高中数学 1.6余弦函数的图像与性质课件 北师大版必修4.ppt

§6余弦函数的图像与性质问题问题引航引航1.1.如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？2.2.余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？1.1.余弦函数图像的画法余弦函数图像的画法(1)(1)平移法：平移法：左左(2)(2)五点法：五点法：①①五个关键点：五个关键点：②②函数函数y=cos xy=cos x，，x∈x∈［［0,2π0,2π］的简图：］的简图：x x0 0ππ2π2πcos xcos x______________________1 10 0-1-10 01 1(3)(3)余弦曲线：余弦曲线：y=cos x(x∈y=cos x(x∈［［0,2π0,2π］］) )的图像向左、向右平行的图像向左、向右平行移动移动( (每次平移每次平移________个单位个单位) )得到余弦函数得到余弦函数y=cos x(x∈R)y=cos x(x∈R)的图的图像像, ,此图像叫作余弦曲线此图像叫作余弦曲线. .2π2π2.2.余弦函数的性质余弦函数的性质函数函数性质性质 余弦函数余弦函数y=cos x y=cos x 图像图像 定义域定义域 R R 值域值域 ［［-1,1-1,1］］ 函数函数性质性质 余弦函数余弦函数y=cos x y=cos x 最值最值 当当x=2kπ(k∈Z)x=2kπ(k∈Z)时，时，y ymaxmax=1=1当当x=(2k+1)π(k∈Z)x=(2k+1)π(k∈Z)时，时，y yminmin=-1 =-1 周期性周期性 是周期函数，最小正周期为是周期函数，最小正周期为____ ____ 奇偶性奇偶性 是偶函数，图像关于是偶函数，图像关于y y轴对称轴对称 单调性单调性 在［在［(2k-1)π,2kπ(2k-1)π,2kπ］］(k∈Z)(k∈Z)上是上是__________的的在［在［2kπ,(2k+1)π2kπ,(2k+1)π］］(k∈Z)(k∈Z)上是上是__________的的2π2π增加增加减少减少1 1．判一判．判一判 ( (正确的打正确的打““√√””，错误的打，错误的打““×”×”) )(1)(1)余弦函数余弦函数y=cos xy=cos x是偶函数，图像关于是偶函数，图像关于y y轴对称，对称轴有轴对称，对称轴有无数多条无数多条.( ).( )(2)(2)余弦函数余弦函数y=cos xy=cos x的图像是轴对称图形，也是中心对称图形的图像是轴对称图形，也是中心对称图形.( ).( )(3)(3)在区间［在区间［0 0，，2π2π］上，函数］上，函数y=cos xy=cos x仅在仅在x=0x=0时取得最大值时取得最大值1.( )1.( )2 2．做一做．做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)函数函数y=y=｜｜cos xcos x｜的单调增区间是｜的单调增区间是________________，单调减区间是，单调减区间是________________，最小正周期是，最小正周期是________.________.(2)(2)函数函数y=2cos x-1y=2cos x-1的值域是的值域是________.________.(3)(3)函数函数y=f(x)=-cos xy=f(x)=-cos x的奇偶性为的奇偶性为________.________.【【解析解析】】1.(1)1.(1)正确正确. .由余弦函数的图像可得，对称轴方程为由余弦函数的图像可得，对称轴方程为x=kπ(k∈Z),x=kπ(k∈Z),所以余弦函数的图像的对称轴有无数条所以余弦函数的图像的对称轴有无数条. .(2)(2)正确正确. .由余弦函数的图像可得函数关于点由余弦函数的图像可得函数关于点 (k∈Z)(k∈Z)成中心对称成中心对称. .(3)(3)错误错误. .在区间［在区间［0 0，，2π2π］上，函数］上，函数y=cos xy=cos x在在x=0x=0与与x=2πx=2π时取得最大值时取得最大值1.1.答案：答案：(1)√ (2)√ (3)(1)√ (2)√ (3)××2.(1)y=cos x2.(1)y=cos x的图像在的图像在x x轴上方的不动，将下方部分对称地翻轴上方的不动，将下方部分对称地翻到到x x轴上方，即得到函数轴上方，即得到函数y=y=｜｜cos xcos x｜的图像，如图所示，｜的图像，如图所示，由图像可知，函数的最小正周期为由图像可知，函数的最小正周期为ππ，又因为在，又因为在 上，上，函数的增区间是函数的增区间是 减区间是减区间是 而函数的周期是而函数的周期是kπ(k∈Zkπ(k∈Z且且k≠0)k≠0)，因此函数，因此函数y=y=｜｜cos xcos x｜的增区间是｜的增区间是 (k∈Z)(k∈Z)，减区间是，减区间是 (k∈Z).