数列的概念（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）.pdf

专题2 6数列的概念6题型分类彩题如工总彩先渡宝库i.数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列 斯 的第n项 斯与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列 斯 的前 W项和把数列 斯 从 第 1 项起到第n项止的各项之和，称为数列 斯的前项和，记作Sn,即*=1+2 1-H斯2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列递减数列其中常数列斯+1-鹿摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列 斯 是从正整数集N*(或它的有限子集 1,2,，)到实数集R 的函数，其自变量是序号”,对应的函数值是数列的第项斯,记为斯=角?).(Si,n1,4.已知数列 诙 的前”项 和 贝！斯=Sn Sn-l n2.1，.一 1,5.在数列 斯 中，右斯取大，贝 珞 (2 2,“G N)；右呢取小，则j(心 2,G N).彩 他 题 海 籍()sn与斯的关系问题的求解思路(1)利用斯=S,ST(、2)转化为只含s“S“-1的关系式,再求解.(2)利用&-&-1=斯(鼠 2)转化为只含斯,诙-1的关系式,再求解.题 型 1：由融与S n 的关系求通项公式1-1.(2024浙江)设数歹！j a 的前“项和为 S.若$2=4,an+i=2Sn+l,回 N*,则。

/=,Ss=.【答案】1 121【详解】试题分析：4+2 =4,%=2 q+ln q =1，2=3,再由 an+l=2Sn+l,an=2s,-+l(n 2 2)n an+l-an=2an n an+i=3n(n 2),又 4 =3 4，所以 见+i=3a(nl),S5=i-=121.【考点】等比数列的定义，等比数列的前项和.【易错点睛】由用=2S“+1转化为用=3”的过程中，一定要检验当”=1时是否满足q M=3a“，否则很容易出现错误.1 2 (2024北京)若数列 ,的前项和S,=2 一 10(=1,2,3,),则 此 数 列 的 通 项 公 式 为；数歹！也“中数值最小的项是第 项.【答案】2-11；3【详解】数列 4 的前项和5“=2-10 5 =1,2,3,),数列为等差数列，数列的通项公式 为%=5,-5“=2/1-11,数列,的通项公式为叫,=2 1-1 1”，其中数值最小的项应是最靠近对称轴 寸 的项，即 n=3,第 3 项是数列 4 中数值最小的项.1-3.(2024高三全国专题练习)已知数列%的前w项和为S“，若 =1,a2=3,且S向+=2+2s”(让 2,e N*),则数列 的通项公式为.【答案】=2-1【分析】根据5“,%之间的关系，结合累和法、等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】当2 2/w N*时，Sn+l+Sn_t=2+25 5+1-S-(5-)=2 a+1-an=T ,因为6=1,2=3,所以。

2 -6 =2,因此当 e N*时，2，于是当 2 2,EN*时，_ 1-2=q+(%q)+(%)+,，+(%)=1+2+22+2 1=-=2”1,1 2显然4=1适合，故见=2-1,故答案为：2n-l.1一 4.(2024黑龙江哈尔滨一模)数列 4 满足=1,(2S-1)=2S；(n 2,”e N*),则%=.1,n=l【答案】4=2(2 1)(2 3)解析】利用项和转换，得至U 2=-一一，故 1 是以=1为首项，2 为公差的等差数列，可得s”=,再借助a“=S“-S,i，即得解.【详解】由于4(2 S.T)=2 S 3 (S-S-1)(2S-1)=2S：2S“=即 2=-y-故 1 是 以!=1为首项，2 为公差的等差数列=l +2(n-l)=2 n-l.-.S=一S,2n-l由于 4=S“-S,T(2 2)1,2(2-1)(2-3)故答案为：an1,2(2 -1)(2 -3)【点睛】本题考查了数列递推关系，考查了学生分析问题的能力，数学运算的能力，属于中档题.由数列的递推关系求通项公式(1)形如斯+1的数列，利用累加法.(2)形如血力 =/()的数列，利 用 斯=1生 强 即可求数列 斯 的通项公式.C ln。

2 一1题 型2:累加法2-1.(2 02 4 安徽安庆 一模)数列%满足 应=“(十 (2 2 ,J=L n G N*),%=2,对于任意“e N*有%见恒成立，则 九 的 取 值 范 围 是.【答案】：，+【分析】利用累加法求出为，然后可得4,g,然后可得答案.1 1 1-2 3-2-31 _ 1 13 4-3-41 1 14 5-4-51 1 1C I 6 Z,=-=-n x (n +1)n +1从而可得一一二2 n +1即7，因为彳，所以 2 彳.2 n+1 2 2故答案为：（，+2-2.（2 02 4 高三全国专题练习）已知数列%满足4 =1 8,an+1-an=3 n,则子的最小值为【答案】9【分析】由已知可得“22时，为=4 1+3 5-1）.累加法可推得=网 上 2+1 8,进而得 出&=,+”构 造 小）=?三-4 根据对勾函数的性质，得出函数的单调性，进而根据3）=4）=9,即可得出答案.【详解】由已知可得，a,1+1=an+3n,所以当 2 2 时，有4“=%T+3（7 L1）.则有%1 8,%=4 +3 x 1,3 =2 +3 X 2 ,卬=4T+3（，T），两边分别相加可得，ax+a2+a3+/=4+%+an_1+1 8+3 x 1 +3 x 2+3（n-l）（一 1）（3+3 -3）3n（n-l=4+%+1 8 H-=a l+电+_ -F 1 8 ,所以“当雪当 =1 时，=1 8 满足条件.所以，J小.1）+1 8,2雨24 3（1）1 8 3H 1 8 3n 2 n 2 n 2、几 /x 3 x 1 8 3设 根据对勾函数的性质可知，当0 x2g时，单调递增.十 小、3 x 3 1 8 3X/（3）=+y-=9,“八 3 x 4 1 8 3 c 4）=+-=9,）2 4 2所 以，当 =3或”=4时，”有最小 值 为9.n故答案为：9.题 型 3：累乘法3-1.（2024高三全国,专题练 习）若 刍=1,an+1=2 为，则通项公式%=,【答 案】【分 析】【详 解】n(n-l)2 k由已知可得凡包=2，然后利用累乘法可求得结果.册由%=2工，得 手=2,Un所 以 生=2，=2:且=2 3,，汪=2-(22),42/1所以 1.2.幺.-=21X22 X 23X-X2-1,-1用p 以 2 1+2+3+(-1)%因为。

