信息光学导论第四章new.doc

第四章 标量衍射理论如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题．4.1 标量衍射理论◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A．J．Fresnel，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图 参见上图，设波前上任一面元dS对场点P贡献的次级扰动为，则场点的总扰动按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为其中上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式◆基尔霍夫衍射积分式约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在，即条件下，导出了无源空间边值定解的表达式，与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基尔霍夫的新贡献是：(1)明确了倾斜因子，据此，那些的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献．(2)给出了比例系数，．(3)指出波前面()并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c） 所示．形象地说，立足于场点P而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。

◆亥姆霍兹方程在自由空间中电磁场具有波动性，满足波动方程若以标量场代表六个分量中的任一个，则波动方程表现为而定态波函数的一般形式为这意味着，定态波场中每点均作谐振动且各点频率相同．而复振幅是稳定的，仅与位置有关，而与时间无关．代入以上波动方程，得到人们更喜欢写成以下形式这便是经常被提到的亥姆霍兹定态波方程．据此，可以进一步确认（平面波解），（球面波解）均满足亥姆霍兹方程◆基尔霍夫边界条件与傍轴衍射积分公式菲涅耳提出的次波相干叠加的衍射原理，显然不是为了给山自由传播的光场，而是为了求解光通过屏障以后的衍射场． 为了将衍射积分面为闭合波前转换为有限的光孔面，基尔霍夫提出了关于边界条件的假设参见图，取闭合面基尔霍夫提出： (1)无穷远面()上的波前对场点的贡献为零，即． (2)光屏面()是对光的反射和吸收，其上波前函数为零，它对场点无贡献，即．(3)只有光孔面()的波前对场点有贡献，且假设其波前函数等于无屏障时自由传播的光场，即． 据此，衍射积分面便只限于光孔面()，衍射积分式简化为基尔霍夫边界条件的假设，其内容的主要方面是合理和正确的，但从严格的电磁波理论审视，它有不自治和不严格之处。

比如，光屏面上的光场为零，而一旦过边缘进入光孔就有了光场，这种场的突变，是不满足电磁场边值关系的；与此相关．屏障材料或是金属或是介质不可能不影响光孔面上的光场分布，认为此时的光场依然是无屏降时的自由光场，这就欠妥了；还有，无穷远处那里的波前函数虽然趋于零，但其积分面也是元穷大，积分结果对场点的贡献是否为零，结论并不显然．严格的光波衍射理论应当是高频电磁场的矢量波衍射理论．严格理论下的边界情况与基尔霍夫边界条件给出的场分布的显著差别，仅局限于光孔边缘邻近区域、波长最级的范围内由于光波长往往远小于光孔线度，故采用基尔程夫边界条件计算远处区域的衍射场，与实际情况的偏差个大，实验观测也证认了这一点更常见的情况是在倍轴条件下求解衍射场，参见下图．设光屏面()的坐标原点为O，其上次波源，场点所谓傍轴条件是指倾角，于是，倾斜因子球面次波函数得到傍轴条件衍射积分公式，这是今后我们定量汁算衍射场的常用公式．此式表明，不同的光孔形状()，或不同的瞳函数即波前函数，将造成不同的衍射场，而积分核总是这个形式． 至此，我们从菲涅尔提出的次波相干叠加的衍射原理出发，建立了光的标量波衍射理论，它适用于傍油条件下自然光的衍射。

按理说，若光源发射自然光，则其波前上次波源发射的次波也是白然光，这大量的偏振结构为自然光的次波，在傍轴条件下的相干叠加，可以用标量叠加来处理，其近似程度是很好的，由此不难理解标量波衍射理论的使用条件．4.2 衍射系统及其分类 菲涅耳衍射与夫琅和费衍射凡是使波前上的复振幅分布发生改变的物结构，统称为衍射屏．衍射屏的品种是多种多样的，有透射屏，也有反射屏；有诸如单缝、短孔、圆孔等一类中间开孔型的，也有小球、细丝、跟点、颗粒等一类中间闭光型的；有光栅、波带片等一类周期结构，也有包含景物、数码、字符等信息的黑白底片这类复杂的非周期结构，还有如透镜等一类相位型的衍射屏． 以衍射屏为界，整个衍射系统分成前后两部分，如图所示．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单．常用球面波或平面波，这两种波的等相面与等幅面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射光波比较复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等相面与等幅面一般不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成衍射图样．在无成像的衍射系统中，通常按光源、衍射屏、接收屏三者之间距离的远近而将衍射(系统)分为两大类，见图所示．一类是菲涅耳衍射，指的是光源一衍射屏、衍射屏一接收屏之间的距离均为有限远，或其中之一是有限远的场合，或者说，球面波照明时在有限远处接收的是菲涅耳衍射场．另一类是夫朗和费衍射指的是衍射屏与两者的距离均是无限远的场合，或者说，平面波照明时在无穷远接收的是夫琅禾费衍射场．概略地看，菲涅耳衍射是近场衍射，而夫琅和费衍射是远场衍射．不过，在成像衍射系统中，与照明用的点光源相共轭的像面上的衍射场也是夫琅和费衍射场，此时，衍射屏与点光源或接收屏之距离在现实空间看，都是很近的．从理论上看，夫琅和费衍射显然是菲涅耳衍射的一种特殊情形，而实际上却更为人们所重视，这是因为夫琅和费射场的理论计算较为容易、应用价值又很大，而实验上又不难实现．尤其是，现代变换光学中博里叶光学的兴起，赋予经典夫琅禾费衍射以新的现代光学的意义——傅里叶光学是以夫琅和费衍射为枝杈而生长出来的．4.3单缝夫琅和费衍射◆实验装置与现家实验装置如图所示，平行光照射单缝，在透镜后焦面上接受夫琅禾费衍射场．设单狭缝的宽度，长度，实验表明，其衍射强度显著地沿x袖扩展．若无单缝限制波前，则入射的平行宽光束将聚焦于透镜后焦点F’．目前应用高亮度的激光束，经准直系统后，可直接照射单缝而获得清晰的衍射图样。