(k∈Z).答案：答案：(2)(2)因为因为y=cos x∈y=cos x∈［［-1,1-1,1］，所以］，所以2cos x-1∈2cos x-1∈［［-3,1-3,1］］. .答案：答案：［［-3,1-3,1］］(3)(3)函数函数y=-cos xy=-cos x的定义域为的定义域为R R，，f(-x)=-cos(-x)=-cos xf(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x)=f(x)，所以函数为偶函数，所以函数为偶函数. .答案：答案：偶函数偶函数【【要点探究要点探究】】知知 识识 点点 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像与性质1.1.余弦函数性质与图像的关系余弦函数性质与图像的关系(1)(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法. .(2)(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论单位圆推导才能下结论. .2.2.对余弦函数单调性的三点说明对余弦函数单调性的三点说明(1)(1)余弦函数在定义域余弦函数在定义域R R上不是单调函数，但存在单调区间上不是单调函数，但存在单调区间. .(2)(2)求解或判断余弦函数的单调区间求解或判断余弦函数的单调区间( (或单调性或单调性) )，是求与之相，是求与之相关的值域关的值域( (或最值或最值) )的关键，通常借助其求值域的关键，通常借助其求值域( (或最值或最值).).(3)(3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的判断方法判断方法. .3.3.余弦函数的最值余弦函数的最值(1)(1)明确余弦函数的有界性，即明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,|cos x|≤1,解题时常会用到解题时常会用到. .(2)(2)对有些函数，其最值不一定就是对有些函数，其最值不一定就是1 1或或-1-1，要依赖函数的定义，要依赖函数的定义域来确定域来确定. .(3)(3)形如形如y=Acos(ωx+y=Acos(ωx+φφ)(A)(A＞＞0,ω0,ω＞＞0)0)的函数求最值时，通常的函数求最值时，通常利用利用““整体代换整体代换””，即令，即令ωx+ωx+φφ=z,=z,将函数转化为将函数转化为y=Acos zy=Acos z的的形式求最值形式求最值. .【【微思考微思考】】(1)(1)由由y=sin xy=sin x，，x∈Rx∈R的图像得到的图像得到y=cos x,x∈Ry=cos x,x∈R的图像，平移的的图像，平移的方法唯一吗？方法唯一吗？提示：提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一可向左平移也可向右平移，方法不唯一. .(2)(2)形如形如y=Acos(ωx+y=Acos(ωx+φφ)(A)(A＞＞0,x∈R)0,x∈R)的值域还是［的值域还是［-1,1-1,1］吗？］吗？提示：提示：不一定是不一定是. .值域是［值域是［-A,A-A,A］］. .【【即时练即时练】】下列关于函数下列关于函数y=-3cos x-1y=-3cos x-1的说法错误的是的说法错误的是( )( )A.A.最小值为最小值为-4-4B.B.是偶函数是偶函数C.C.当当x=kπx=kπ，，k∈Zk∈Z时，函数取最大值时，函数取最大值D.D.是周期函数，最小正周期为是周期函数，最小正周期为2π2π【【解析解析】】选选C.C.当当x=kπ,k∈Zx=kπ,k∈Z时，时，y=cos xy=cos x取到最大值取到最大值1 1，而函数，而函数y=-3cos x-1y=-3cos x-1取最小值取最小值. .【【题型示范题型示范】】类型一类型一 ““五点法五点法””画余弦函数的图像画余弦函数的图像【【典例典例1 1】】(1)(1)利用利用““五点法五点法””作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐标为标为( )( )A.(0A.(0，，1) B.1) B.C.(π,-1) D.C.(π,-1) D.(2)(2)用用““五点法五点法””作出作出y=1+cos x(0≤x≤2π)y=1+cos x(0≤x≤2π)的简图的简图. .【【解题探究解题探究】】1.1.对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐标分别是什么？标分别是什么？