知识梳理直线和圆的位置关系(提高).pdf

第 1 页共 10 页 直线和圆的位置关系 【考纲要求】 1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3. 逐步体会用代数方法处理几何问题的思想； 4. 直线与圆的方程的综合应用. 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：直线和圆的位置关系404994 知识要点 】 考点一：点与圆的位置关系 1点 00 (,)P xy与圆 222 :()()(0)Cxaybrr的位置关系： （1）点 P在圆 C外 222 00 ()()xaybr； （2）点 P在圆 C上 222 00 ()()xaybr； （3）点 P在圆 C内 222 00 ()()xaybr 考点二：直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点. 2. 直线与圆的位置关系的判定方法： (1) 代数法： 判断直线l与圆 C的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l与圆 C有公共点； 有两组实数解时，直线l与圆 C相交； 有一组实数解时，直线l与圆 C相切； 无实数解时，直线l与圆 C相离 . (2) 几何法： 设直线 22 :0(0)lAxByCAB，圆 222 :()()(0)Cxaybrr，圆心( , )C a b到直线 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系判定 代数方法处理解析几何问题的思想 直线与圆的位置关系判定 知识的综合应用 第 2 页共 10 页 l的距离记为 22 |AaBbC d AB ，则 : 当dr时，直线l与圆 C相交； 当dr时，直线l与圆 C相切； 当dr时，直线l与圆 C相离 . 要点诠释： (1) 当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用 到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. (2) 当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过 勾股定理解得，有时还用到垂径定理. (3) 当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 考点三：圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系： (1) 圆与圆相交，有两个公共点； (2) 圆与圆相切 ( 内切或外切 ) ，有一个公共点； (3) 圆与圆相离 ( 内含或外离 ) ，没有公共点 . 2. 圆与圆的位置关系的判定： (1) 代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2) 几何法： 圆 222 1111 :()()Cxaybr与圆 22 2222 :()()Cxaybr，两圆圆心距 22 2121 ()()daabb，则： 当 1212 rrdrr时，两圆相交； 当 12 rrd时，两圆外切； 当 12 rrd时，两圆外离； 当 12 rrd时，两圆内切； 当 12 rrd时，两圆内含. 要点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种 方法运算量小. 也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时， 两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定. 因此，在处理圆与圆的位置关 系时，一般不用代数法. 考点四：直线与圆的方程的应用 在解决实际问题和平面几何问题方面的应用时，常常运用平面几何知识，先用坐标和方程表示相应的 几何元素，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题. 要点诠释： 坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具( 即有关公式 ) 将平面图形的若干性质翻译成若干数 第 3 页共 10 页 量关系 . 在这里，代数是工具，是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在. 考点四：有关直线与圆的常用方法 1. 求圆的切线方程的常用方法： (1) 直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； (2) 待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程( 组) 解得切点坐标或切线斜率，写出点 斜式，最后将点斜式化为一般式； (3) 定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程： 过圆 222 xyr上一点 00 ,P xy的切线方程是 2 00 x xy yr； 过圆 22 2 xaybr上一点 00 ,P xy的切线方程是： 2 00 xaxaybybr. 2. 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方 程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论. 这就是用坐标法解决平面几何问题 的“三部曲”. 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 【典型例题】 类型一：直线与圆的位置关系 【高清课堂：直线和圆的位置关系404994 典型例题一 】 例 1 （1）过点 2 4 (,) 5 5 M向圆 C: 22 (1)1xy所引切线的方程为； (2)已知直线 l: ax+by+c=0和圆 O: x 2+y2=1, 那么 a2+b2 c2 是直线 l 和圆 O 相交的 ( ) 条 件？ （A） 充分非必要（B）必要非充分 （C） 充要（D）既非充分也非必要 【思路点拨】首先判定点与圆的位置关系，进一步确定切线（方程）的条数。

（1）若点在圆上，则只有一条切线，可以直接用点斜式求； （2）若点在圆外，可以判定有两条切线（两个方程），再结合图形具体求解 应用点斜式求直线方程时，应注意斜率不存在的情况 【解析】（ 1）点 2 4 (,) 5 5 M在圆 C: 22 (1)1xy上 直线CM的斜率 4 0 4 5 2 3 1 5 CM k 切线的斜率 13 4 CM k k 第 4 页共 10 页 故所求切线方程为 432 () 545 yx即3420 xy （2）答案： B 根据题意，条件：a 2+b2 c2，结论： “相交” ，显然， a 2+b2c2 “相交” 举一反三： 【变式 1】过点(3,2)M向圆 C: 22 (1)1xy引切线， 切点为M、N，则|MN= ，直线MN的 方程为； 【答案 】：2 2，10 xy 例 2已知动直线l:(3)(2)0mxmym与圆C： 22 (3)(4)9xy （1）求证 :无论m为何值，直线l与圆C总相交； （2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小并求出该最小值 【思路点拨】直线l与圆C相交圆心大直线的距离小于半径，或者直线经过圆内一定点 【解析】解法一: 设圆心(3,4)C到动直线l的距离为d，则 22 2 |(3) 3(2) 4|1 2 51 (3)(2) 2() 22 mmm d mm m . 当 5 2 m时， max 23d 故动直线l与圆C总相交，且当 5 2 m时，弦长最小，最小值为 22 2 3(2)2 7 解法二 : 直线l变形为：(1)(32 )0m xyxy. 令 023 01 yx yx ，解得 : 3 2 y x ， 故动直线l恒过定点(2,3)A 而 22 |(23)(34)23AC，点A在圆内， 故无论m为何值，直线l与圆C总相交 由平面几何知，弦心距越大，弦长越小， 过点A且垂直AC的直线被圆C所截弦长最小， 1 1 l AC k k ， 3 1 2 m m , 解得 5 2 m 此时弦长为 22 2 3|2 7AC 即当 5 2 m时，直线被圆C所截弦长最小，最小值为2 7 【总结升华】解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小 解法二从所要证的结论分析，什么样的动直线总与定圆相交？一组平行线？不可能！那么可能是过定 点的直线系，且定点必在圆内！于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决了问 题 举一反三： 【变式 1】已知直线l：2830mxym和圆C： 22 612200 xyxy. （1）mR时，证明l与C总相交。

