初中数学竞赛精品标准教程及练习43：面积法.pdf

中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（43）面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）如图 ABC和ADC 有公共边 AC ，M内分 BD 第三顶点连线 BD被公共边 AC 内分或外分于点 M ，则MDBMSADCABCSM外分 BD 定理是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个 30 度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形 ABCD 中，DAC 30求证：AB2AC BD 证明：作高 DE ， DAE 30DE 21AD 21AB S菱形 ABCDAB DE 21AB2 ABCDMABCDMABCDMABCDMABCDE精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - S菱形 ABCDAC BD ，AB2AC BD 例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知： ABC 中，AB BC AC ，D是形内任一点， DE BC ，DF AC ，DG AB ，E，F，G是垂足求证： DE DF DG是一个定值证明：连结 DA ，DB ，DC ，设边长为 a, SABCSDBCSDCASDAB 21aha21a（DE DF DG ）DE DF DG ha 等边三角形的高 ha是一个定值，DE DF DG是一个定值本题可推广到任意正n 边形, 其定值是边心距的n 倍例3. 已知： ABC 中，31CACFBCBEABAD求：ABCDEFSS的值解： ADF和ABC有公共角 A ABCADFSSACABAFADACABAC32AB3192，同理92SABCBEDS，ABCCFESS92，ABCDEFSS31（本题可推广到：当mABAD1，nBCBE1，CACFp1时，ABCDEFSSmnpnpmpmnpnmmnp）例4. 如图 RtABC 被斜边上的高 CD 和直角平分线 CE分成 3 个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x。

解： CE平分 ACB ，CBCACECBCECAx630SCEBCAESCD是 Rt ABC的高CAD BCD ，2)(630CBCAxABCDEFGABCDEFABCDE630 x精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2)630(630 xx解得 x1= 4, x2=9 ( 两解都适合 ) 例 5. 设一直线截 ABC三边 AB ，BC ，CA或延长线于 D ，E，F 那么1FACFECBEDBAD（梅涅劳斯 Menelaus 定理）证明：连结 AE ，根据三角形面积比定理得DBADSBEFAEFSCEBESSCEFBEFFACFSSAEFCEFFACFECBEDBADBEFAEFSSCEFBEFSSAEFCEFSS1 例 6. 已知 MN 是ABC的中位线， P在 MN 上，BP ，CP交对边于 D，E 求证1DCADBEAE证明：连结并延长AP交 BC于 F，则 AP PF SCPASCPF，SBPASBPF 1SSSSSSBPCBPFCPFBPCBPABPCCPASDCADBEAE例 7. 如图已知： ABC中， ABC Rt，AC 2AB ，ACM 和BCN 都是等边三角形求证：MN 被 AC平分证明：连结 AN ， ABC中ABC Rt，AC 2AB ACB=30CAN=90BCM 90SACM21ba, SCAN=21ab SACMSCAN ，ACM ，CAN 有公共边 AC ，MK KN 三、练习 43 1. 如图 ABC面积是 96，D分 BC为 21，E分 AB为 31 则ADE面积是2.几条直线都平行于三角形的同一边，并分其它两边为10 个相等的线段，同时把三角形分成10个不同的部分，已知这些部分中最大的面积是38，那么原三角形的面积是3.ABC 三边 a,b,c 上的高分别是 ha=6, hb=4, hc=3,那么 abc=4.S正方形 ABCDk, M ，N分别是边 AB ，BC的中点 AN ，CM 相交于 O ，那么 S四边形 AOCDABCDFEABCNMPDEFABCDE606030bb aaKABCMN精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5.平行四边形 ABCD 中，E分 AB为 12，F分 BC为 21，DE和 AF交于 G ，那么AGDAEGSS6.如图平行四边形 ABCD 中 P，Q分别是 BC ，CD的中点，写出和 ABP等积的三角形（5）（6）7.已知： ABC 中 AB 10，D，E分别在边 AB ，AC上，且在 DE BC ，SADE SBDC2，求ABCADESS8.如图经过 ABC 内一点 O ，与各顶点 A，B，C的直线，把三角形分成6 个小三角形，其中的4 个面积已标在图中，求 ABC 的面积9.如图已知：平行四边形ABCD 中，AE CF ，AE ，CF交于 G 求证： AGB BGC 10. 已知： ABC 中，O是形内任一点， AO ，BO ，CO延长线交对边于 D，E，F 求证：1CFOFBEOEADODODAOFBAFECAE11. 如图已知： AC平分 BAD ，AC2AB AD 求证：EDBECDBC22ABCMNOD4BCDAEFGBCDAPQABCDEFO30358440 xyABCDEFGABCDE精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 12. 如图已知： ABC中，P，Q在 BC上，且 BAP CAQ 求证：AB AC 13. ABC 内一点 P，过 P作三边的平行线，所得的小三角形面积分别为4，9，49 那么 ABC 面积是多少？14. ABC 中，点 D，E，F 分别分 BC ，CA ，AB为 12，AD ，BE ，CF相交于 P，Q ，R求PQR 与ABC的面积比15.梯形 ABCD 中 AB CD ，O是对角线的交点，若SCOD3，SAOB11 求 S梯形 ABCD 16.四边形 ABCD 的对角线 AC BD 15cm ，O是交点， AOB 150 ，求 SABCD 17. 四边形 ABCD 中，E，F分别在 BC ，CD上，DF FC 1，CE EB 2，若 SADFm ，S四边形 AECFn (mn),则 S四边形 ABCD练习 43 参考答案：1. 48 2. 200 3. 234 4.32k 5. 926. 有五个7. 4238. 315 9. 由等积等底推出等高证全等ABCDEFOABCDEIJMNP449913ABCDEFRQP14ABCDO31115ABCDO15016ABCDFEmn17精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 10.左边ABCAOBABCAOCABCBOCSSSSSS1 边COBCOACOBAOBSSSS右边DOCAOCDOBAOBSSSS11.ABC ACD 用三角形面积比和12.SABPSACQ ，AB AP AC AQ ，APAQACAB，ABQ ACP 13.三个三角形都相似，144 14. 7115.设 SAODSBOCx，x=3316.作 AM BD ，CN BD ，M ，N是垂足， AM AN 21AC 17. mn2123，( 连结 AC ，SACFm, SACEn-m) 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 。