全国初中数学竞赛辅导(初1)上.doc

全国初中数学竞赛全国初中数学竞赛( (初一初一) ) （上）（上） 目录目录第一讲第一讲 有理数的有理数的巧巧算算……………………………………………………………………………………………………………………（（1 1））第二讲第二讲 绝对值绝对值……………………………………………………………………………………………………………………………………（（1010））第三讲第三讲 求代数式的值求代数式的值……………………………………………………………………………………………………………………（（1717））第四讲第四讲 一元一次方程一元一次方程……………………………………………………………………………………………………………………（（2424））第五讲第五讲 方程组的解法方程组的解法……………………………………………………………………………………………………………………（（3232））第六讲第六讲 一次不等式一次不等式( (不等式组不等式组) )的解法的解法………………………………………………………………………………（（4040））第七讲第七讲 含绝对值的方程及不等式含绝对值的方程及不等式…………………………………………………………………………………………（（4747））第八讲第八讲 不等式的不等式的应应用用……………………………………………………………………………………………………………………（（5656））第九讲第九讲 ““设而不求设而不求””的的未未知数知数………………………………………………………………………………………………（（6464）） 第十讲第十讲 整式的整式的乘乘法与除法法与除法…………………………………………………………………………………………………………（（7373））第十一讲第十一讲 线段线段与与角角……………………………………………………………………………………………………………………（（7979））第十二讲第十二讲 平行线平行线问问题题……………………………………………………………………………………………………………………（（8888））2第一讲第一讲 有理数的巧算有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关 概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还 要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解 决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1 1．括号的使用．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变 运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例例 1 1 计算：分析分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它 既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理 数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变 化．3注意注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数， 这样便于计算．例例 2 2 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．分析分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简 单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技 巧．例例 3 3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如 果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系 列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对 n 的奇偶性进行讨论：当 n 为偶数时，上式是 n／2 个(-1)的和，所以有4当 n 为奇数时，上式是(n-1)／2 个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n， 所以有例例 4 4 在数 1，2，3，…，1998 前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能 的最小非负数是多少？分析与解分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在 1，2，3，…，1998 之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在 1，2，3，…，1998 中有 1998÷2 个奇数，即有 999 个奇数，所以任意添加符号 “+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于 1．现考虑在自然数 n，n+1，n+2，n+3 之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将 1，2，3，…，1998 每连续四个数分为一组，再按上述规则添加 符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是 1．说明说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简 化．2 2．用字母表示数．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母 a 代换 100，用字母 b 代换 2，上述运算 过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程， 可直接利用该公式计算．例例 5 5 计算 3001×2999 的值．解解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．5例例 6 6 计算 103×97×10 009 的值．解解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例例 7 7 计算：分析与解分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母 n=12 346，那么 12 345=n-1，12 347=n+1，于是 分母变为 n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是 1，所以原式=24 690．例例 8 8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析分析 式子中 2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有 一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例例 9 9 计算：分析分析 在前面的例题中，应用过公式 (a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．6通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再 看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例例 1010 计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3 3．观察算式找规律．观察算式找规律7例例 1111 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92， 95，88．分析与解分析与解 若直接把 20 个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些 数均在 90 上下，所以可取 90 为基准数，大于 90 的数取“正”，小于 90 的数取 “负”，考察这 20 个数与 90 的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例例 1212 计算 1+3+5+7+…+1997+1999 的值． 分析分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于 2；其 次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于 2000，于是可有如 下解法．解解 用字母 S 表示所求算式，即 S=1+3+5+…+1997+1999． ①再将 S 各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+…+3+1． ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500 个 2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题 3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于 2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中 的“倒写相加”的方法解决．例例 1313 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的 5 倍．如果将和 式各项都乘以 5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式 相减将使差易于计算．解解 设 S=1+5+52+…+599+5100， ①8所以 5S=5+52+53+…+5100+5101． ②②—①得 4S=5101-1，说明说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于 5)， 那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例例 1414 计算： 分析分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但 不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法． 解解 由于 所以说明说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这 种方法在有理数巧算中很常用．9练习一练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+…+244；2．某小组 20 名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78， 74，85．10第二讲第二讲 绝对值绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒 等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同 学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对 值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴 上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反。