《离散数学》题库及答案汇编.pdf

离散数学题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)Q=Q P (2)Q=P Q (3)P=PQ (4)P (PQ)=P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（ 4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)( P Q)(QR) (2)P () (3)(PQ)P (4)P(PQ) 答：（ 2），（ 3），（ 4） 可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=PQ (2) PQ=P (3) PQ=P Q (4)P(PQ)=Q (5) (PQ)=P (6) P (PQ)= P 答：（2）是第三章的化简律，（ 3）类似附加律，（ 4）是假言推理，（ 3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式 x(A(x)B(y，x)z C(y ，z)D(x) 中，自由变元是 ( )，约束变元是 ( )答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和 x A中，称x 为指导变元， A为量词的辖域在x A 和 x A 的辖域中， x 的所有出现都称为约束出现，即称x 为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。

于是A(x) 、B(y，x) 和 z C(y，z) 中 y 为自由变元， x 和 z 为约束变元，在 D(x) 中 x 为自由变元）5、判断下列语句是不是命题若是，给出命题的真值 ) (1) 北京是中华人民共和国的首都 (2) 陕西师大是一座工厂3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若 7+818，则三角形有 4 条边5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是（6）不是 （命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是 ( )答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在， 换成 ”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”）7、设 P：我生病， Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PQ（注意“只有才”和“除非就”两者都是一个形式的）（2）QP（3）QP（4）QP8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（ 1）对任一整数 x 存在整数 y 满足 x+y=0 （2）存在整数 y 对任一整数 x 满足 x+y=0 9、设全体域 D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（ 1） F ( 反证法：假若存在，则（ x- 1）*y=0 对所有的 x 都成立，显然这个与前提条件相矛盾 ) （2） F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数 x 存在整数 y满足条件 y=2x 很明显是正确的）10、设谓词 P(x) ：x 是奇数， Q(x)：x 是偶数，谓词公式x(P(x)Q(x) 在哪个个体域中为真 ?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)-(3)均成立答：（1）（在某个体域中满足不是奇数就是偶数，在整数域中才满足条件，而自然数子整数的子集，当然满足条件了）11、命题“ 2 是偶数或 -3 是负数”的否定是（）答：2 不是偶数且 -3 不是负数12、永真式的否定是（）(1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)-(3)均有可能答：（ 2）（这个记住就行了）13、公式(P Q)(PQ)化简为（），公式 Q(P(PQ) 可化简为（）。

答：P ，QP（考查分配率和蕴含等值式知识的掌握）14、谓词公式x(P(x)yR(y)Q(x)中量词 x 的辖域是（）答：P(x)yR(y) （一对括号就是一个辖域）15、令 R(x):x是实数，Q(x):x 是有理数则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）答：x(R(x)Q(x) （集合论部分）16、设 A=a,a，下列命题错误的是（）1) aP(A) (2) aP(A) (3) aP(A) (4) aP(A) 答：(2) （a 是 P（A）的一个元素）17、在 0（）之间写上正确的符号1) = (2) (3) (4) 答：(4) （空集没有任何元素，且是任何集合的子集）18、若集合 S的基数 |S|=5 ，则 S的幂集的基数 |P(S)|= （）答：32（2 的 5 次方 考查幂集的定义，即幂集是集合S的全体子集构成的集合）19、设 P=x|(x+1)24 且 x R,Q=x|5x2+16 且 xR, 则下列命题哪个正确（） (1) QP (2) QP (3) PQ (4) P=Q 答：（ 3）（Q是集合 R，P只是 R中的一部分，所以P是 Q的真子集）20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。

1) A1=a,b (2) A2=b,a (3) A3=a,b,a (4) A4=a,b,c (5) A5=x|(x-a)(x-b)(x-c)=0 (6) A6=x|x2-(a+b)x+ab=0 答：A1=A2=A3=A6 ， A4=A5（集合具有无序性、确定性和互异性）21、若 A-B=，则下列哪个结论不可能正确？( ) (1) A= (2) B=(3) AB (4) BA 答：（ 4）（差集的定义）22、判断下列命题哪个为真?( ) (1) A-B=B-A = A=B (2) 空集是任何集合的真子集(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若 A的一个元素属于 B，则 A=B 答：（ 1）（考查空集和差集的相关知识）23、判断下列命题哪几个为正确？( ) (1) , (2) , (3) (4) (5) a,ba,b,a,b 答：（ 2），（ 4）24、判断下列命题哪几个正确？( ) (1) 所有空集都不相等 (2) (4) 若 A为非空集，则 A A成立答：（ 2）25、设AB=A C，AB=AC，则 B( )C答：=（等于）26、判断下列命题哪几个正确？( ) (1) 若 ABAC，则 BC (2) a,b=b,a (3) P(A B)P(A)P(B) （P(S)表示 S的幂集）(4) 若 A为非空集，则 A AA成立。

