2024年高考数学试卷（上海）（秋考）【含答案、解析】.docx

2024年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设全集，集合，则______．2. 已知则______．3. 已知则不等式的解集为______．4. 已知，，且是奇函数，则______．5. 已知，且，则的值为______．6. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．7. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．8. 某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．9. 已知虚数，其实部1，且，则实数为______．10. 设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．11. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)12. 无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）A. 气候温度高，海水表层温度就高B. 气候温度高，海水表层温度就低C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14. 下列函数的最小正周期是的是（ ）A. B. C. D. 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值C. 存在是严格增函数 D. 存在在处取到极小值三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．18. 若．（1）过，求解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）20. 已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．21. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．2024年上海市高考数学试卷【题后含答案、解析】一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设全集，集合，则______．【答案】【解析】【详解】由题设有，故答案为：2. 已知则______．【答案】【解析】【详解】因故，故答案为：.3. 已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4. 已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5. 已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【详解】，，解得．故答案为：15．6. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8. 某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10. 设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12. 无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）A 气候温度高，海水表层温度就高B. 气候温度高，海水表层温度就低C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14. 下列函数的最小正周期是的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16. 已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值C. 存在是严格增函数 D. 存在在处取到极小值【答案】B【解析】【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1） （2）【解析】【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18. 若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩优秀544423。