2013年高考数学试卷（文）（上海）【含答案、解析】.doc

2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式＜0的解为 .2.在等差数列中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，则a2+ a3= .3.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .4.已知=0，=1，则y= .5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .7.设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= .8.方程的实数解为 .9.若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= .10.已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则= .11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.12.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .13.设常数a＞0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为 .14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是 .二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.函数（x≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ ）（A）（B）－（C）1+（D）1－16.设常数a∈R，集合A=，B=.若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）（A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞）17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件18、当点（x,y）分别在，，…上时，x+y的最大值分别是M1,M2,…，则=( )（A）0 （B） （C）2 （D）三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数ω＞0.（1）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如图，已知双曲线C1:，曲线C2:.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1、C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”.（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”；（3）求证：圆内的点都不是“C1-C2型点”.以下内容，题后含答案、解析2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式＜0的解为 .【答案】 【解析】2.在等差数列中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，则a2+ a3= 15 .【答案】 15【解析】 3.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .【答案】 -2【解析】 4.已知=0，=1，则y= 1 .【答案】 1【解析】 5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .【答案】 【解析】6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 .【答案】 78【解析】 7.设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= -2 .【答案】 -2【解析】8.方程的实数解为 .【答案】 【解析】9.若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= .【答案】 【解析】 10.已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则= .【答案】 【解析】 11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】 【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

12.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .【答案】 【解析】 如右图所示13.设常数a＞0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为 .【答案】 【解析】 考查均值不等式的应用14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是 -5 .【答案】 -5【解析】 根据对称性，二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.函数（x≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ A ）（A）（B）－（C）1+（D）1－【答案】 A【解析】 选A16.设常数a∈R，集合A=，B=.若A∪B=R，则a的取值范围为（ B ）（A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞）【答案】 B【解析】 方法：代值法，排除法当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，综上，选B标准解法如下: .选B17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ）（A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件【答案】 A【解析】 选A18、当点（x,y）分别在，，…上时，x+y的最大值分别是M1,M2,…，则=( D )（A）0 （B） （C）2 （D）【答案】 D【解析】 选D三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。

答案】 【解析】 所以，20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【答案】 （1） 见下 （2）当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元解析】 （1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间小时， 所获得的利润 所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（证毕）（2） 由（1）知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润由二次函数的知识可知，当=，即x=6时，所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数ω＞0.（1）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.【答案】 （1） （2） 20,21【解析】 （1）（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x):.所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知函数，无穷数列满足an。