第29届CMO试题2022.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑第29届CMO试题2022 2022年中国数学奥林匹克试题 第一天 2022年12月30日 8:00-12:30 重庆 ,n?，那么 1. 给定实数r??0,1?，证明：若n个复数z1,z2,,zn得志zk?1?r?k?1,2,111z1?z2??zn?????n2?1?r2?． z1z2zn 2. 如图，设A,B,D,E,F,C依次是一个圆上的六个点，得志AB?AC．直线AD与BE交于点P，直线AF与CE交于点R，直线BF与CD交于点Q，直线AD与BF交于点S，直线AF与CD交于T．点K在 SKPQ?线段ST上，使得?SKQ??ACE．求证：． A KTQR B C S T K R P Q 3. 给定整数n?5．求最小的整数m，使得存在两个由整数构成的集合A,B，同时得志： （1）A?n，B?m，且A?B； （2）对B中任意两个不同的元素x,y有x?y?B当且仅当x,y?A． 第 1 页 共 2 页 F E D 其次天 2022年12月31日 8:00-12:30 重庆 n 4. 求具有下述性质的全体整数k：存在无穷多个正整数n，使得n?k不整除C2n． 5. 某次会议共有30人加入，其中每个人在其余人中至多有5个熟人；任意5个人中存在两人不是熟人．求 最大的正整数k，使得得志上述条件的30个人中总存在k个人，两两不是熟人． 6. 设非负整数的无穷数列a1,a2,2k2m得志：对任意正整数m,n均有?ain?m． i?1证明：存在正整数k,d，得志?aid?k?2022． i?1 第 2 页 共 2 页 — 2 —。