初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用).pdf

初一数学竞赛讲义初一数学竞赛讲义重难点有效突破重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习知识点梳理及重点题型举一反三练习专题专题 0101质数那些事质数那些事阅读与思考阅读与思考一个大于 1 的自然数如果只能被 1 和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被 1和本身以外的自然数整除， 就叫作合数； 自然数 1 既不是质数， 也不是合数， 叫作单位数 这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是421 既不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数3若质数|，则必有|或|4算术基本定理：任意一个大于 1 的整数 N 能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=)正整数 N 的正约数的个数为(1)(1)(1)(1)(1)，所有正约数的和为(1，其中，为质数，为非负数( =1，2，3，例题与求解例题与求解【例【例 1 1】 已知三个质数， ， 满足=99， 那么的值等于_ (江苏省竞赛试题)解题思想：解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，的值【例【例 2 2】若为质数，5 仍为质数，则7 为() A质数B可为质数，也可为合数 C合数D既不是质数，也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想【例【例 3 3】求这样的质数，当它加上10 和 14 时，仍为质数 (上海市竞赛试题)解题思想：解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论【例【例 4 4】 将 1，2，2 004 这 2 004 个数随意排成一行，得到一个数一定是合数 若是大于 2 的正整数，求证：1 与，求证：1 中至多有一个质数 求 360 的所有正约数的倒数和 (江苏省竞赛试题)解题思想：解题思想：将 1 到 2 004 随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非 1 和本身的约数；只需说明1 与1 中必有一个是合数，不能同为质数即可；逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解【例【例 5 5】 设和是正整数， 整除，是奇质数， 并且或， 不妨设， 求的值解题思想：解题思想： 由题意变形得出 由质数的定义得到 2 1=1或 2 1=由及 2 1 为质数即可得出结论【例【例 6 6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”如 2， 3， 5， 7， 11， 13(31)， 17(71)， 37(73)， 79(97)， 113(131， 311)， 199(919， 991)， 337(373，733)，都是质数求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9 (青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字 1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2 或 5 整除能力训练能力训练A A 级级1 若， ， ， 为整数，=1997， 则自然数中，已知共有)=_，则的最小值为_=_2在 1，2，3，这个个偶数，则(3设)(个质数，个合数，个奇数，为自然数，满足 1176= (“希望杯”邀请赛试题)4已知是质数，并且3 也是质数，则48 的值为_(北京市竞赛试题)5任意调换 12345 各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( ) A4B8C12D06在 2 005，2 007，2 009 这三个数中，质数有 ( ) A0 个B1 个C2 个D3 个 (“希望杯”邀请赛试题)7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大 9，这样的两位中，质数有() A1 个B3 个C5 个D6 个 (“希望杯”邀请赛试题)8设，都是质数，并且=，0；， 跳动一次后到达， 已知：，满足|，开始，经1 次跳动的位置依次记作的值；能同时满足如下两个条件：=0； 对于整数(2)，如果存在一个(=0求整数2)被 4 除的余数，并说理理由 (2013 年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：解题思想：向右，两次向左为保证若=13，即从原点出发，经过 4 次跳动后回到原点，这就只能两次0只需将“向右”安排在前即可不妨设向右跳了步，向左跳=2 012，从经过 1 999 步到了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳设同时满足两个条件：1)步到达，=0；=0由于=0，故从原步，于)点出发，经过(是(=)=2(，假定这(1，则)(1)步中，向右跳了)(=0(步，向左跳了)()=2()()即 4|(由于1)=0，所以(1)=4(能力训练能力训练A A 级级1某班学生不到 50 人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有_人不及格2从 1 到 10 000 这 1 万个自然数中，有_个数能被 5 或能被 7 整除 (上海市竞赛试题)3一个五位数能被 11 与 9 整除，这个五位数是_4在小于 1 997 的自然数中，是 3 的倍数而不是 5 的倍数的数的个数是() A532B665 C133 D7985能整除任意三个连续整数之和的最大整数是() A1 B2 C3 D6 (江苏省竞赛试题)6用数字 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的三位数中，是9 的倍数的数有() A12 个B18 个 C20 个 D30 个 (“希望杯”邀请赛试题)7五位数是 9 的倍数，其中是 4 的倍数，那么的最小值为多少？ (黄冈市竞赛试题)8 1， 2， 3， 4， 5， 6 每个使用一次组成一个六位数字，能依次被 4，5，3，11整除，求这个六位数， 使得三位数， (上海市竞赛试题)9173是个四位数字，数学老师说： “我在这个中先后填入 3 个数字，所得到的 3个四位数，依次可被 9，11，6 整除 ”问：数学老师先后填入的这3 个数字的和是多少？ (“华罗庚金杯”邀请赛试题)B B 级级1若一个正整数被 2，3，9 这八个自然数除，所得的余数都为 1，则的最小值为_，的一般表达式为_ (“希望杯”邀请赛试题)2已知，都是正整数，若 130，且能被 21 整除，则满足条件的数对(，)共有_个 (天津市竞赛试题)3一个六位数能被 33 整除，这样的六位数中最大是_4有以下两个数串中的数的个数共有()个同时出现在这两个数串 A3335一个六位数 A4B334C335D336)个的值能被 12 整除，这样的六位数共有( B6C8D126若 1 059，1 417，2 312 分别被自然数除时，所得的余数都是，则为( ) A15B1C164D1747有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数他记下五个数：出，然后，魔术师再要求，并把这五个数加起来求出和N只要讲的大小，魔术师就能说出原数是什么如果N=3 194，请你确定 (美国数学邀请赛试题)8一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数” ，试求所有的三位“拷贝数” (武汉市竞赛试题)9一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的 6 倍，求这个三位数 (“五羊杯”竞赛试题)10一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由 (重庆市竞赛试题)11从 1，2，9 中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被 10 整除，求的最小值 (2013 年全国初中数学竞赛试题)专题专题 0202数的整除性数的整除性例例 1 1267提示：33366267例例 2 2C提示： 关于的证明： 对于 a， b 若至少有一个是 3 的倍数， 则 ab 是 3 的倍数 若a，b 都不是 3 的倍数，则有：(1)当 a3m1，b3n1 时，ab3(mn)；(2)当 a3m1，b3n2 时，ab3(mn1)；(3)当 a3m2，b3n1 时，ab3(mn1)；(4)当 a3m2，b3n2 时，ab3(mn).例例 3 3a8b0 提示：由 9(19ab)得 ab8 或 17；由 11|(3ab)得 ab8 或3例例 4 4设 x，y，z，t 是整数，并且假设 5a7b22cx(7a2b3c) 13(yazbtc).比较上式 a，b，c 的系数，应当有，取 x3，可以得到 y2，z1，t1，则有 13 (2abc)3(7a2b3c)5a7b22c 既然 3(7a2b3c)和 13(2abc)都能被 13 整除，则 5a7b22c 就能被 13 整除例例 5 5考虑到“魔术数”均为 7 的倍数，又 a1，a2，an互不相等，不妨设 a1a2an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设aikit(i1，2，3，n；t0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为 m 的“魔术数” ，因为 ai10km(k 是 m 的位数)，是 7 的倍数，当 ib 时，而 ait 除以 7 的余数都是 0，1，2，3，4，5，6 中的 6 个；当 i7 时，而 ai10k除以 7 的余数都是 0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字循环出现，当 i7 时，依抽屉原理，ai10k与 m 二者余数的和至少有一个是7，此时 ai10km 被 7 整除，即 n7例例 6 6(1)A5：0，1，2，1，0.(或 A5：0，1，0，1，0)(2)a1000139991 012(3)n被 4 除余数为 0 或 1A A 级级1 112 23 1433 339 7984 4A5 5C6 6B7 7五位数 abcde10abcde.又abcd 为 4 的倍数故最值为 1 000，又因为 abcde 为 9的倍数故 1000e 能被 9 整除，所以 e 只能取 8因此 abcde 最小值为 10 008.8 8324 561 提示：dfe 是 11 的倍数，但 6df5611，1e6，故 0dfe10，因此 dfe0，即 5fe，又 ed，f1，故 fl，e6，9 9 19提示： 173的和能被 9 整除， 故里只能填 7， 同理， 得到后两个数为 8， 4B B 级级1 12 521a2 520n1(nN )2 2573 3719 895 提示：这个数能被33 整除，故也能被3 整除于是，各位数字之和(x1989y)也能被 3 整除，故 xy 能被 3 整除4 4B5 5B6 6A 提示：两两差能被 n 整除，n179，m1647 7由题意得 acbbacbcacabcba3 194，两边加上abc得222(abc)3194abc222(abc) 2221486abc则 abc86 是 222 的倍数且 abc14设 abc86222n 考虑到 abc 是三位数，依次取 n1，2，3，4.分别得出abc 的可能值为 136，358，580，802，又因为 abc14故 abc3588 8设 N 为所求的三位“拷贝数” ，它的各位数字分别为 a，b，c(a，b，c 不全相等)将其数码重新排列后，设其中最大数为 abc，则最小数为 cba故 N abccba(100a10bc) (100c10ba)99(ac)可知 N 为 99 的倍数这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990而这 9 个数中，只有 954 459495.故 495 是唯一的三位“拷贝数” 9 9 设原六位数为 abcdef， 则 6abcdefdefabc， 即 6(1000abcdef)1000defabc，所以 994def5 999abc， 即 142def857abc， (142， 857)1， 142|abc， 857|def，而 abc，def 为三位数，abc142，def857，故 abcdef1428571010设这个数为 abcd，则 1 000a1。