
高中数学选修2-3教学课件:贝叶斯公式和全概率.ppt
14页5 全概率公式与贝叶斯公式,1.5.1 全概率公式,1.5.2 贝叶斯公式,1.5.1 全概率公式,引例:设甲盒有3个白球,2个红球,乙盒有4个白球,1个红球,现从甲盒任取2球放入乙盒,再从乙盒任取2球,求从乙盒取出2个红球的概率 影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么?,解 设A1从甲盒取出个红球; A2 从甲盒取出个白球; A3从甲盒取出1个白球1个红球 ;B=从乙盒取出个红球; 则 A1, A2, A3 两两互斥,且A1A2A3 , 所以 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B|A3),思考:这种解法是否可一般化?,定义1 设事件1,2,,n为样本空间的一组事件 如果,(1) Ai Aj= (ij);,则称1,2,,n为样本空间的一个划分1. 完备事件组(样本空间的一个划分),(2),,例如上例中的 1从甲盒取出个白球, 2从甲盒取出个红球, 3从甲盒取出1个白球1个红球, 就构成了一个完备事件组。
1.5.1 全概率公式,2. 全概率公式,定理 设试验的样本空间为,设事件A1,A2,,An为 样本空间的一个划分,且P(i)0 (i =1,2, ,n) 则对任意事件B,有,B,证明 因为Ai Aj = (ij),按概率的可加性及乘法公式有,例 设袋中有12个乒乓球,9个新球,3个旧球第一次比赛取3球,比赛后放回,第二次比赛再任取3球,求第二次比赛取得3个新球的概率,3. 全概率公式的应用,如果试验E有两个相关的试验E1,E2复合而成,E1有若干种可能的结果,E2在E1的基础上也有若干种可能的结果,如果求和E2的结果有关事件的概率,可以用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了完备事件组,解 Ai=第一次比赛恰取出i个新球(i=0, 1, 2, 3 ); B=求第二次比赛取得3个新球 显然A0, A1, A2, A3构成一个完备事件组,由全概率公式得:,例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为B1,B2,B3,B4,则它们构成样本空间的一个划分,,用A表示在这批种子中任选一颗,且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件,则由全概率公式,练习1 有朋自远方来,乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0;求他迟到的概率,解 设A1他乘火车来,A2他乘船来,A3他乘汽车来, A4他乘飞机来,B他迟到 易见:A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组,由全概率公式得,=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40 =0.145练习2 两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,问是合格品的概率为多少?,解 令B=取到的零件为合格品,Ai=零件为第i台机床的产品, i=1, 2. 此时, 全部的零件构成样本空间,A1, A2构成的一个划分由全概率公式得:,1.5.2 贝叶斯公式,1. 引例 设甲盒有3个白球,2个红球,乙盒有4个白球,1个红球,现从甲盒任取2球放入乙盒,再从乙盒任取两球,求 (1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球,求从甲盒取出两个红球的概率。
解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球,A2=从甲盒取出2个白球; A3从甲盒取出1个白球1个红球 ;B=从乙盒取出2个红球; 则A1, A2, A3 两两互斥,且A1+A2+A3=, 所以 P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),(2) P(A1|B),2. 贝叶斯公式,定理 设A1,A2,,An为样本空间的一个划分,且 P(Ai)0(i=1,2,,n),则对于任何一事件B ( P(B)0), 有,于是 (j=1,2,,n)事实上,由条件概率的定义及全概率公式,3. 贝叶斯公式的应用,(1) 如果试验E有两个相关的试验E1,E2复合而成,E1有若干种可能的结果,E2在E1的基础上也有若干种可能的结果,如果已知和E2的结果有关某事件发生了,求和试验E1的结果有关事件的概率,可以用贝叶斯公式试验E1的几种可能的结果就构成了完备事件组 (2) 如果把样本空间的一个划分A1, A2, , An看作是导致事件B发生的各种原因,如果B发生了,求P(Aj|B)可以用贝叶斯公式例2 一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率,于是,由全概率公式得,由贝叶斯公式得,解 记Ai=该学生第i次考试及格,i=1,2显然 为样本空间的一个划分,且已知,例3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法,97%的患者检验结果为阳性,95%的未患病者检验结果为阴性,设该病的发病率为0.4%现有某人的检验结果为阳性,问他确实患病的概率是多少?,得到,由贝叶斯公式得,解 记B为检验结果是阳性,则 为检验结果是阴性,A表示患有该病,则 为未患该病由题意,例4 对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%。
每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为75%,试求某日早上第一件产品是合格时,机器调整得良好的概率解 设A1=机器调整良好, A2=机器调整不好, B=产品合格, 已知P(A1)=0.75,P(A2)=0.25 ;P(B|A1)=0.9,P(B| A2)=0.3 需要求的概率为P(A1 |B)由贝叶斯公式,P(A1), P(A2)通常称为验前概率P(A1|B), P(A2|B)通常称为验后概率。












