连续介质力学作业.pdf

1 第二章 向量和张量 2.1 证明：设 i i uvww e，有 iijkjk we u v 证明：, ii ii uu e vv e 123 123 123 ijkjkijkjk ii eee uvuuue eu ve u v e vvv  即： iijkjk we u v 2.2 证明：uvw是, ,u v w构成的六面体的体积 证明：底面面积sinSv wvw 底面单位法向量 vw n vw    所以，六面体的体积 cos,Vuu n S u nS vw uvw vw u vw       2.3 证明：uvwuvw 证明：  iijkjkijkijk uvwu e v we u v wuvw 2.4 写出柱坐标、球坐标的标准正交基，及其与直角坐标间的过渡矩阵 解： 柱坐标下，cossinrrirjzk  1 cossin cos ,sin ,0 T r g r ij       v u w  n  r r z i j k 2  2 sincos sin , cos ,0 T r g rirj rr            3 0,0,1 T r gk z     标准正交基为：    1 2 3 cos ,sin ,0 sin ,cos ,0 0,0,1 T T T e e e         1 123123 , ,,,,,i j ke e ee e e      过渡矩阵为：  1 123123 cossin0 ,,,,sincos0 001 T e e ee e e           球坐标下，sincossin sincosrrirjrk 1 sincossinsincos r g r ijk     2 sinsinsincos r g rirj        3 coscoscos sinsin r g rirjrk       标准正交基为：    1 2 3 sincos ,sinsin ,cos sin ,cos ,0 coscos ,cos sin , sin T T T e e e        过渡矩阵为： i j k r   3  123 sincossinsincos ,,sincos0 coscoscos sinsin T e e e          2.5 证明：正交张量  QuQvQwuvw  2.6 二阶张量有   det TuTvTw T uvw    证明：2.5 为 2.6 的特例，故先证 2.6 设, ,1,2,3 ij Tti j       ,, iii uuvvww 则,, ijjijjijj Tut uTvt vTwt w   111 222 333 111213111 212223222 313233333 det jjjjjj jjjjjj jjjjjj TuTvTw t ut vt w t ut vt w t ut vt w tttuvw tttuvw tttuvw T uvw            det TuTvTw T uvw    ＃2.6 对于 2.5，Q为正交阵，即det1Q   QuQvQwuvwuvw  ＃2.5 2.7 举例说明 0，1，2，3，4 阶张量 例：0 阶张量： 数/标量 1 阶张量： 向量 2 阶张量： 矩阵t（应力张量） （1 阶张量到 1 阶张量的映射） 3 阶张量：压电张量：电场应变（E） 、应力电场（E） ；置换张量 4 阶张量：: ijkl C 4 2.8 极分解 证明：对非退化二阶张量，有FR UV R，其中R为正交张量，U、V 为对称正定。

证 明 ：F非 退 化 ， 则 T CFF为 对 称 正 定 张 量 ，C的 特 征 值 可 以 表 示 为 2, 0,1, 2, 3   于是，C的谱表示为：   2 T CLL   ，其中   123 ,LLLLL为对应于 2  的 特征向量， 2 1 22 2 2 3          定义与之对应的唯一对称正定张量U，谱表示为：       1 2 T ULLC   定义 1 RF U  ，显然 T RRI，即R为正交张量 即：F可以分解为FR U，满足R正交，U对称正定 假定F还可以分解为 11 FR U，仍满足极分解条件， 由 11 R UFR U，即 11 T URR U，可知：   22 11111 TTTT UUUURRRR UU 由U、 1 U的正定性，可得 1 UU，从而 1 RR 即：FR U的分解形式是存在且唯一的 同理，定义 T DF F，则  1 2 T VF F，满足FV R存在且唯一。

又  T FV RRRV RR U，且FR U的唯一性，可知： RR，且有 T URV R 即：FR UV R存在且唯一 2.9 证明：=+    d i vvd i v vv  5 d i v uvvc u r l uu c u r l v c u r luc u r l uu  证明：标准正交基下 ijkijk e      i i ii ii e x ee xx                    i i ii i i ii divv vv xx v v xx divvv               ijk jkijk jki i jijkijk k kj ii jkijjik k kj ii ijkijk kk ii jj div uv e u v div e u v e x u v eve u xx u v v eu e xx uv veue xx v curluu curlv                   kijk i j ijkijk k kii jj curlu u ee x u eu eee xx ucurlu              2.10 证明：0,0,curldiv curludiv  6 证明： 2 ijkijk iii ijkjk curlcurleeeee xxxx x         由 2 jk x x    关于, j k的对称性及 ijkikj ee 可知，0curl  2 ijkijkijk kkk i jijij uuu div curludiv eeee xxxx x        理由同上，0div curlu  2 2 i ii divdive xx         2.11 写出柱坐标与球坐标系的 ij g， ijij ggg，说明其几何意义。

解：2.4 题已经写出 i g 柱坐标：    1 2 3 cos ,sin ,0 sin , cos ,0 0,0,1 T T T g grr g         2 1 1 gr       球坐标：    1 2 3 sincos ,sinsin ,cos sinsin , sincos ,0 coscos , cos sin ,sin T T T g grr grrr          22 2 1 singr r        ij g表示协变基在逆变基下的分量，即： j iij gg g 在柱坐标、球坐标下，协变基本身为正交基，因此对应的逆变基为其本身除以模长的平方 2.12 写出柱球坐标变换对应的 Jacobi 矩阵，和协变、逆变规律 解： 7 设柱坐标对应, ,xrz，球坐标对应, ,XR ，则有对应关系： sin cos rR zR          Jacobi 矩阵为： sin0cos 010 cos0sin i j R xx XX R             协变关系为： ii ji jijj rrxx SC XxXX    ，其中 j S表示球坐标（sphere）下的协变基， i C表示柱坐 标（cylinder）下的协变基。

,:, ii kkjkjkjpkjkj jiipipip jj xx SS SSCS CCwhere SSS CC C xx    这些参数在前面题目中均已求出，不再冗述 2.13 证明单位张量 ijjiijij jiijijij Ig ggg ggg ggg gg 证明：    i i jijiij ijijij ijij ijij jililjjji ijlijllli Igg g ggg ggg gg gg gg gg g gg gg g gggggg     若还需证明 i i Igg，则可利用坐标变换, jiij iijj eg eg，其中 i e为笛卡尔坐标系 下的标准正交基，满足 i i ee  r r z i j k i j k r   8 显然：  100 010010100001 001 100 010 001 i i ee I                              jjljmljmljllj iiilmimlimmil e egggg     即：协、逆转换系数组成的矩阵互逆，那么这两个系数矩阵可交换。

ijilijljlj iiljlijljj eegggggggg   2.14 Eddington 张量    , 0 ijkijk ijkijkijk g Even ggggggg Odd Other          ，写出 ijk  解： ijk ijk iljmkn ijklmn limjnk lmnijk ijk ijk ggg g gg ggg g g g ggg ggg          det ijk ijklimjnklimjnk。