三角函数中的“结构不良”试题-2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

高考砒究4 三角函数中的“结构不良试题结构不良题又称开放题，是指条件或结论开放、解题方法多样的试题.该类试题在考试中通常是以选择条件，补充结论型试题出现，可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数，其结论也是多样化的，甚至在某些特定条件下问题是无解的.“结构不良”题具有很好的开放性，可以考查学生的数学理解能力、数学探究能力、建模能力等.命题点一结论开放型 典 例1（多选X2022 新高考II卷）已知函数/（x）=sin（2x+9）（09的图象关于点（g，）对称，贝 女 ）A./（x）在（0,驾）单调递减B./（x）在（-3瑞）有两个极值点C.直线x=等是曲线尸/的一条对称轴D.直线了=?x是曲线y=/（x）的一条切线AD 由题意得：f（T）=sin（手+3）=0,所以多+9=也，左 Z,即9=一m+E,左Z,又 0（p解得 2 x+W=+2 E,左Z 或 2x+W=：+2 E,左Z,3 3 3 3从而得：X=k7l,左 2或=/+左兀，左GZ,所以函数了=/(x)在点(0,处的切线斜率为左=/(0)=2cos y=1,切线方程为 y-y-=(x0),即%.名师点评本题属于既定函数问题，不同的选项代表不同的探究方向，需要考生运用相应的三角函数知识多角度探求每个结论的正确性.跟进训练1.(多选)(2024 广东东莞模拟)已知0 0,函数/(x)=co s(3%+，下列说法正 确 的 有()A.若/(x)的最小正周期7=2,则O=兀B.当=2时，函数/(x)的图象向右平移汐单位长度后得到g(x)=cos2x的图象C.若/(x)在 区 间 管，Ti)上单调递增，则的取值范围是 1,|D.若/(x)在区间(0,兀)上只有一个零点，则 的 取 值 范 围 是 弓ACD 由余弦函数图象与性质，可 得7=?=2,得=兀，所以A正确；当=2 时，可得/(x)=co s(2%+,将函数/(x)的图象向右平移 个单位长度后得/(%-=cos 4-1 =cos(2%以W g(x),所以B错误；若/(x)在区间(g,n)上单调递增，则+-TT+2/C TT,3；kZ,皿+产2n+2加，解 得1 +3左WcoW|+2左，左Z,又因为0 0,所以只有当左=0时，此不等式有解，即IWOW*所 以C正确;若/(X)在区间(0,兀)上只有一个零点,则71、7 1TVO),7J 二 解得所以D正 确.故 选ACD.TCW+-W ,6 63 2【教师备选资源】(多选)将函数/(X)=COS(3%3(0)的图象向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(o)=1,则下列说法正确的是()A.g(x)为奇函数B-g(-?)=0C.当=5时，g(x)在(0,兀)上有4个极值点D.若g(x)在0,3上单调递增，则的最大值为5BCD*.,/(x)=cos-/)=sin cox(y0),/.g(x)=sin 且g(0)=T,一=(2/c ；)兀(k e z),即0=1一4左，为奇数，.,.g(x)=sin 3 cos cox 为偶函数，故 A 错误；由以上分析可知O为奇数，=cos(一等)=0，故B正确；由以上分析可知，当=5时，g(x)=sin(5%-g)=cos 5x,T=y,由图象可知g(x)在(0，兀)上有4个极值点，故C正确；g(x)在0,3上单调递增，.0守 工5 2 0)解得0 W 5,又：0=1一4左,.0的最大值为5,故D正 确.故 选BCD.命题点二条件缺失型 典 例2 (2021 北 京 高 考)已 知 在 中，c=2bcosB,C=-(1)求8的大小；在以下三个条件中选择一个作为已知，使NBC存在且唯一确定，并 求8C边上的中线的长度.c=V2Z；周长为4+2 b；面积为品4尤=孚.角 我(l)Vc=2Z cos 5,由正弦定理可得sin C=2sinB cos B,即 sin C=sin 2B,:C=2B 线。

