2024-2025学年山东省聊城市高一下学期期末教学质量抽测数学试卷（含解析）.docx

2024-2025学年山东省聊城市高一下学期期末教学质量抽测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点A(−1,3)，B(1,2)，则AB=(    )A. (−2,−1) B. (−2,1) C. (−1,2) D. (2,−1)2.下列几何体是棱台的是(    )A. B. C. D. 3.1−2i2=(    )A. −3−4i B. −3+4i C. 3−4i D. 3+4i4.若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为(    )A. 2 B. 3 C. 4 D. 55.已知正四棱锥S−ABCD的所有棱长均相等，则直线SA与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为(    )A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°6.2sin40°− 3sin10°=(    )A. cos10° B. cos20° C. sin40° D. sin50°7.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，AP=λAB+13AD，当点P在▵BCD内部运动时，λ的取值区间为(a,b)，则a+b=(    )A. 76 B. 1712 C. 32 D. 19128.如图，AD是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧AD⌢上，若AB=BC，则四边形BCDO周长的最大值为(    )A. 16 B. 17 C. 18 D. 19二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知空间中三条不同的直线a，b，c和平面α，且a//b，则下列结论正确的是(    )A. 若a//c，则b//c B. 若a//α，则b//αC. 若a与c相交，则b与c相交 D. 若a与α相交，则b与α相交10.欧拉公式exi=cosx+isinx是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若z=eπ3i，则(    )A. 2z的虚部为1 B. z=e−π3iC. z2025=1 D. z0−z1+z2−z3+⋯−z2025=111.将函数f(x)=sin2x+ 3cos2x的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，若ℎ(x)=f(x)g(x)，φ(x)=f(x)g(x)，则(    )A. ℎ(x)与φ(x)的最小正周期相同B. ℎ(x)与φ(x)的对称中心完全相同C. f(x)与g(x)在[−π4,π4]上的值域相同D. f(x)与g(x)的图象在[0,m]上恰有四个交点时，m的取值范围为[47π24,59π24)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若向量a在单位向量b上的投影向量为−b，则a⋅b=          ．13.函数f(x)=sin4x−π12−cos4x−π12，x∈π2,π的单调递减区间为          ．14.已知▵ABC中，CA⊥CB，AB=2，若将▵ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的内切球半径等于23BC，则该内切球的表面积为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)对于向量a=x1,y1，b=x2,y2，定义运算a⊗b=x1y2,y1x2，已知向量m=(1,t)，n=(−2,2)，t∈R．(1)若m⊗n=n⊗m，求t的值；(2)若4m−n⊥n，求m⊗n与m夹角的余弦值．16.(本小题15分)某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成[30,50),[50,70)，[70,90),[90,110)，[110,130),[130,150]这6组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数(四舍五入取整数)；(2)从所抽取的数学成绩在[110,130),[130,150]内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在[130,150]内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在[110,130)内的学生数学成绩的平均数与方差．17.(本小题15分)如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．(1)证明：BC//平面ADE；(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧AB⌢的中点时，求直线AE与平面ACD所成角的正切值．18.(本小题17分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2C−cos2A=(a−b)sin2B．(1)求角C；(2)若▵ABC的边c上的高等于sinC．(i)当c=2时，求cosAcosB的值；(ii)求▵ABC面积的最小值．19.(本小题17分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=BC=2，D为AC的中点，平面A1BD⊥平面ABC．(1)求证：▵A1BC1是直角三角形；(2)E为B1C1的中点，F为CE与BC1的交点，点M段A1B上，DM⊥BD，若MF//平面ABC．(i)求侧面ACC1A1与底面ABC所成二面角的正弦值；(ii)若点C到平面ABB1A1的距离为2 105，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．答案解析1.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可．【详解】由点A(−1,3)，B(1,2)，得AB=(2,−1)．故选：D2.【答案】D 【解析】【解析】根据棱台定义，上下底面平行且相似，侧棱延长交一点，逐项判断，即可得出结论．【详解】A，C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A，C不满足题意；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意；D符合棱台的定义．故选：D．本题考查棱台的判断，注意棱台与棱锥的关系，属于基础题．3.【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则进行计算．【详解】1−2i2=1+2i2=1+4i2+4i=1−4+4i=−3+4i．故选：B4.【答案】D 【解析】【分析】确定出众数，再由已知数据中最大值与最小值的差是众数的2倍，从而得出x的范围及结论．【详解】由已知众数是2，由于5−1=4=2×2，因此只有当1≤x≤5即x=1,2,3,4,5时均满足题意，共5个，故选：D5.【答案】A 【解析】【分析】确定直线SA与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可．【详解】如图：因为四棱锥S−ABCD是正四棱锥，且所有棱长均相等．所以∠SAB=60°，故C可能成立；在▵SAC中，∠ASC=90°，∠SAC=45°，所以BD可能成立；SA与其余的棱或对角线都不能成30°，故A不可能成立．故选：A6.【答案】A 【解析】【分析】将40°写成30°+10°，利用两角和的正弦公式化简即可．【详解】因为2sin40°− 3sin10°=2sin(30°+10°)− 3sin10°=2sin30°⋅cos10°+2cos30°⋅sin10°− 3sin10°=cos10°+ 3sin10°− 3sin10°=cos10°．故选：A7.【答案】C 【解析】【分析】根据向量的线性运算，确定a,b的值即可．【详解】如图：取AE=13AD，过E作EF//AB，交BD于点G，交BC于点F．设AG=λ1AB+13AD，因为B,G,D三点共线，所以λ1+13=1⇒λ1=23．设AF=λ2AB+13AD，因为AC=12AB+AD，所以CF=AF−AC=λ2−12AB−23AD，CB=AB−AC=12AB−AD．因为B,F,C共线，所以CF//CB，所以λ2−12⋅(−1)−−23×12=0⇒λ2=56．因为AP=λAB+13AD且点P在▵BCD内运动，所以点P段GF上，所以23<λ<56．即a=23，b=56.所以a+b=23+56=32．故选：C8.【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，设∠AOB=θ，0<θ<π2，表达出CN=DN=4sinπ2−θ，CM=BM=4sinθ2，化简求出BO+CD+BC+OD=8sinθ2+81−2sin2θ2+8，结合0<θ<π2，得到最大值．【详解】取BC,CD的中点M,N，连接OM,ON,OB,OC，则OM⊥BC，ON⊥CD，因为AB=BC，所以AB⌢=BC⌢，∠BOC=∠AOB，因为OB=OC，所以∠OCB=∠OBC，设∠AOB=θ，0<θ<π2，则∠BOM=θ2，∠CON=π2−θ，故CN=DN=4sinπ2−θ=4cosθ，CM=BM=4sinθ2，故BO+CD+BC+OD=8+8sinθ2+8cosθ=8sinθ2+81−2sin2θ2+8=−16sin2θ2+8sinθ2+16=−16sinθ2−142+17，因为0<θ<π2，所以0<θ2<π4，0