2.2.题题(2)(2)中函数中函数y=1+cos xy=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么？的最大值与最小值分别等于什么？【【探究提示探究提示】】1.1.五个点分别为五个点分别为(0(0，，1)1)，， ，， (π(π，，-1)-1)，， ，，(2π(2π，，1).1).2.2.因为因为cos x∈cos x∈［［-1-1，，1 1］，所以］，所以1+cos x∈1+cos x∈［［0 0，，2 2］］, ,即最大即最大值为值为2 2，最小值为，最小值为0.0.【【自主解答自主解答】】(1)(1)选选C.C.由五个点的坐标知第三个关键点为由五个点的坐标知第三个关键点为(π,-1).(π,-1).(2)(2)列表如下：列表如下：x x0 0ππ2π2πy=cos xy=cos x1 10 0-1-10 01 1y=1+cos xy=1+cos x2 21 10 01 12 2描点连线，可得函数描点连线，可得函数y=1+cos xy=1+cos x在［在［0,2π0,2π］上的图像如图所示：］上的图像如图所示：【【方法技巧方法技巧】】““五点法五点法””画函数图像的三个步骤画函数图像的三个步骤【【变式训练变式训练】】作出函数作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图的简图. .【【解题指南解题指南】】将［将［0,2π0,2π］这一区间四等分找到五个关键点然］这一区间四等分找到五个关键点然后描点、连线即可后描点、连线即可. .【【解析解析】】列表：列表：x x0 0ππ2π2πy=cos xy=cos x1 10 0-1-10 01 1y=1-cos xy=1-cos x0 01 12 21 10 0描点连线得描点连线得y=1-cos xy=1-cos x的图像的图像( (如图所示如图所示).).【【补偿训练补偿训练】】““五点法五点法””画画y=cos y=cos 时，所取的五个点时，所取的五个点为为_______._______.【【解题指南解题指南】】把把 作为一个整体看作是作为一个整体看作是y=cos xy=cos x中的中的x x可得五点可得五点. .即五个点分别为：即五个点分别为：答案：答案：0 0 ππ 2π2π x x 1 10 0-1-10 01 1【【解析解析】】列表可得：列表可得：类型二类型二 余弦函数的奇偶性及应用余弦函数的奇偶性及应用【【典例典例2 2】】(1)(2013(1)(2013··佛山高一检测佛山高一检测) )函数函数f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+φφ)(0≤)(0≤φφ≤π)≤π)是是R R上的偶函数，则上的偶函数，则φφ的值为的值为( )( )A.0 B. C. D.πA.0 B. C. D.π(2)(2014(2)(2014··绵阳高一检测绵阳高一检测) )函数函数f(x)=sin(2x+ )f(x)=sin(2x+ )的奇偶性为的奇偶性为_________._________.(3)(3)已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x x＞＞0 0时，时，f(x)= f(x)= sin 2x+cos xsin 2x+cos x，， 求求f(x).f(x).【解题探究】【解题探究】1.f(x)1.f(x)为为R R上的偶函数应具备什么条件？上的偶函数应具备什么条件？2.2.利用诱导公式化简利用诱导公式化简sin(2x+ )sin(2x+ )等于什么？等于什么？3.3.题题(3)(3)中已知函数中已知函数f(x)f(x)为奇函数，求为奇函数，求f(x)f(x)的一般原则是什么的一般原则是什么？？【探究提示】【探究提示】1.1.应满足应满足f(-x)=f(x).f(-x)=f(x).2.2.3.3.先求先求x=0x=0时的解析式，再求时的解析式，再求x x＜＜0 0时的解析式，对定义域内的时的解析式，对定义域内的取值要完整取值要完整. .【【自主解答自主解答】】(1)(1)选选C.C.当当φφ=0=0或或ππ时，时，f(x)f(x)为奇函数，当为奇函数，当φφ= = 时时, ,为非奇非偶函数为非奇非偶函数. .只有当只有当φφ= = 时符合题意时符合题意, ,故选故选C.C.(2)(2)因为因为=-sin(2x+ )=-cos 2x=-sin(2x+ )=-cos 2x，所以，所以f(-x)=-cos(-2x)f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),=-cos 2x=f(x),即即f(x)f(x)为偶函数为偶函数. .