初中数学相似三角形经典练习难题易错题.pdf

1 相似三角形难题易错题一填空题（共2 小题）1如图所示，已知AB EFCD，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米求EF2如图， ?ABCD 的对角线相交于点O，在 AB 的延长线上任取一点E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则 BF=_二解答题（共17 小题）3 如图所示 在ABC 中，BAC=120 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 D 求证：4如图所示， ?ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点， E 为 AD 延长线上一点，OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 2 5 一条直线截 ABC 的边 BC、 CA、 AB （或它们的延长线） 于点 D、 E、 F 求证：6如图所示 P 为ABC 内一点， 过 P 点作线段 DE，FG，HI 分别平行于AB ，BC 和 CA ，且 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 求 d7如图所示梯形ABCD 中，AD BC，BD ，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交AB ，CD于 E，F，且 EFBCAD=12 厘米， BC=20 厘米求EF精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 3 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 4 8已知：P 为?ABCD 边 BC 上任意一点， DP 交 AB 的延长线于Q 点，求证：9 如图所示，梯形 ABCD 中， AD BC， MN BC， 且 MN 与对角线 BD 交于 O 若 AD=DO=a ，BC=BO=b ，求 MN 10P 为ABC 内一点，过P 点作 DE，FG，IH 分别平行于AB， BC，CA （如图所示）求证：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 5 11如图所示在梯形ABCD 中，AB CD，AB CD一条直线交BA 延长线于E，交 DC延长线于 J，交 AD 于 F，交 BD 于 G，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ，求 DC：AB 12已知 P 为ABC 内任意一点，连AP，BP，CP 并延长分别交对边于D，E，F求证：（1）（ 2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于213如图所示在ABC 中， AM 是 BC 边上的中线， AE 平分 BAC ， BDAE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于 F求证： EFAB 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 6 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 7 14如图所示 P，Q 分别是正方形ABCD 的边 AB ，BC 上的点，且BP=BQ ，BH PC 于H求证： QHDH 15已知 M 是 RtABC 中斜边 BC 的中点， P、Q 分别在 AB、AC 上，且 PMQM求证：PQ2=PB2+QC216 如图所示在ABC 中，ACB=90 ， CDAB 于 D， AE 平分 CAB ， CF 平分 BCD 求证： EFBC17如图所示在 ABC 内有一点P，满足 APB= BPC=CPA若 2B= A+ C，求证： PB2=PA?PC（提示：设法证明PABPBC ）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 8 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 9 18已知： 如图，ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点， E 在 AB 上，且 AE：EB=2：1求证： CEAD 19如图所示， ABC 中，M、N 是边 BC 的三等分点， BE 是 AC 边上的中线， 连接 AM 、AN ，分别交 BE 于 F、G，求 BF：FG：GE 的值20.在 ABC 中， ABC=124求证1AB+1AC=1BC提示：要证明如1a+1b=1c几何题的常用方法：比例法：将原等式变为a+bab=1c或a+ba=bc，故构造成以 a+b、 b为边且与 a、 c 所在三角形相似的三角形。

通分法：将原等式变为ca+cb= 1，利用相关定理将两个个比通分即：ca=md，cb=nb，且 m + n = d，则原式成立精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 10 2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共2 小题）1如图所示，已知AB EFCD，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米求EF考点 ：平 行线分线段成比例专题 ：计 算题分析：由 于 BC 是ABC 与DBC 的公共边，且AB EFCD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF解答：解 ：在 ABC 中，因为 EFAB ，所以 EF：AB=CF ：CB ，同样，在 DBC 中有 EF：CD=BF ：CB ， + 得 EF：AB+EF ：CD=CF：CB+BF ：CB=1 设 EF=x 厘米，又已知AB=6 厘米， CD=9 厘米，代入 得x：6+x：9=1，解得 x=故 EF=厘米点评：考 查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算2如图， ?ABCD 的对角线相交于点O，在 AB 的延长线上任取一点E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则 BF=考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ：计 算题分析：首 先作辅助线：取AB 的中点 M，连接 OM ，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：EFBEOM 与 OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得 BF 的值解答：解 ：取 AB 的中点 M ，连接 OM， 四边形 ABCD 是平行四边形，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 11 AD BC ，OB=OD ，OM AD BC ，OM=AD=c， EFBEOM ，AB=a，AD=c ，BE=b，ME=MB+BE=AB+BE=a+b，BF=故答案为：点评：此 题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题二解答题（共17 小题）3 如图所示 在ABC 中，BAC=120 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 D 求证：考点 ：相 似三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题 ：证 明题分析：过 D 引 DEAB ，交 AC 于 E，因为 AD 平分 BAC （=120 ） ，所以BAD= EAD=60 若引 DEAB，交 AC 于 E，则 ADE 为正三角形，从而AE=DE=AD ，利用 CED CAB ，可实现求证的目标解答：证 明：过 D 引 DEAB，交 AC 于 EAD 是BAC 的平分线， BAC=120 ， BAD= CAD=60 又 BAD= EDA=60 ，所以 ADE 是正三角形，EA=ED=AD 由于 DEAB，所以 CEDCAB ，=1由 ， 得=1，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 12 从而+=点评：本 题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证CED CAB 是解题的关键4如图所示， ?ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点， E 为 AD 延长线上一点，OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证：考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ：证 明题分析：应 利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“ 集中 ” 到一个三角形中来求证解答：证 明：延长 CB 与 EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB 在 EIH 中，由于 DFIH ，=IH=AB ，=，从而，=1+在 OED 与OBH 中，DOE=BOH， OED= OHB，OD=OB ， OEDOBH （AAS ） 从而 DE=BH=AI ，=1由 ， 得=2点评：此 题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB 与 EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB 这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 13 5一条直线截 ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F求证：考点 ：三 角形的面积专题 ：证 明题分析：连 接 BE、AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证解答：证 明：如图，连接BE、AD ， BDE 与DCE 等高， =， DCE 与ADE 等高， =， ADF 与BDF 等高， =， AEF 与 BEF 等高， =，=，?=?=1精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 14 点评：此 题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比6如图所示 P 为ABC 内一点， 过 P 点作线段 DE，FG，HI 分别平行于AB ，BC 和 CA ，且 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 求 d考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题 ：计 算题分析：由 FG BC，HICA，ED AB ，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四。