1,n(n l)所以=21+2+3+,+(n-1)=2 2，n(n-l)因 为q=1满足上式，所 以a=2，un 4故答案为:n(n-l)2k3-2.（2024高三 全国专题练习）在数列 or?中，4 =-几之2）,则数列 的通项公式an=.n【答 案】-na n 1【解 析】依题意可 得 广=丁，再利用累乘法求数列的通项公式；an-n a n-1【详 解】解：由%得广=下，n an-l n团X XX X an-an-2 an-3n1 n2 1 1 I二-x-x x x I =一n nl 2 n当=l时，q=l适合上式.故见=-n故答案为：n【点 睛】本题考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.3 3 (2024高三上辽宁葫芦岛期末)在数列 g 中，q=4,加/=5 +2)4，则数列 g 的通项公式为(eN*)【答 案】2(+1)【分 析】“口 n+2由题意可得包=an n,然后利用累乘法可求得结果.【详 解】因为加%4=(+2)4,所 以%n+2n所以2 _ 313 _ 2 24=53 3*an=+1*2 an_x M-1所以幺dy 2 3%一1an-2a 二 3x 4 x5 x x-n-x-n-+an 1,1 2 3 n-2 n-1 1所以an n(n+1)an n(n+1)ax 2 ax 2因 为4=4,所 以%=2(+l),q =4符号该式,故答案为：2附(+1)彩 得 甄 淞 籍(二)数列的性质(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根 据 诙+i a的符号判断数列 为 是递增数列、递减数列还是常数列.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.题 型4:数 列的单调性4-L(2024北京二模)设数列%的前项和为S“，且V eN*，3 2 Sf.请写出一个满足条件的数 列 q 的 通 项 公 式%=.【答案】-6（答案不唯一）【分析】由题意确定数列的特征，然后结合数列的特征给出满足题意的数列的通项公式即可.【详解】因为V e N*,%+i q,则数列“是递增的,X V n eN*,S S6,所以$6最小，数列 q从第7项开始为正，而4 W0，因此不妨设数列为等差数列，公差为1,6=0,所以，满足条件的数列%的一个通项公式a=n-6.故答案为：-6（答案不唯一）.4 2（2 0 2 4高一下上海闵行期末）已知数列 凡 的前项和为兀 S“=f 2+2 +Me N*）,若 。

为递减数列，则 实 数 几 的 取 值 范 围 是.【答案】（-2,+8）+=1【分析】根据S “求出%=c、c，再由数列是减数列，得到%出，进而可求出结果.-2n+3,n2【详解】因为数列 4 的前项和为S“，S=/+2 +4（N*）,所以，=（-+2 +4）-（-1）+2（-1）+，=-2 +3（2）,又%=S =l+2 +X =/l+l,+=1则4=2n+3,n 2因为22时，数列%显然是减数列，为使“eN*时，%为递减数列，只需4 外,即2 +1 -1,所以彳 一2.故答案为：（-2,也）【点睛】本题主要考查由数列的增减性求参数，考查由数列的前项和求通项公式，属于常考题型.4-3.（2 0 2 4高二下北京顺义阶段练习）已知数列 叫的通项公式为%=|2-4 N*）.写出一个能使数列%是递增数列的实数b的值_.（写出一个满足条件的即可）【答案】答案不唯一，只要填的值在（一*3）均可【分析】结合x）=|2 x-6|分析即可得出能使数列%是递增数列的充要条件为/（2）/设/（元）=,2x-b，结合图像可知，数列 4 是递增数列等价于/（2）/（I）即|4-6|2-6|,即 1 6-8 6+炉 4-4 6+片,解得3 0 恒成立，由此能求出实数4 的取值范围.【详解】解：数列 凡 的通项公式为%=/+而，eN*,数列 凡 是递增数列，。

1%=（w +1）2+4（+1）（+A 7 2）=2 zz+1+2 0 T 旦成乂2 n +l +A 的最、值是2 x l+l+/l =3 +/l 0A.-3即实数4 的取值范围是（-3,+8）.故答案为：（-3,+8）.题 型 5:数列的周期性5-1.（2 0 2 4高三 全国专题练习）在数列 q 中，q=7,4=24,对所有的正整数 都有 用=2，则0 2 0 2 4=（）A.-7 B.24 C.-13 D.25【答案】B【分析】由%M=%+%+2 得 +6=-?+3=”,得到数列的周期，进而解决问题.（详解 1 由 4+1 =an+4+2 得 4+2,=%+%+3，两式相加得3 =an，-an+6=an+3 =Un，4 是以6为周期的数列，而 2024=337 x 6+2,“2 0 2 4=%=24.故选：B.5-2.(2024北京通州 三模)数列%中，=2,%=4，/_陷向=2 2),则为0 2 3 =()1 1A.-B.-C.2 D.44 2【答案】C【分析】根据题意，分别求得见,%，5 ，即可得到数列%的周期，从而得到结果.【详解】因为岬=2,a2=4,an_xan=an(n 2),令=2,则q生二出，求得名 =2,令=3,则。