答案：答案：偶函数偶函数(3)(3)因为函数因为函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(0)=-f(0)f(0)=-f(0)，，f(0)=0,f(0)=0,当当x x＜＜0 0时，时，-x-x＞＞0,0,所以所以f(x)=-f(-x)=-f(x)=-f(-x)=-［［sin 2(-x)+cos(-x)sin 2(-x)+cos(-x)］］=sin 2x-cos x=sin 2x-cos x，，所以所以【【方法技巧方法技巧】】余弦函数奇偶性常用结论余弦函数奇偶性常用结论(1)(1)因为余弦函数是偶函数，所以因为余弦函数是偶函数，所以cos x=cos cos x=cos ｜｜x x｜｜. .(2)y=cos(x+(2)y=cos(x+φφ) )，当，当φφ=kπ+ (k∈Z)=kπ+ (k∈Z)时是奇函数；时是奇函数；y=sin(x+y=sin(x+φφ) )，当，当φφ=kπ+ (k∈Z)=kπ+ (k∈Z)时是偶函数时是偶函数. .(3)(3)余弦函数的对称轴和对称中心余弦函数的对称轴和对称中心①①对称轴方程为对称轴方程为x=kπ(k∈Z).x=kπ(k∈Z).②②对称中心的坐标为对称中心的坐标为( +kπ,0)(k∈Z).( +kπ,0)(k∈Z).【【变式训练变式训练】】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+cos x+cos x的奇偶性为的奇偶性为______.______.【【解析解析】】因为因为x∈Rx∈R，且，且f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2+cos(-x)=x+cos(-x)=x2 2+cos x=f(x),+cos x=f(x),所以函数所以函数f(x)f(x)是偶函数是偶函数. .答案：答案：偶函数偶函数【【补偿训练补偿训练】】函数函数y=cos(sin x)y=cos(sin x)的奇偶性是的奇偶性是________.________.【【解析解析】】函数定义域为函数定义域为R,R,又又cos cos ［［sin(-x)sin(-x)］］ =cos(-sin x)=cos(-sin x)=cos(sin x)=cos(sin x)，所以函数为偶函数，所以函数为偶函数. .答案：答案：偶函数偶函数类型三类型三 余弦函数的单调性与最值余弦函数的单调性与最值【【典例典例3 3】】(1)(1)函数函数y=cos 2xy=cos 2x的一个增区间是的一个增区间是( )( )(2)(2)求函数求函数y=3cosy=3cos2 2x-4cos x+1x-4cos x+1的最大值和最小值的最大值和最小值. .【【解题探究解题探究】】1.1.题题(1)(1)中涉及的函数是哪种？中涉及的函数是哪种？2.2.题题(2)(2)中若将中若将cos xcos x变为变为t t，则函数变为什么？，则函数变为什么？【【探究提示探究提示】】1.1.涉及的函数是余弦函数涉及的函数是余弦函数. .2.2.函数变为函数变为y=3ty=3t2 2-4t+1.-4t+1.【【自主解答自主解答】】(1)(1)选选D.D.令令2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z，所以，所以kπ- ≤x≤kπkπ- ≤x≤kπ，当，当k=1k=1时，时，x∈[ ,π].x∈[ ,π].(2)(2)令令t=cos xt=cos x，则，则-1≤t≤1,-1≤t≤1,问题转化为求函数问题转化为求函数y=3ty=3t2 2-4t+1-4t+1(-1≤t≤1)(-1≤t≤1)的最大值和最小值的最大值和最小值. .因为因为所以函数在所以函数在[-1, ][-1, ]上是减少的，在上是减少的，在[ ,1][ ,1]上是增加的，上是增加的，当当t= t= 时时,y,y有最小值有最小值; ;当当t=-1t=-1时时,y,y有最大值，有最大值，所以所以y ymaxmax=3+4+1=8.=3+4+1=8.所以函数的最大值为所以函数的最大值为8 8，最小值为，最小值为- .- .【【延伸探究延伸探究】】若将本题若将本题(2)(2)增加条件增加条件x∈ x∈ 求最大值和求最大值和最小值最小值. .【【解析解析】】令令t=cos x,t=cos x,则则y=y=因为因为x∈x∈所以所以t∈t∈函数在区间函数在区间 上是减少的上是减少的. .所以当所以当t=- t=- 即即cos x=- cos x=- 时时,y,ymaxmax= = ，，此时此时x= .x= .当当t= t= 即即x= x= 时，时，y yminmin=- .=- .【【方法技巧方法技巧】】求函数最大值、最小值的方法求函数最大值、最小值的方法(1)(1)直接法：根据函数值域的定义直接法：根据函数值域的定义, ,由自变量的取值范围求出函由自变量的取值范围求出函数值的取值范围数值的取值范围. .