素材 直线和圆的位置关系（第2课时）教学设计-教案课件学案说课稿知识点汇总归纳真题测试试题-初中数学九年级上册.doc

24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）（又名：切线的判定与性质）一、内容和内容解析1. 内容 切线的判定定理与性质定理2. 内容解析 在学习了直线与圆的三种位置关系之后，我们将重点研究直线和圆相切的情况这节内容是切线的图形特征和数量特征的进一步延续，是数学课程标准中“图形与几何”的重要组成部分判断直线和圆相切的方法有三种：第一种是根据圆和直线的交点个数判断（和圆只有一个公共点的直线是圆的切线）；第二种是根据圆心到直线的距离与半径的大小判断（和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线）；第三种就是根据切线的判定定理判断，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线此时，应注意定理中的两个条件“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两者缺一不可其实，切线的判定定理是从第二种方法直接得来的，只不过是为了便于应用，才改写成这样的形式切线的性质定理是判定定理的逆定理对于切线的性质定理，可以从“二个点”和“一个垂直关系”这三者之间的关系去发现二个点——圆心（点）和切点，一个垂直——过切点的半径与切线互相垂直如果一条直线满足这三个条件中的任意两个，那么它必定满足第三个条件于是便可以得到性质（1）切线垂直于过切点的半径；（2）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；（3）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理与性质定理二、目标和目标解析 1. 目标 （1）探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线 （2）理解并掌握切线的判定定理与性质定理，会利用判定定理与性质定理解决简单问题 2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能自主完成过圆上一点画出这个圆的切线，进而理解“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”反过来，也能认识到“圆的切线垂直于过切点的半径”达成目标（2）的标志是：学生能够分清判定定理和性质定理的题设和结论，并能解决简单问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法三、教学问题诊断分析学生在学习完直线和圆的位置关系后，能够说出如果d=ró直线和圆相切，但是如果直接得出切线的判定定理对多数学生而言是个挑战，困难在于如何用简练而准确的语言叙述判定定理，此时可以先从教材中的“思考”入手，逐步引导学生自己说出定理内容，教师适时给予补充和纠正，还可以让学生自己动手画图，感受定理中两个条件缺一不可另外，判定定理和性质定理中的题设和结论较为隐蔽，教师也要适时做以引导在利用判定定理和性质定理解题时，常常需要添加辅助线，学生也常常对此感到困惑。

因此，教师可以举出实例，帮助学生总结证明一条直线是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）有公共点时，连半径，证垂直；（2）无公共点时，作垂直，证半径在运用性质定理解题时，可以连半径，得垂直基于以上分析，本节课的教学难点是：引导学生得出切线的判定定理，掌握添加辅助线的方法四、教学过程设计1. 复习直线和圆的三种位置关系问题1: 图1、图2、图3中的直线l和⊙O是什么关系？如何判断这三种位置关系？师生活动：学生回顾上节课所学，教师提问：（1） 图1、图2、图3中的直线l和⊙O是什么关系？（相离、相切、相交）（2） 如何判断这三种位置关系？（可以从公共点的个数和圆心到直线的距离d和半径r的关系两个方面去判断设计意图：复习旧知，为接下来学习切线的判定定理和性质定理做准备2. 探索切线的判定定理问题2: 根据之前学过的知识，如何画出圆的一条切线？师生活动：学生动手操作，可能无从下手，教师要进行引导，可以添加一条半径，降低难度学生回答：如果添加一条半径，可以画一条直线与这条半径垂直教师追问：如果只满足“垂直于半径”这一个条件可以吗？（学生回答：还要过半径外端教师追问：如果只有“过半径外端”呢？（学生回答：还要垂直于半径。

师生活动：如果只满足“垂直于半径”这个条件，演示图1中的动画如果只满足“过半径外端”，演示图2中的动画在这个过程中，可能有些同学画的直线经过半径的外端但不一定与半径垂直，或者虽然垂直半径但不一定经过半径的外端这些问题教师都需及时关注并给予指导纠正 图1 图2设计意图：学生通过动手画图，感受直线变成切线，两个条件缺一不可问题3: 由前面学习的两个条件，你能不能总结出切线的判定定理？师生活动：学生根据两个条件，即“经过半径的外端”且“垂直于半径”总结出切线的判定定理，即经过半径的外端并且垂直半径的直线是圆的切线教师追问：判定定理中的题设和结论分别是什么？（学生回答：题设是一条直线经过半径的外端并且垂直于半径，结论是这条直线是圆的切线教师追问：分清了题设和结论，能不能把判定定理用几何语言表示出来？（学生回答：∵ OA是半径，OA⊥l于A∴ l是⊙O的切线）设计意图：通过一系列的问题串，使学生自主说出切线的判定定理分清定理的题设和结论，写出定理的几何表示也是应用定理解决问题的关键问题4: 判断直线与圆相切，你有多少种方法？师生活动：学生回答，三种方法。

