2015年天津市高考数学试卷及解析（理科）.doc

2015年天津市高考数学试卷（理科）　一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（　　）A、{2，5} B、{3，6} C、{2，5，6} D、{2，3，5，6，8}2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（　　）A、3 B、4 C、18 D、403、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）A、﹣10 B、6 C、14 D、184、（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件5、（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（　　）A、 B、3 C、 D、6、（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）A、﹣=1 B、﹣=1C、﹣=1 D、﹣=17、（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜a＜b D、c＜b＜a8、（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）A、（，+∞） B、（﹣∞，） C、（0，） D、（，2）　二.填空题（每小题5分，共30分）9、（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为　 　、10、（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　 　m3、11、（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为　 　、12、（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为　 　、13、（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为　 　、14、（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60、动点E和F分别段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为　 　、　三.解答题（本大题共6小题，共80分）15、（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R、（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值、16、（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛、（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望、17、（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点、（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长、18、（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{an}的通项公式；（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和、19、（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=、（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围、20、（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2、（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2、参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（　　）A、{2，5} B、{3，6} C、{2，5，6} D、{2，3，5，6，8}题目分析：由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；试题解答解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁UB={2，5，8}，则A∩∁UB={2，5}、故选：A、点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键、　2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（　　）A、3 B、4 C、18 D、40题目分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值、试题解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）、由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大、由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=36=18、即z=x+6y的最大值为18、故选：C、点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法、　3、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）A、﹣10 B、6 C、14 D、18题目分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6、试题解答解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6、故选：B、点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题、　4、（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题目分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可、试题解答解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础、　5、（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（　　）A、 B、3 C、 D、题目分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可、试题解答解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴24=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3NE=42，∴NE=、故选：A、点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础、　6、（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）A、﹣=1 B、﹣=1C、﹣=1 D、﹣=1题目分析：由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程、试题解答解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为、故选：B、点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题、　7、（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜a＜b D、c＜b＜a题目分析：根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小、试题解答解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b、故选：C、点评：考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小、对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用、　8、（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）A、（，+∞） B、（﹣∞，） C、（0，） D、（，2）题目分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可、试题解答解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8、即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时。