第二课时 补集及综合应用某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}．[问题] 没有获得金奖的学生有哪些？ 知识点一 全集1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2．记法：通常记作．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异，所以全集不一定是实数集．知识点二 补集1．补集的概念2．补集的性质(1)A∪(∁UA)＝；(2)A∩(∁UA)＝；(3)∁UU＝，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝；(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．1．对补集的理解补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．2．对符号∁UA的理解(1)A是U的子集，即A⊆U；(2)∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数集问题的全集一定是R.( )(2)集合∁BC与∁AC相等．( )(3)A∩(∁UA)＝∅.( )(4)一个集合的补集中一定含有元素．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝________．解析：∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}．答案：{0，1}3．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA＝________．解析：借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于( )A．{x|－2－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．与补集相关的参数值的求解[例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2－2，解得m<2.故m的取值范围为{m|m<2}．2．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.故m的取值范围为{m|m≥2}．由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解；(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解． [跟踪训练]设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是( )A．2 B．8C．－2或8 D．2或8解析：选D ∵A∪(∁UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.集合运算中的元素个数问题在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补集．如果用card表示有限集中元素的个数，如何确定集合A∩B，A∪B元素的个数？[典例] 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？提示：两次一共进了6＋4－2＝8种．[问题探究]1．本例中，用集合A表示第一次进货的种数，用集合B表示第二次进货的种数，问card(A)，card(B)是多少？提示：card(A)＝6，card(B)＝4.2．由本例中数据，探究card(A)，card(B)，card(A∪B)，card(A∩B)之间有什么关系呢？试借助Venn图说明此关系？提示：对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域里的元素个数．则card(A∪B)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(A∪B)＝①＋②＋③；card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③.注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，则结论得证．[迁移应用]1．若card(M)＝12，card(P)＝8，则card(M∪P)的最大、最小值分别是( )A．12，8 B．20，8C．20，12 D．20，4解析：选C 0≤card(M∩P)≤8，所以card(M∪P)＝card(M)＋card(P)－card(M∩P)＝20－card(M∩P)，故其最大值为20，最小值为12.故选C.2．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是( )A．49 B．50C．51 D．52解析：选A 设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集合B，全班同学为集合U，则U＝A∪B.由已知，card(A)＝51，card(A∩B)＝46，card(A∪B)＝54，代入card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，得54＝51＋card(B)－46，解得card(B)＝49.1．若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U(M∪N)＝( )A．{1，2，3} B．{2}C．{1，3，4} D．{4}解析：选D ∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U(M∪N)＝{4}．故选D.2．已知全集U＝R，M＝{x|－1
