第一章极限运算法则07260.ppt

极限运算法那么 本节讨论极限的求法利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现为此需要介绍极限的运算法那么首先来介绍无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义1.定义:极限为零的变量称为无穷小.例如,注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系:证 必要性充分性意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.无界，不是无穷大证三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四、极限运算法那么定理证由无穷小运算法那么,得有界，注此定理对于数列同样成立此定理证明的根本原那么：(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数 (2)有两个重要的推论推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立五、求极限方法举例例1解小结:例2解商的法那么不能用由无穷小与无穷大的关系,得例3解(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限. 由以上几例可见，在应用极限的四那么运算法那么求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。

六、复合函数极限定理 复合函数极限运算法那么变量代换法那么证由极限定义得此定理说明：那么可作代换极限过程的转化注可得类似的定理无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:1 无穷小 大是变量,不能与很小大的数混淆，零是唯一的无穷小的数；2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小.3 无界变量未必是无穷大.六、小结3.极限的四那么运算法那么及其推论;4.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.考虑题1考虑题2 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？考虑题1解答不能保证.例有考虑题2解答没有极限假设 有极限，有极限，由极限运算法那么可知：必有极限，与矛盾，故假设错误。