(2)(2)单调性法：利用函数的单调性单调性法：利用函数的单调性. .(3)(3)图像法：利用函数的图像图像法：利用函数的图像, ,转化为求函数图像上最高点和最转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的问题低点的纵坐标的问题. .(4)(4)换元法换元法: :转化为一次函数、二次函数等函数问题转化为一次函数、二次函数等函数问题. .【【变式训练变式训练】】函数函数y y＝＝4cos4cos2 2x x＋＋4cos x4cos x－－2 2的值域为的值域为( )( )A.A.［［-2-2，，6 6］］ B.B.［［-3-3，，6 6］］C.C.［［-2-2，，4 4］］ D.D.［［-3-3，，8 8］］【【解题指南解题指南】】利用换元法将函数变为二次函数，利用二次函数利用换元法将函数变为二次函数，利用二次函数求最值求最值. .【【解析解析】】选选B.B.设设cos x=tcos x=t，，则则y y＝＝4cos4cos2 2x x＋＋4cos x4cos x－－2 2＝＝4t4t2 2+4t-2+4t-2=4(t=4(t2 2+t)-2=4(t+ )+t)-2=4(t+ )2 2-3.-3.因为－因为－1≤cos x≤11≤cos x≤1，所以，所以-1≤t≤1,-1≤t≤1,所以所以y yminmin＝－＝－3 3，，【【补偿训练补偿训练】】求函数求函数y y＝＝2cos(2x2cos(2x＋＋ ) )，，x∈ x∈ 的最大值的最大值与最小值与最小值. .【【解析解析】】因为因为所以所以0≤2x0≤2x＋＋所以－所以－1≤2cos(2x1≤2cos(2x＋＋ )≤2)≤2，，当当cos(2xcos(2x＋＋ ) )＝＝1 1，，即即x x＝－＝－ 时，时，y ymaxmax＝＝2 2，，当当cos(2xcos(2x＋＋ ) )＝－＝－ ，，即即x x＝＝ 时，时，y yminmin＝－＝－1.1.【【规范解答规范解答】】余弦函数值域的应用余弦函数值域的应用【【典例典例】】(12(12分分)(2014)(2014··榆林高一检测榆林高一检测) )已知函数已知函数y=a-bcos xy=a-bcos x的的最大值为最大值为 ，最小值为，最小值为- - ，求函数，求函数y=-2sin bxy=-2sin bx的最值及周期的最值及周期. .【【审题审题】】抓信息，找思路抓信息，找思路【【解题解题】】明步骤，得高分明步骤，得高分【【点题点题】】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：解题时若忽视对：解题时若忽视对①①处参数处参数b b的分类讨论，则会导致漏的分类讨论，则会导致漏解而失分解而失分. .失分点失分点2 2：解题时若忽视解析式中的符号，则会导致：解题时若忽视解析式中的符号，则会导致②②处的解处的解析式出错而失分析式出错而失分. .失分点失分点3 3：解题时若忽视：解题时若忽视③③处的总结，则会导致解题不完整而处的总结，则会导致解题不完整而失掉失掉2 2分分. .【【悟题悟题】】提措施，导方向提措施，导方向1.1.分类讨论的意识分类讨论的意识在解含有参数的问题时，切记分类讨论思想的应用，如本例中在解含有参数的问题时，切记分类讨论思想的应用，如本例中的解析式中含有参数，故需考虑是否需要分类讨论的解析式中含有参数，故需考虑是否需要分类讨论. .2.2.函数性质的应用函数性质的应用对一些常用函数的性质要牢记，如本例中正弦函数的值域、周对一些常用函数的性质要牢记，如本例中正弦函数的值域、周期等期等. .3.3.解题的规范性解题的规范性做解答题时，步骤要合理、规范，对于分类讨论的问题最后要做解答题时，步骤要合理、规范，对于分类讨论的问题最后要有总结，如本例中的有总结，如本例中的③③. .【【类题试解类题试解】】已知函数已知函数y=acos x+by=acos x+b的最大值为的最大值为1 1，最小值为，最小值为-3-3，求函数，求函数y=asin bxy=asin bx的最值的最值. .【【解析解析】】当当a≥0a≥0时，时， 解得解得a=2a=2，，b=-1b=-1，此时，此时y=asin bx=-2sin xy=asin bx=-2sin x，所以，所以y ymaxmax=2,y=2,yminmin=-2.=-2.当当a a＜＜0 0时，时， 解得解得a=-2a=-2，，b=-1,b=-1,此时此时y=asin bxy=asin bx=2sin x=2sin x，所以，所以y ymaxmax=2,y=2,yminmin=-2.=-2.综上所述，所求函数的最大值为综上所述，所求函数的最大值为2 2，最小值为，最小值为-2.-2.。