-,7,=0,，转化为求函数,f(x)=2,x,+3x-7,零点，,可根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值,.,【,解题思路,】,【,解析,】,原方程即,2,x,+3x-7=0,，令,f(x)=2,x,+3x-7,，用计算器或计算机作出函数,f(x)=2,x,+3x-7,的对应值表和图象如下：,273,142,75,40,21,10,3,-2,-6,f(x),8,7,6,5,4,3,2,1,0,x,因为,f(1)0,所以,f(x)=2,x,+3x-7,在区间（,1,，,2,）,内有零点,x,0,取区间（,1,，,2,）的中点,x,1,=1.5,，,f(1.5),0.33,，因为,f(1)f(1.5)0,，,所以,x,0,（,1,，,1.5,）,取区间（,1,，,1.5,）的中点,x,2,=1.25,f(1.25)-0.87,，因为,f(1.25)f(1.5)0,，,所以,x,0,（,1.25,，,1.5,）,同理可得，,x,0,（,1.375,，,1.5,），,x,0,（,1.375,，,1.437 5,），,由于,|1.375-1.437 5|=0.062 50.1,所以，原方程的近似解可取为,1.437 5.,判断方程,lg x=3-x,解的个数，并说明理由，若有解，用二分法求其近似解,.,（精确度,0.1,）,.,解：,画出,g(x)=lgx,及,h(x)=3-x,的图象，观察图象得，方程,lgx=3-x,有唯一解，记为,x,1,，,设,f(x)=lgx+x-3,y,1,3,3,x,o,【,变式练习,】,g(x)=lgx,h(x)=3-x,因为f(x)在定义域内为增函数且f(2)0,所以f(x)在（2,3）有唯一零点，方程,lg x=3-x有唯一解,且这个解在区间（,2,，,3,）内,.,因为,|2.625-2.562 5|=0.062 50.1,，所以可以将,x=2.625,作为原方程的一个近似解,.,根所在区间,区间端点函数值符号,中点值,中点函数值符号,（,2,，,3,）,f(2)0,2.5,f(2.5)0,（,2.5,，,3,）,f(2.5)0,2.75,f(2.75)0,（,2.5,，,2.75,）,f(2.5)0,2.625,f(2.625)0,（,2.5,，,2.625,）,f(2.5)0,2.562 5,f(2.562 5)0,（,2.562 5,，,2.625,）,f(2.562 5)0,列出下表：,用二分法求方程,f(x)=0,（或,g(x)=h(x),）近似解寻找解所在区间的方法：,（,1,）图象法,:,先画出,y=f(x),的图象，观察图象与,x,轴的交点横坐标所处的范围；或画出,y=g(x),和,y=h(x),的图象,观察两图象的交点横坐标所处的范围,.,（,2,）函数法,:,把方程均转换为,f(x)=0,的形式，再利用函数,y=f(x),的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间,.,【,提升总结,】,由上可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤。

因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成课本146页图4.5-5给出了用二分法求方程近似解过程的程序框图，有兴趣的同学，可以在此基础上用算法语言编写计算机程序，让计算机来求方程的近似解二分法,定义,求函数零点近似值的步骤,三种思想,逼近思想,函数思想,数形结合,思想,定区间，找中点，中值计算两边看,.,同号去，异号算，零点落在异号间,.,周而复始怎么办,?,精确度上来判断,.,口,诀,求函数零点个数的四种方法,【,方程法,】,求方程 的实数根,.,【,图像法,】,对于不能用公式法求根的方程或者不易求出实数根的方程，可以将它与,对应的函数图像联系起来，并利用函数的性质找出零点，对于不易画出,图像的函数，可以转化为 ，分别画出 和,的图像，看两图像有几个交点,.,【,奇偶性,】,结合函数的奇偶性，因为奇函数和偶函数的图像都有对称性，存在奇偶,性的函数的零点是成对出现的,(0,除外,).,【,存在定理,】,若 ，函数 的图像在 上是一条连续不断的曲线,且单调，则函数在 内只有一个零点；如果函数连续不断但不单调，,那么在 内至少有一个零点,.,对于 三个函数，定义域都是,R,，且在定义域内为单,调增函数，所以都可以用二分法求零点近似值,.,【1】,下列函数都可以用二分法求零点近似值吗，为什么？,【,解,】,对于,(2),，作出图像如图：,易知函数只有一个不变号零点，故无法用二分法,求零点近似值,.,随堂练习,1.,某同学用二分法求方程,3,x,+3x-8=0,在x（1，2）内近似解的过程中，设,f(x)=3,x,+3x-8,，且计算f（1）0，f（1.5）0，则该同学在第二次应计算的函数值为,（）,Af（0.5）Bf（1.125）,Cf（1.25）Df（1.75）,C,解：f（1）0，f（1.5）0，,在区间（1，1.5）内函数f（x）3,x,+3x8存在一个零点,该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C,随堂练习,2.,下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(),A B C D,D,解：根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D,随堂练习,3用二分法求函数,。