3.3 抛物线-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版).docx

抛物线1 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.如图，P在抛物线上，PH=PF.2 几何性质 标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象顶点(0,0)对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p2 , 0)F(-p2 , 0)F(0 , p2)F(0 , -p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2离心率e=13 一些常见结论① 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A , B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即|AB|=2p.② 若A、B在抛物线y2=2px上，F是焦点，则AF=xA+p2，AB=xA+xB+p.【题型一】抛物线的定义与方程【典题1】与圆x－22+y2=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是　 　．【解析】由圆x－22+y2=1可得：圆心F(2，0)，半径r=1．设所求动圆圆心为P(x,y)，过点P作PM⊥直线l：x+1=0，M为垂足．则|PF|－r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1．因此可得点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线L：x=－2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F(2,0)为焦点，定直线L：x=－2是准线．∴抛物线的方程为：y2=8x．∴所求轨迹方程是y2=8x．【点拨】① 直线l与圆O相切⇔圆心O到直线l的距离d=r;② 根据抛物线定义求方程，要确定好焦点与准线.巩固练习1(★) 到直线x=－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是(　　)A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 【答案】 C 【解析】动点M到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x=－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，故选：C．2 (★★) 若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是　 ． 【答案】 y2=16x 【解析】∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴点P到直线x=－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x=－4为准线的抛物线，∴p=8， ∴P的轨迹方程为y2=16x．故答案为：y2=16x．【题型二】抛物线的图象及其性质【典题1】设抛物线C：y2=8x的焦点为F，A是C上的一点且在第一象限，以F为圆心，以FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则点A的横坐标为 .【解析】∵A，F，B三点共线，∴AB为圆F的直径，则AD⊥BD．由抛物线定义知|AD|=|AF|=12|AB|，又抛物线C：y2=8x的p2=2，∴在Rt△ADB中，可得|AD|=4|OF|=8．设A的横坐标为x0，则|AD|=x0+2=8，即x0=6．【点拨】① 在抛物线中，遇到过焦点的直线，特别要注意抛物线定义的运用；② 若A、B在抛物线y2=2px上，F是焦点，则AF=xA+p2，AB=xA+xB+p.【典题2】已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M，N在抛物线上，且M，N，F三点共线点P在准线上，若PN→=NM→，则p|MF|=　 　．【解析】如图，分别过M，N作ME，NG垂直于抛物线的准线于E，G，由PN→=NM→，得PN=NM，由抛物线定义可知NF=NG，FM=ME，再由△PNG∽△PME，得PMME=PNNG⇒PMMF=PNNF⇒PMMF=12PMNF，∴MF=2NF， 则NF=13NM=16PM，PF=PN+NF=12PM+16PM=23PM．∴p|MF|=FKME=PFPM=23．故答案为：23．【点拨】①本题主要利用了相似三角形的性质(A字型)与抛物线的定义得到各线段的比值关系，平时解题中要多观察图象；② 题中线段过多，显得有些乱，其实在考试的非解答题中，遇到这类似问题，由于题目中没出现任一线段长度，确定p|MF|=FKME后，可设某一线段等于一具体数值，比如本题设PN=1(其实令PN=6更有利于运算)，进而求出其他线段长度，这样在考试时运算上显得从容些.【典题3】已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于　　．【解析】如图所示：连接MF，QF，∵y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点∴FH=2，PF=PQ∵M，N分别为PQ，PF的中点，∴MN∥QF，∵PQ垂直l于点Q，∴PQ∥OR，∴四边形MQFR是平行四边形，∴FR=MQ∵PQ=PF，∠NRF=60°，∴△PQF为等边三角形，∴MF⊥PQ， ∴四边形MQHF是矩形，∴MQ=HF=2∴FR=MQ=2， 故答案为：2．