分别是（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 教师补充，需要和学生说明的是，判定定理是为了便于应用直线和圆相切的定义而改写的一种形式设计意图：联系新知与旧知，总结概括出判断直线与圆相切的三种方法，为解决实际问题提供思路3. 运用判定定理解决实际问题B例1:如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线.TA师生活动：教师引导从求证出发，要想证明直线是圆的切线需要满足两个条件，题目已知过半径外端，只需证明AT与半径垂直即可设计意图：通过例1，巩固判定定理中的两个重要条件例2:如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线变式: 如图,OA=OB＝5，AB=8, ⊙O的直径为6. 求证:直线AB是⊙O的切线.师生活动：通过教师引导，学生独立完成例2和变式，体会两种证法的不同之处帮助学生总结不同题目条件下所添加辅助线的不同方法即“有公共点时，连半径，证垂直”，“无公共点时，作垂直，证半径”设计意图：教师给出两个相似的图形，对比得出不同条件下添加辅助线的不同方法。

再次强化判定定理中的两个必要条件，缺一不可3. 探索切线的性质定理问题5: 能不能写出判定定理的逆命题？师生活动：学生回答，如果一条直线是圆的切线，那么这条直线垂直于半径教师追问：垂直于任何一条半径吗？（学生回答：垂直于过切点的半径教师帮助总结性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径教师追问：如何证明这个结论？ 教师引导学生发现要证明的情况只是垂直一种，如果不能从已知出发得到结论，可以考虑用反证法如果学生不能顺利说出证明过程，教师可以进行引导：假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l，根据垂线段最短的性质，又OM

l2B师生活动：教师引导，题目条件中有l1，l2是⊙O的切线，直接通过性质定理得出l1⊥AB，l2⊥AB教师追问：如何得出l1，l2的位置关系？（学生回答：l1//l2教师追问：你的根据是什么？（学生回答：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行设计意图：通过例3，巩固切线的性质定理例4：已知：△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证： AC 是⊙O 的切线．师生活动：教师提问：（1） 证明切线有几种方法？最易于操作的是哪种？（切线的判定定理）（2） 用切线的判定定理需要满足几个条件？（两个）这两个条件已知中有吗？（没有）题目中既没有半径又没有垂直，就需要由O点作AC的垂线段OE，证明OE是⊙O的半径，这样两个条件均满足，即可证明AC是⊙O的切线3） 充分挖掘已知条件，尤其是已知中的AB与⊙O相切，你能得到什么结论？（连接OD，OD是半径且OD⊥AB）要想证明OE是半径，只需证明OE=OD即可老师点拨后，学生先分组讨论，然后独立完成解题过程，在解题时遇到的困难教师给予指导最后通过展台，由一位学生展示解题过程学生讲解后，教师进行升华总结，得到两条经验：如果直线与圆的公共点没有确定，需要过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。

这样的添辅助线的方法叫做“作垂直，证半径”如果已知直线是圆的切线，只要连接半径，得出直线垂直于半径即可，即“连半径，得垂直”设计意图：这道题结合了切线的性质定理和判定定理，是一道比较综合的题目并且通过运用性质定理解决问题，得到“连半径，得垂直”的辅助线添加方法5. 小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1） 切线的判定定理和性质定理是什么？它们有怎样的联系？（2） 在应用性质定理解题时，需要反馈什么结论？在应用判定定理解题时，需要如何添加辅助线？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——切线的判定定理和性质定理，明确两定理的题设和结论，并应用定理解决简单问题6. 布置作业教材102页10、12题五、目标检测设计ABCD1.如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，∠C=20求∠CDA的度数设计意图：考查学生对切线性质定理的掌握2. 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.设计意图：考查学生对切线判定定理的掌握。