2024年高考数专项复习：导数的综合应用.pdf

导数及其应用2024年高考数专项复习第4 讲 导数应用综合知识要点复习回顾求曲线的切线研究函数的单调性单增单减研究函数的极值与最值与端点函数值研究函数图像的大致形状典型例题分析X例1函数/(%)=-2 s i n%的图象大致是解析:例 2 设函数/(x)=；x l n x(x 0),则 y =f(x)A在区间J 1,(1,e)内均有零点B在 区 间 内 均 无 零 点C在 区 间,1 内有零点，在区间(1,e)内无零点D 在 区 间 内 无 零 点，在区间(l,e)内有零点解析：思考：研究函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(a w 0)的单调性.k例 3 已知函数 f(x)=l n(l+x)-x+x2(k O).(I)当 k=2时，求曲线y =/(%)在点(1,/(1)处的切线方程;(I I)求 y =/(x)的单调区间.解析：例 4 设20,/(x)=x-1 -I n2%+2a I n x(x 0),(1)令/(x)=W(x),讨论尸(x)在(0,+o o)内的单调性并求极值；(2)求证:当x 1时恒有尤Ai n?x-2al n x+l解析：第3讲 导数的应用(二)知识要点一、函数的极值定义：一般地，设函数/(%)在/点有定义，(1)如果对于X。

附近的用有息，都有：/(%)/(x0),称/(%)为函数/(%)的一个极小值，记作y极小值=/(%)，后称为了(龙)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点注意：(1)区间端点不是极值点2)极值是一个局部概念，可以有多个极大(小)值，函数的极小值不一定比极大值小，函数也不一定有极值3)一阶导数为零的点，称为驻点不要将极值点与导数为零的点混为一谈，（导数为零）驻点是对可导函数而言的，而极值点对不可导函数、甚至对不连续函数也是有意义的，只有可导函数的极值点才是驻点利用导数求极值的步骤：（1）求定义域；（2）求导数广（x）；（3）解 方 程/（无）=0；（4）列表：看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点注意：无定义的点不用在表中列出（5）依表给结论：二、函数的最大值最小值1、最值定理:闭区间上连续函数（连续不间断曲线）一定有最值2、求可导函数人x）在闭区间 a,句上最值的一般步骤：（1）求出八元）在（a力）内的全部极值点（至多有限个点）；（2）计算出函数值兀ri），H X2）,人 尤 n）,以及五a）与五b）；（3）比较上述值的大小，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

典型例题分析例 1 讨论函数/（x）=x4 5/+2/+1（x eR）的单调性并求极值.解法：例 2.求函数/（X）=炉+1 在区间 一 1,2 上的最大值与最小值解法:例 3 函数/(x)的定义域为开区间(/)，导函数尸(x)在(a,勿内的图象如图所示，则函数/(x)在开区间(a,6)内有极小值点(A.1 个分析与解:4个例 4 已知函数/(x)=三-x .(1)求曲线y =/(x)在点7)处的切线方程；(2)设0,如果过点(a,A)可作曲线y =/(x)的三条切线,证明：-a /(:).解析：定积分的概念问题一、曲边梯形的面积问题二、变速直线运动的路程已知做变速直线运动的物体速度与时间之间的关系为v(t)=-t2+2那么从t=o 至 U t=i 时间内，该物体经过的路程是多少？解：1.分割2.近似代替3.求和4.取极限问题三、变力做功弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力E(x)=f c c(左为常数，%是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所作的功.一、定积分的概念设函数7=/(%)定义在区间 3,6 上，用分点a=x0 x；x2 xn=b把区间 当切分为n个小区间，其长度依次为A x;.=x;+-xz,i =0,1,2,n-l.记丸为这些小区间长度的最大值，当丸趋近于o 时，所有区间的长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点4,n-1作 和 式=Z/)板,，1=0当 丸-0时，如果和式的极限存在，把和式的极限叫做函数/(x)在区间a,切上的定积分，记作|f(x)dx.Jab1定积分的相关名称：f-叫做积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)dx 一叫做被积表达式,x-叫做积分变量，a-叫做积分下限，b-叫做积分上限，a,b 一叫做积分区间。

说明：(1)(2)(3)二、定积分的几何意义(1)当/(x)N 0 时(2)当/(x)0 时三、定积分的基本性质i.k f x d x =k/(%)但(其 中 左 为 常 数)2.1/(%)土 g(%)=1/(%)公土 g x d xJaJ J a J arb c rb3.7(%)d%=f(X)d x+/(%)公，(其中 ac)J a J a J c例.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）.那么对于图中给定的才0和下列判断中一定正确的是（）A.在时刻，甲车在乙车前面B.4时刻后，甲车在乙车后面C.在/0时刻，两车的位置相同D.时刻后，乙车在甲车前面微积分基本定理一、回顾定积分的背景b/（x）d x 的几何背景a/（x）d x 的物理背景二、牛顿-莱布尼兹公式定 理（微积分基本定理）例1.计算下列定积分 2 1 r 3(1)I dx(2)J 2xdxi x解析:练习：(1)f dx(2)f xdxJo J o(3)x3dx(4)j xtdx基本初等函数的导数公式积分公式表定积分的基本性质例2.计算下列定积分(2 ，(1)1(x+x+l)dx(2)J。

sinx+cosx)dx(3)j 2cxdx(4)j(x4+3x2+V)dx(5)J 3(%+sinx)dx解析:2 2x,0 x 1例 3.计算 J 0/(x)心;，其中/(%)=5；X1-W=J而 办=）而2 ；左/2（刃例 5.设地球质量为M,半径为R,引力常数为G,求把质量为m（单位：kg）的物体从地球表面升高h（单位：m）所作的功.巾 GMmhW=-R（R+h）。