【点拨】① △PQF为等边三角形⇒三线合一：MF⊥PQ；② M，N分别为PQ，PF的中点⇒中位线：MN∥QF.【典题4】已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴上，其准线为l，过F的直线交抛物线于M，N两点，作MS⊥l，NT⊥l，垂足分别为S，T．若MF→=3FN→，且△STF的面积为833，则抛物线C的方程为(　　)A．y2=±x B．y2=±2x C．y2=±3x D．y2=±4x【解析】如图所示，过点N作NH∥l交直线MS于点H，交x轴于点P．设点M(x1 , y1)、N(x2 , y2)，当焦点在x轴的正半轴时，设抛物线C：y2=2px(p>0)，∵MF→=3FN→，且Fp2 , 0， ∴(p2-x1 , －y1)=3(x2-p2 , y2)，∴p2-x1=3(x2-p2) ⇒x1+3x2=2p ① ∴－y1=3y2⇒y12=9y22⇒2px1=18px2⇒x1=9x2 ②．由①②可解得x1=3p2，x2=p6．∴y12=2px1=3p2⇒y1=3p;y22=2px2=p23⇒y2=-33p，∴ST=y1-y2=433p∴S△STF=12⋅433p⋅p=833，解得p=2，此时抛物线C的方程为y2=4x．同理，当焦点在x轴的负半轴时，可得p=－2，此时抛物线C的方程为y2=－4x．综上所述，抛物线C的方程为y2=±4x．故选：D．【点拨】① 本题处理向量MF→=3FN→的方法是坐标法；② 遇到“△STF的面积为833”，想到把△STF的面积用p表示，从而求出p;关键在于ST=y1-y2，从而想到用p表示y1 , y2.【典题5】 已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设∠KPF=α，∠PKF=β，∠PFK=θ，有以下3个结论：①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在点P，满足α=2β．其中正确结论的序号是　 ．【解析】①由于对称性，不妨设点P在第一象限，设点P(m,n)，则n2=2pm (1)，当直线PK与抛物线相切时，可使β取得最大值．可设直线PK方程为y=k(x+p2)，由y=k(x+p2)y2=2px，得k2x2+k2p-2px+p2k24=0，则∆=k2p-2p2-4k2∙p2k24=0⇒k2=1⇒k=±1，∵β是锐角，∴tanβ=k=1⇒ β=π4，故①正确②过P作PQ⊥x轴于点Q，在Rt△PQK中，tanβ=PQKQ=nm+p2，在Rt△PQF中，sinθ=sin∠PFQ=PQPF=nm+p2，∴tanβ=sinθ，即②正确；③在△PKF中，由正弦定理知，PFsinβ=KFsinα，若α=2β，则m+p2sinβ=p2sinβcosβ，解得m=p21cosβ-1>0，故存在点P符合题意，即③正确．故答案为：①②③．【点拨】第一问是通过几何法确定直线PK与抛物线相切时，可使β取得最大值；第二问，涉及到三角函数tanβ、sinθ之类的，可想到构造直角三角形；第三问，是否存在点P，用了假设法确定m是否在自身范围之内，即m>0与否.巩固练习1 (★★) 【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是(　　)A．x1x2=1 B．kPQ=-43 C．|PQ|=254 D．l1与l2之间的距离为4【答案】 ABC 【解析】如图所示，由题意可得，点P的坐标为(14,1)，点Q的坐标为(4，－4)，∴x1x2=1，即选项A正确；∴kPQ=-4-14-14=-43，即选项B正确；由抛物线的定义可知，|PQ|=x1+x2+p=14+4+2=254，即选项C正确；∵l1与l2平行，∴l1与l2之间的距离d=|y1－y2|=5，即选项D错误；故选：ABC．2 (★★) 如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则p=(　　)A．2 B．32 C．3 D．6 【答案】 B 【解析】过A，B分别作准线的垂线，垂足为N，M，|BC|=2|BF|=2BM，∠MCB=30°．|AF|=3=AN，AC=2AN=6，所以F为AC的中点，p=12AN=32，故选：B．3(★★★) 【多选题】已知抛物线x2=12y的焦点为F，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)A．点F的坐标为(18，0) B．若直线MN过点F，则x1x2=-116 C．若MF→=λNF→，则|MN|的最小值为12 D．若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58 【答案】 BCD 【解析】抛物线x2=12y的焦点为F(0，18)，所以A不正确；根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2=-116，所以B正确；若MF→=λNF→，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p=12，所以C正确；抛物线x2=12y的焦点为F(0，18)，准线方程为y=-18，过点M、N、P分别作准线的垂线MM'，NN'，PP'，则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|，|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=32，所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34，所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP'|-18=34-18=58，所以D正确；故选：BCD．4 (★★) 已知点A(0,4)，抛物线C：x2=2py(0