高中人教A版数学必修章册学案5.4.2时正、余弦函数的周期性与奇偶性含答案.doc

1 54.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 新课程标准解读新课程标准解读 核心素养核心素养 1.了解周期函数的概念、 正弦函数与余弦函数的周期性了解周期函数的概念、 正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期会求函数的周期 数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算 2.了解三角函数的奇偶性以及对称性了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数会判断给定函数的奇偶性的奇偶性 数学抽象、直观想象、逻辑推理数学抽象、直观想象、逻辑推理 3.了解正弦函数与余弦函数的单调性了解正弦函数与余弦函数的单调性，并会利用函数单并会利用函数单调性求函数的最值和值域调性求函数的最值和值域，会求函数会求函数 yAsin(x)及及yAcos(x)的单调区间的单调区间 数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算 第一课时第一课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性正、余弦函数的周期性与奇偶性 盛夏到来盛夏到来， 天气异常炎热 随着人民生活水平的提高天气异常炎热 随着人民生活水平的提高， 外出旅游外出旅游，消夏避暑成为人们生活的一种常态当我们来到内蒙古大草原消夏避暑成为人们生活的一种常态当我们来到内蒙古大草原，顿时感顿时感到心旷神怡到心旷神怡， 精神焕发精神焕发， 密密麻麻的风力发电机成为一道靓丽的风景 风密密麻麻的风力发电机成为一道靓丽的风景 风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动， 这种周而复始的转动就是周这种周而复始的转动就是周期现象期现象 问题问题 (1)你能用数学语言刻画出函数的周期性吗？你能用数学语言刻画出函数的周期性吗？ (2)从它们的图象上你能得到哪些信息？从它们的图象上你能得到哪些信息？ 知识点一知识点一 函数的周期性函数的周期性 1周期函数周期函数 一般地一般地，设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为 D，如果存在一个如果存在一个非零常数非零常数 T，使得对每一个使得对每一个 xD 都都 2 有有 xTD，且且 f(xT)f(x)，那么函数那么函数 f(x)就叫做周期函数非零常数就叫做周期函数非零常数 T 叫做这个叫做这个函数的函数的周期周期 2最小正周期最小正周期 如果在周期函数如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的的所有周期中存在一个最小的正数正数，那么这个最小那么这个最小正数正数就叫做就叫做 f(x)的的最小正周期最小正周期 1对周期函数与周期定义中的对周期函数与周期定义中的“当当 x 取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时”，要特别注意要特别注意“每一每一个值个值”的要求的要求 2形如形如 yAsin(x)(A0，0)与与 yAcos(x)(A0，0)的函数的周期的函数的周期常用公式常用公式 T2|来求来求 是不是所有的函数是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？它的周期是否唯一？ 提示：提示：并不是每一个函数都是周期函数并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一则其周期也不一定唯一 1函数函数 f(x)2cos 2x 的最小正周期是的最小正周期是( ) A.4 B.2 C D2 答案：答案：C 2若函数若函数 f(x)的周期的周期 3，且且 f(1)2，则则 f(7)_ 答案：答案：2 知识点二知识点二 正、余弦函数的周期性和奇偶性正、余弦函数的周期性和奇偶性 函数函数 ysin x ycos x 图象图象 定义域定义域 R R R R 周期周期 2k(kZ Z 且且 k0) 2k(kZ Z 且且 k0) 最小最小 正周期正周期 2 2 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 3 对正、余弦函数奇偶性的再理解对正、余弦函数奇偶性的再理解 因为因为 sin(x)sin x，cos(x)cos x，所以正弦函数为奇函数所以正弦函数为奇函数，其图象关于其图象关于原点对原点对称；余弦函数为偶函数称；余弦函数为偶函数，其图象关于，其图象关于 y 轴对称轴对称 正、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形正、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 1判断正误判断正误(正确的画正确的画“”“”，错误的画错误的画“”“”) (1)由于由于 sin 33sin 3，则则3是正弦函数是正弦函数 ysin x 的一个周期的一个周期( ) (2)函数函数 y3sin 2x 是奇函数是奇函数( ) (3)函数函数 ycos 3x 是偶函数是偶函数( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2函数函数 f(x)2sin 2x 是是( ) AT2的奇函数的奇函数 BT2的偶函数的偶函数 CT的奇函数的奇函数 DT的偶函数的偶函数 答案：答案：B 3函数函数 f(x)sin xcos x 是是_(填填“奇奇”或或“偶偶”)函数函数 答案：答案：奇奇 三三角函数的周期性角函数的周期性 例例 1 (链接教科书第链接教科书第 201 页例页例 2)求下列函数的最小正周期：求下列函数的最小正周期： (1)(x)cos 2x3； (2)(x)|sin x|. 解解 (1)法一法一(定义法定义法)：(x)cos 2x3 cos 2x32 cos 2（x）3 (x)， 即即 (x)(x)， 函数函数 (x)cos 2x3的最小正周期的最小正周期 T. 法二法二(公式法公式法)：ycos 2x3，2. 4 又又 T2|22. 函数函数 (x)cos 2x3的最小正周期的最小正周期 T. (2)法一法一(定义法定义法)：(x)|sin x|, (x)|sin(x)|sin x|(x)， (x)的最小正周期为的最小正周期为. 