答：（ 2）27、，是三个集合，则下列哪几个推理正确：(1) AB，BC= A C (2) AB，B C= AB (3) A B，BC= AC 答：（1） （3）的反例 C 为0，1，0 B 为0，1，A为 1 很明显结论不对）（二元关系部分）28、设1,2,3,4,5,6，B=1,2,3 ，从到 B的关系 x,y |x=y2求(1)R (2) R-1 答：（ 1）R=, (2) R1=,（考查二元关系的定义，R1为 R的逆关系，即 R1= | R）29、举出集合 A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子 ) 答：A上的恒等关系30、集合 A上的等价关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、对称性和传递性31、集合 A上的偏序关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、反对称性和传递性( 题 29，30，31 全是考查定义 ) 32、设 S=, , ，上的关系1,2 ，2,1 ，2,3 ，3,4 求(1)RR (2) R-1答：R R =1,1 ， 1,3， 2,2， 2,4（考查 FG=|t(F G) ）R-1 =2,1 ， 1,2 ， 3,2 ， 4,3 33、设1，2，3，4，5，6，是 A上的整除关系， 求 R= ( ) R=, 34、 设1,2,3,4,5,6 ， B=1,2,3 ， 从到 B的关系 x,y |x=2y ，求(1)R (2) R-1 。

答：（1）R=, (2) R1=,(36 35、 设1,2,3,4,5,6 ， B=1,2,3 ， 从到 B的关系 x,y |x=y2 ，求 R和 R-1的关系矩阵答：R的关系矩阵 =000000001000000001 R1的关系矩阵 =00000001000000000136、集合 A=1,2, ,10 上的关系 R=|x+y=10,x,yA，则 R 的性质为（）1) 自反的(2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的答：（ 2）（考查自反对称 传递的定义）（代数系统部分）37、设 A=2,4,6 ，A上的二元运算 *定义为：a*b=maxa,b ，则在独异点 中，单位元是 ( )，零元是 ( )答：2，6（单位元和零元的定义，单位元：ex=x 零元： x=）38、设 A=3,6,9 ，A上的二元运算 *定义为：a*b=mina,b ，则在独异点 中，单位元是 ( )，零元是 ( )；答：9，3 （半群与群部分）39、设G,* 是一个群，则(1) 若 a,b,x G ，a x=b，则 x=( )；(2) 若 a,b,x G ，a x=a b，则 x=( )答： （1） a1b （2） b （考查群的性质，即群满足消去律）40、设 a 是 12 阶群的生成元，则 a2是( )阶元素， a3是( )阶元素。

答： 6,4 41、代数系统 是一个群，则 G的等幂元是 ( ) 答：单位元（由a2=a,用归纳法可证an=a*a(n-1)=a*a=a，所以等幂元一定是幂等元，反之若 an=a对一切 N 成立， 则对 n=2也成立，所以幂等元一定是等幂元， 并且在 群 中 ， 除 幺 元 即 单 位 元 e 外 不 可 能 有 任 何 别 的 幂 等 元 ）42、设 a 是 10 阶群的生成元，则 a4是( )阶元素， a3是( )阶元素答：5，10（若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G 是由元 a 生成的，并且用符号G=表示，且称a 为一个生成元并且一元素的阶整除群的阶）43、群的等幂元是 ( ) ，有( ) 个答：单位元， 1 （在 群 中 ， 除 幺 元 即 单 位 元 e 外 不 可 能 有 任 何 别 的 幂 等元 ）44、素数阶群一定是 ( )群, 它的生成元是 ( )答：循环群，任一非单位元（证明如下：任一元素的阶整除群的阶现在群的阶是素数p，所以元素的阶要么是1 要么是 pG 中只有一个单位元，其它元素的阶都不等于1，所以都是 p。

任取一个非单位元，它的阶等于p，所以它生成的 G 的循环子群的阶也是p，从而等于整个群 G所以 G 等于它的任一非单位元生成的循环群）45、设G,* 是一个群， a,b,c G ，则(1) 若 c a=b，则 c=( )；(2) 若 c a=b a，则 c=( )答：（ 1） b1a (2) b（群的性质）46、是的子群的充分必要条件是( )答：是群 或 a ，b G ， abH，a-1H 或 a,b G ，a b-1H 47、群A,* 的等幂元有 ( ) 个，是 ( ) ，零元有 ( ) 个答：1，单位元， 0 48、在一个群 G,*中，若 G中的元素 a 的阶是 k，则 a-1的阶是 ( )答：k 49、在自然数集 N上，下列哪种运算是可结合的？（） (1) a*b=a-b (2) a*b=maxa,b (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2) 50、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）1) 不可能是群(2) 不一定是群(3) 一定是群(4) 是交换群答：(1) 51、6 阶有限群的任何子群一定不是（）1) 2阶(2) 3 阶 (3) 4 阶(4) 6 阶答：(3) （格与布尔代数部分）52、下列哪个偏序集构成有界格（）(1) （N,）(2) （Z,）(3) （2,3。