（ 2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长 【答案】 ： （1）将直线l整理成点斜式方程32 (4)ym x，则直线l过定点(4,3)A，斜率为2km. 将圆整理为标准方程 22 (3)(6)25xy，则圆心(3, 6)C，半径5r. 第 5 页共 10 页 22 |(43)( 36)105AC. 点(4,3)A在圆C内，故mR时，l与C总相交 （2）由3 AC k，当l与C垂直时，l被C截得弦长最短， 当 1 2 3 km即 1 6 m时，弦长最短， 设弦端点为P、Q，则 22 | 2|2 15PQrAC，即最短弦长为 2 15 【变式 2】若直线 2 axbyr与圆 222 xyr相交，判断点( , )a b与圆 222 xyr的位置关系 【答案 】：直线与圆相交，则圆心到直线距离小于半径， 即 2 22 r r ab , 整理得 222 abr，即点( , )a b到圆心的距离大于半径r, 点( , )a b在圆 222 xyr外 类型二：圆与圆的位置关系 例 3. 已知圆 22 1: 10Cxy与圆 22 2: 22140Cxyxy. (1) 求证：圆 1 C与圆 2 C相交； (2) 求两圆公共弦所在直线的方程. 【解析】 (1) 因为圆 1 C的半径为10，圆心为 (0 ，0)， 圆 2 C的半径为4，圆心为( 1, 1)， 所以 22 12 |112C C， 所以 12 410|104C C， 所以两圆相交 (2) 设两圆交于点 11 (,)A x y、 22 (,)B xy， 则 A、B坐标均满足圆的方程， 即 22 11 22 1111 10, 22140. xy xyxy 两式相减，得 11 2240 xy， 即 11 20 xy 同理 22 20 xy 故 11 (,)A xy、 22 (,)B xy均满足20 xy， 所以过 A、B的直线方程为20 xy 【总结升华】 (2) 中用到了 “设而不求” 的思想， 把两个相交圆的方程相减即为公共弦所在直线的方程 举一反三： 【变式 1】过点 M(2 ，4)向圆 C：(x-1) 2+(y+3)2=1 引两条切线，切点为 P、Q，求 P、Q 所在的直线方程. 第 6 页共 10 页 【思路点拨】画出如图的示意图，根据对称性知P、Q 在以 M 点为圆心， MP 为半径的圆上.直线 PQ 为两圆的公共弦，两圆方程相减即得公共弦方程. 解： 因设 P 为切点，故有CP2+PM 2=CM2，解得 PM=7 ，易知 P、Q 在以 M 点为 圆心， MP 为半径的圆上，它的方程是(x-2) 2+(y-4)2=49，即 x2+y2 -4x-8y-29=0. 又 P、 Q 为圆 C 上的点，所以它们满足方程(x-1) 2+(y+3)2=1， 即 x2+y2-2x+6y+9=0. -，得 2x+14y+38=0 ，即 x+7y+19=0. 这就是两圆所有公共点都满足的方程， 且易知其为一直线方程.又因 P、Q 两点是两圆仅有的两个公共点，则它们确定的直 线方程也就是两圆的公共弦直线方程，即x+7y+19=0. 【总结升华】在处理问题时要想到圆的有关性质，这样可以避免繁杂的计算， 上述解答回避了求切点问题，思路简洁明了. 例 4. 已知圆 22 1: 2690Cxyxy和圆 22 2 :6210Cxyxy，求圆 1 C，圆 2 C的公切 线方程 【解析】 由圆 1 C的圆心坐标为 1( 1, 3)C，半径 1 1r，圆 2 C的圆心坐标为 2(3, 1)C，半径 2 3r， 则 1212 |C Crr，所以两圆相离，有四条公切线 设公切线方程为ykxb， 则圆 1 C到切线的距离等于 1 1r 2 | 3| 1 1 kb k 则圆 2 C。