法二法二(图象法图象法)：函数函数 y|sin x|的图象如图所示的图象如图所示 由图象可知最小正周期由图象可知最小正周期 T. 求三角函数的求三角函数的周期的方法周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数寻求对任意实数 x 都满足都满足 f(xT)f(x)的非零常数的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；该方法主要适用于抽象函数； (2)公式法： 对形如公式法： 对形如 yAsin(x)和和 yAcos(x)(其中其中 A，是常数是常数， 且且 A0，0)的函数的函数，可利用可利用 T2来求；来求； (3)图象法：可画出函数的图象图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的特别是对于含绝对值的函数一函数一般采用此法般采用此法 跟踪训练跟踪训练 1函数函数 f(x)sin x26的最小正周期为的最小正周期为( ) A.2 B C2 D4 解析：解析：选选 D 函数函数 f(x)sin x26的最小正周期的最小正周期 T2124. 2 函数函数 ycos k4x3(k0)的最小正周期不大于的最小正周期不大于 2， 则正整数则正整数 k 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：k0，T2k42，即即 k4，正整数正整数 k 的最小值是的最小值是 13. 答案：答案：13 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性 例例 2 (链接教科书第链接教科书第 203 页练习页练习 3 题题)判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： 5 (1)f(x)cos 322x x2sin x； (2)f(x)cos(2x)x3sin x； (3)f(x) 12cos x 2cos x1. 解解 (1)f(x)sin 2xx2sin x，又又xR R，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数是奇函数 (2)函数的定义域为函数的定义域为 R R，关于原点对称关于原点对称， f(x)cos xx3sin x， f(x)cos(x)(x)3sin(x) cos xx3sin xf(x)， f(x)为偶函数为偶函数 (3) 由由 12cos x0，2cos x10得得cos x 12， 此 时此 时f(x) 0 ， f(x) 的 定 义 域 为的 定 义 域 为 x x2k3，kZ Z ，f(x)既是奇函数又是偶函既是奇函数又是偶函数数 判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法 跟踪训练跟踪训练 判判断下列函数的奇偶性：断下列函数的奇偶性： (1)(x)x2cos 2x ； (2)(x)sin(cos x) 解：解：(1)函数函数 (x)的定义域为的定义域为 R R， f(x)x2cos 2x x2sin x， f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x)， (x)为奇函数为奇函数 (2)函数函数 (x)的定义域为的定义域为 R R， (x)sincos（x） sin(cos x)(x)， (x)为偶函数为偶函数 6 三角函数的奇偶性与周期性的应用三角函数的奇偶性与周期性的应用 例例 3 (链接教科书第链接教科书第 203 页练习页练习 4 题题)定义在定义在 R R 上的函数上的函数 (x)既是偶函数又是周期函既是偶函数又是周期函数数，若若 (x)的最小正周期是的最小正周期是，且当且当 x 0，2时时， (x)sin x，求求 53的值的值 解解 (x)的最小正周期的最小正周期是是， 53 532 3. (x)是是 R R 上的偶函数上的偶函数， 3 3sin332. 5332. 母题探究母题探究 1(变条件变条件)若本例中若本例中“偶偶”变变“奇奇”其他条件不变其他条件不变，求求 53的值的值 解：解： 53 3 3sin332. 2(变设问变设问)若本例条件不变若本例条件不变，求求 196的值的值 解：解： 196 196 36 6sin 612. 1解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把可以把 xnT(nZ Z)的函数值转的函数值转化为化为 x 的函数值利用奇偶性的函数值利用奇偶性，可以找到可以找到x 与与 x 的函数值的关系的函数值的关系，从从而可解决求值问题而可解决求值问题 2推得函数周期的若干形式：推得函数周期的若干形式： (1)若若 f(xt)f(x)，则函数周期为则函数周期为 t； (2)若若 f(xt)f(x)，则函数周期为则函数周期为 2t； (3)若若 f(xt)1f（x），则函数周期为则函数周期为 2t； (4)若若 f(xt)1f（x），则函数周期为则函数周期为 2t. 跟踪训练跟踪训练 1下列函数中是奇函数下列函数中是奇函数，且最小正周期为且最小正周期为的函数是的函数是( ) 7 Aycos|2x| By|sin 2x| Cysin 22x Dycos 322x 解析解析：选选 D ycos|2x|是偶函数是偶函数，y|sin 2x|是偶函数是偶函数，ysin 22x cos 2x 是偶函是偶函数数，ycos 322x sin 2x 是奇函数是奇函数，根据公式得其最小正周期根据公式得其最小正周期 T. 2函数函数 (x)为偶函数且为偶函数且 x2(x)， 31，则则 53_ 解析：解析： x2(x)， (x)(x)， 即即 T， 53 532 3 31. 答案：答案：1 正弦函数图象对称性问正弦函数图象对称性问题探究题探究(探究型探究型) 1 下列图案中 下列图案中， 哪些是轴对称图形？哪些是轴对称图形？()哪些是中心对称图形？哪些是中心对称图形？()有没有没有既是轴对称又是中心对称的图形？有既是轴对称又是中心对称的图形？() 2正弦函数的图象如下图利用图象探索正弦函数图象的对称性正弦函数的图象如下图利用图象探索正弦函数图象的对称性 问题探究问题探究 1正弦函数的图象有对称轴吗？如正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由 提示：提示：由正弦函数的图象可以看出由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形它是轴对称图形，有无数条对称轴有无数条对称轴，经过最高点经过最高点或最。