25=兀.*r=3.当C=2B时，5=p即 C+8=TT,不符合题意,+2 8=兀，：.2 B=,即 5=3(2)选：c=y/2b.V3 _由 正 弦 定 理 可 得:=当=手=百，b smB-2与已知条件0=鱼6矛盾，故43不存在.选：周长为4+2百.r,=B=-.A=-3，6，6，由正弦定理/L=-L=2R,sin A sinB sinC得3A卷=2R,2 2 :a=R,b=R,c=y/3R,.,a+6+c=(2+V3)/?=4+2V3,:.R=2,即 a=2,b=2,C=2A/3,45C存在且唯一确定.设8 c的中点为D,：.CD=,在/C O中，由余弦定理知,AD-=AC1+CD1-ZAC-CD-cos C,即 A C)2 =4+I2X 2X lX(-y =7,：.AD=y/7,.5C边上的中线的长度为旧.选：面积为k/BC=学.4A=B=-,：a=b,6SBc=ab sin C=a2X二=，解得 a=V3,2 2 2 4AABC存在且唯一确定.设5 c的中点为在AZ CD中，由余弦定理知，必m2XZCXCQXC0S y=3+|+V3 x y=y,：.AD=-.名师点评该类试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整后再进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能得出不同的结论，难度与平时也会有所不同.在选择条件时一定要观察分析，选择不同，计算量也不同.跟进训练2.(2023 北京高考)设函数/(x)=sin(x cos 夕+cos cox sin 0(a 0,(p 0,|如 V/),所以/(0)=sin(co 0)cos(p+cos(co 0)sin 0=sin 9=,因为I夕I V?所以9=-因为/(x)=sin cox cos +cos cox sin(p,co0,|0,所以/(x)的最大值为1,最小值为一1.若选条件：因为/(x)=sin(0 x+夕)的最大值为1,最小值为一1,所以/无解，故条件不能使函数/(x)存在.若选条件：因为/(X)在卜三，g 上单调递增，且/管)=1,/(g=-i,所以(一=5所以 T=2兀，co=l,所以/(%)=sin(x+(p),又因为/(_ =_ 1,所以 sin(1+g)=.1,所以一+夕=1+2析，kRZ,所以9=2+2左 兀，kRZ,因为|夕|V 9所以9=一所以=1,(p=y.6若选条件：因为/(X)在 卜,朗 上 单 调 递 增，在 卜 会3上单调递减，所以/(X)在x=-g处取得最小值一1,即/(=1.所 以 可 知 卜,是 函 数 的 半 个 周 期，所以/(X)的最小正周期T=2 g-(=2兀=,解得=1,所以/(x)=sin(x+0)，所以/(g)=sin管+夕)=1,又加v,所以9=一 也命题点三探究开放问题 典 例3 (2021 新高考H卷)在48C中，角4 B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+l,c=a+2.(1)若 2sinC=3sinZ,求/5C 的面积；(2)是否存在正整数a,使得NBC为钝角三角形？若存在，求 出。

的值；若不存在，说明理由.解(l)：2sinC=3sinZ,根据正弦定理可得2c=3a,h=,a 1,c=a+2,.a=4,b=5,c=6,在4 8 C中，由余弦定理的推论可得 a2+b2-c2 42+52-62 1cos C=-2-ab-=-2-x-4-x-5-8V sin2C+cos2C=1,*-sinC=V1-cos2C=J l )2=手,C 1 T .一 1、/八/L、/3V7 15V7.SAABc=-ab smC=-X4 X 5 X.2 2 8 4(2)V cba,48为钝角三角形时，角必为钝角，由余弦定理的推论，得C O S C=*+”；)2产2)20,2ab 2a(a+1)a22a 30,0ac,即2,即 al,.,.la2)sin C,因为C6(0,7 i),可得sin C 0,所以2而=/一3抉，即 a2-2ab3b2=0,即5 36)(人)=0，又因为a,b 0,所以a=3b,又由正弦定理，可得sinZ=3sin8.(2)假设存在正整数机，n,使得c=7 b和tanZ=tan C同时成立.所以M+c2-a2 -2+匕2-2，2bc 2ab化简整理可得”+接一2 =3 2 +0 2 一层)，因为=加 6,a=3b,所以 9b1+b2mb1n(b2+m2b29b2),即 m2=|-+8,又因为m,均为正整数，所以=1,m=3.故存在72=1,m=3 使得c=mb和tan A=n tan C 同时成立.【教师备选资源】如图，在四边形4BC。

中，BCD为锐角三角形，CD=4,sinZD BC=,cos/BDCT.(1)求 BC-,(2)若AB=m,AC=BC+g 是否存在正整数根，使得48C 为钝角三角形？若存在，求出机的值；若不存在，说明理由.解(1)由题意可知N8QC为锐角，Vcos ZBDC=,Asin ZBDC=.3 3在BCD中，由正弦定理可知sinZ.BDC sinz.DBC，即号=受，解得8 c=2 g.V o zvz；ABCD为锐角三角形，ZBCD为锐角，/.ZACB为锐角.在 AABC 中，BCAC,：.ZBAC ZABC.若/B C 为钝角三角形，则N/8 C 为钝角，cos ZABC0,.A B B A C2,V5C=2V3,AB=m,AC=243+,/.m2+(2 V 3)2(2 V 3+y)2,即 2 m23 V 3 m 0,m=1 或 2,存在加=1或2,使得 4 8 C为钝角三角形。