◆矢量图解法——衍射强度现在，让我们分析后焦面上的衍射强度分布，这里是衍射角，用以标定场点P的位置，参见图 (a)．我们知道，像空间后焦面上的一个点对应于物空间的一个方向，即从单缝出发衍射角为的一束平行次波线才能会聚于P点，发生相干叠加而决定了衍射强度．为此，将单缝从其上边A开始，划分为一系列细缝，直至其下边B每个细缝作为次波源对场点贡献一个小扰动，用一个小矢量表示；这一系列小矢量，长度相等，但取向依次变动，形成一段圆弧；这段圆弧起点A与终点B的两条切线之夹角是确定的，因为它代表了A边与B边贡献的两个小扰动之间的相位差；而又决定于光程差，由矢量图解 (b)的几何关系，求得相干叠加的合成振幅为令：最后得单缝夫琅不费衍射场的振幅分布勺强度分布为这里，，而是圆弧AB被拉直了的长度，也正是振动小矢量取向一致时的合成振幅，它就是等光程方向的次波束相干叠加的衍射振幅，它在公式中作为一个参考值，用以度量非等光程方向的衍射振幅．◆衍射积分法——衍射场依据标量衍射理论，傍轴衍射积分公式为结合单缝衍射情况，具体化上式参量为①次波点源，积分面元，平行光正入射，②经透镜变换，振幅系数这一点稍后给出证明③我们要重点处理的是相位因子，参见图(c)，有这里，，真空中波数；，介质中波数；是坐标原点O出发沿方向到达场点P的光程，作为参考光程，它在衍射积分过程中是不变的常量，以上推演过程的实质是，引入了一个参考光程，而将光程的直接计算转化为相对光程差的计算．于是衍射积分表示为其中，积分最后求得单缝夫琅禾费衍射场为其中，ab正是单狭缝的面积，表示照明平行光的光强，是透镜后焦距．上述结果与矢量图解法所得结果比较，两者主体部分是—致的，不过衍射积分法给出了更为丰富精细的物理内容．◆衍射图样的主要特征 由****式，绘制单缝夫琅禾费衍射振幅分相与强度分布曲线于下图。

单缝夫琅禾费衍射的特征(1)最大值． 当，为最大值．这在单缝衍射中，表现为时，衍射强度，为最大值，称其为零级衍射峰，其位置正是几何光学像点位置一—等光程方位． (2)零点位置． sinc函数存在一系列零点．当．这在单缝衍射中．表现为当衍射强度，出现暗点．上式称为单缝衍射零点条件3)次极大． sinc函数在相邻两个零点之间存在一个极大值，其位置和数值可由微分方程导出结果引山 一个三角方程这可由作图法定解．数值结果列表如下． (4)半角宽度， 零级衍射斑的角范围，由零级衍射峰与其邻近暗点之间的用方位之差值给以度量．称其为零级衍射的半角宽度，即，在下行光正入射条件下，故得单缝夫琅禾费衍射的零级衍射我们特别重视零级衍射斑的半角宽度一量，这是因为零级斑集中了全部入射光功率的80％以上，而定量地体现了衍射效应的强弱程度，越大，意味着经单缝以后衍射波越加发散因此，人们也将这个在后焦面上零级斑扩展的半角宽度，称为衍射发散角——从单缝这一侧物空间中看待衍射波的弥漫5)单缝宽度的影响． 表现为两方面．一是影响半角宽度．比如，缝宽a扩大为2a，则压缩为：二是影响零级衍射峰值，这是因为峰值即光强参考值，正比于面积()的平方，比如，缝宽a大为2a，则增强为4。

图***这种演变． (6)波长的影响． 表现为两方面．一是影响半角宽度，长波对应的大，亦即长波衍射效应更强烈；二是影响衍射峰值，这是因为峰值因此，红光与蓝光相比较，红光衍射的半角宽度大，且红光衍射峰低．波长影响衍射峰值这一点，常为人们忽视，以为白光照射单缝发生衍射时像点依然是白光，这是一个误会．根据衍射理论，衍射分光，不仅改变了非像点处的光谱成分，也改变了像点处的光谱成分．用色度学语言说，衍射也改变了像点即零级峰位置的色调7)关于参考光程决定的相因子． 在衍射积分过程中它是个常数面提到积分号外，然而它是与场点有关的，因为参考光程是从坐标原点O点到场点P的光程，故相因子应当明确表示为，虽然在目前我们关心的衍射强度分布中，它并无作用．在以后涉及相干光学信息处理的场合，这个与场点位置有关的相因子将被关注． 上述(5)，(6)，(7)所涉及的对衍射场分布的。