八年级第六讲换元法和添项拆项法.pdf

名师堂八年级数学第六讲换元法和添项拆项法分解因式前面我们已学过了提取公因式法，应用公因式法，十字相乘法，分组分解法这四种基本的分解因式的方法，下面我们再介绍几种因式分解的方法：1、换元法（1）直接换元法例 1用换元法分解因式（x2+4xy+y2）2-18xy(x2+y2), 观察多项式中含x2+y2,xy, 因此我们可以设x2+y2=m, xy=n, 用含 m,n 的代数式表示原式，再将原式分解因式试一试，你能用换元法分解下面的多项式吗？（a2+b2） （a2+b2-10 ）+25 例 2用换元法分解因式（x2+8x+7） （x2+8x+15）-9, 观察多项式中两括号中都有x2+8x, 因此我们可设x2+8x=m,用含有 m的代数式表示原式，再分解：例 3. 分解因式（3x2+24x+7）(2x2+16x+15)+14, 观察发现两括号中二次项、一次项系数的比为3：24=2：16，因此可以用换元法分解：解：试试看：你能用换元法分解下面多项式的因式分解（3x2+24x+7）(x2+8x+15)-41 (2) 组合换元法例 4分解因式（x+1） （x+3） （x+5） （x+7）-9, 观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为1+7=3+5 ，因此也可用组合换元法分解因式。

解：试一试：分解因式（ x-1 ） （x-2 ） （x-3 ） （x-4 ）-24 例 5. 证明四个连续正整数的积与1 的和是一个完全平方：解：2、基础训练用换元法分解因式(1)(x2+y2)(x2+y2-8)+16 (2)(x2+y2)(2x2+2y2-3)-5 (3)(x2+2x-5)(x2+2x-6)-6 (4)(x2+x+2)(x2+x-4)-16 (5)(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)+16 (6)(x-6)(x-3)(x-1)(x+2)+56 (4) 利用因式分解解答下列各题已知： 4m2+12mn+9n2-6m-9n=0, 且 2m+3n 3求 3(m-3n)3+27m2(3n-m) 的值已知一个三角形的三边a、b、c 满足 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0, 试判断这个三角形的形状，并证明你的结论5) 已知 x2+3x-2=0，求 x3+5x2+4x-10 的值第二部分添项和拆项法一、知识梳理1、 添项拆项法有的多项式由于“缺项” ，或“并项”因此不能直接分解但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了，那么添项和拆项有没有标准？一般来说， 添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。

如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的2、待定系数法有些多项式不能直接分解因式， 我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式然后再把积乘出来用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式二、典例精讲专题一：添项拆项法例1 分解下列各式的因式（1）x4+4 (2) 2x2+x-1 例2 分解因式： x3-3x+2 例3 分解因式： x3-9x+8变式训练：（1）x4+x2+1 (2)x4+64 (3)x4-7x-2 。