2024-2025学年北京161中高一（下）期中数学试卷（含答案）.docx
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2024-2025学年北京161中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.在0到2π范围内，与角−4π3终边相同的角是( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 4π32.若α是第二象限的角，P(x,6)为其终边上的一点，且sinα=35，则x=( )A. −4 B. ±4 C. −8 D. ±83.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的16000，即2π弧度=360°=6000密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数.且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0−03，123密位写成1−23，设圆的半径为1，那么10−00密位的圆心角所对的弧长为( )A. π6 B. π4 C. π3 D. π24.下列四个函数中，最小正周期为2π，且为偶函数的是( )A. y=|cosx| B. y=cos2xC. y=cos(x+π4) D. y=cosx+cos2x5.若cosα−π4=35，则sin2α=( )A. 2425 B. −725 C. −2425 D. 7256.设a，b是两个不共线向量，则“a与b的夹角为钝角”是“a⊥(a+b)”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知等腰△ABC中，|AB|=|AC|=3，|BC|=4，点P是边BC上的动点，则AP⋅(AB+AC)( )A. 为定值10 B. 为定值5C. 不为定值，与点P位置有关 D. 为定值128.设函数f(x)=2sinωx，|f(x1)−f(x2)|=4，|x1−x2|=π3，则ω可以是( )A. 13 B. 1 C. 2 D. 39.已知等边△ABC边长为3.点D在BC边上，且BD>CD，AD= 7.下列结论中错误的是( )A. BDCD=2 B. S△ABDS△ACD=2 C. cos∠BADcos∠CAD=2 D. sin∠BADsin∠CAD=210.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在t=0时刻，粒子从点A(0,1)出发，沿着轨迹曲线运动到B(1,−1)，再沿着轨迹曲线途经A点运动到C(−1,−1)，之后便沿着轨迹曲线在B，C两点之间循环往复运动.设该粒子在t时刻的位置对应点P(x,y)，则坐标x，y随时间t(t≥0)变化的图象可能是( )A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，共25分。
11.sinl5°cosl5°的值为______．12.已知角α，β的终边关于直线y=x对称，且sin(α−β)=12，则α，β的一组取值可以是α= ______，β= ______．13.欲测量河宽即河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，AB=120米，由此可得河宽约为______米.(结果精确到1米，参考数据： 6≈2.45， 2≈1.41，sin75≈0.97)14.若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)和g(x)=cos2(x+φ)−sin2(x+φ)的图象的对称轴完全重合，则ω= ______，g(π6)= ______．15.若函数f(x)=2xsinx−1(0
16.(本小题12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3a=2bsinA．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b= 7，a+c=5，求△ABC的面积．17.(本小题12分)在平面直角坐标系中，锐角α，β均以Ox为始边，终边分别与单位圆交于点A，B，已知点A的纵坐标为35，点B的横坐标为513．(Ⅰ)直接写出tanα和sinβ的值，并求tan(α−β)的值；(Ⅱ)求2sin(π−α)+cosαcosα−cos(π2−α)的值．18.(本小题12分)在平面直角坐标系中，O为原点，A(2,2)，B(3,−1)，C(n,4)，AB⊥AC，P为线段BC上一点，且PC=λBC．(Ⅰ)求n的值；(Ⅱ)当λ=35时，求cos∠APC；(Ⅲ)求PA⋅PC的取值范围．19.(本小题13分)已知函数f(x)=2cos2x+sin(2x+φ)−1，其中|φ|<π2.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f(x)存在，并完成下列两个问题．(1)求φ的值；(2)若函数f(x)在区间[0,a]上的有且仅有两个零点，求a的取值范围．条件①f(π6)=1；条件②−π12是f(x)的一个零点；条件③f(0)=f(π3)．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题13分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ)02−20(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0)，求θ的最小值；(3)对任意的x∈[π6,π2]，不等式f2(x)−mf(x)−1≤0恒成立，求实数m的取值范围．21.(本小题13分)设Sn={(x1,x2,…,xn)|xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n为正整数)，对任意的α=(x1,x2,…,xn)，β=(y1,y2,…,yn)，定义α⋅β=x1y1+x2y2+…+xnyn．(Ⅰ)当n=3时，α=(1,1,0)，β=(1,0,1)，求α⋅β；(Ⅱ)当n=3时，集合A⊆Sn，对于任意α，β∈A，α⋅β圴为偶数，求A中元素个数的最大值；(Ⅲ)集合A⊆Sn，对于任意α，β∈A，α≠β，均有α⋅β≠0，求A中元素个数的最大值．参考答案1.C 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.B 11.14 12.π3 π6 13.95 14.2 1或−1 15.②③④ 16.解：(Ⅰ)由 3a=2bsinA，得 3sinA=2sinBsinA，sinA≠0，∴sinB= 32，又因为△ABC为锐角三角形，∴B=π3；(Ⅱ)由余弦定理可知，b2=a2+c2−2accosB，即b2=(a+c)2−3ac，解得ac=6，∴S=12acsinB=32 3．17.解：(Ⅰ)tanα=34,sinβ=1213，则tanβ=125，所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=34−1251+34×125=−3356；(Ⅱ)2sin(π−α)+cosαcosα−cos(π2−α)=2sinα+cosαcosα−sinα=2tanα+11−tanα=2×34+11−34=10．18.解：(Ⅰ)依题意，AB=(1,−3),AC=(n−2,2)，由AB⊥AC，得1×(n−2)+(−3)×2=0，所以n=8；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，B(3,−1),C(8,4),BC=(5,5)，由PC=λBC,λ=35，得PC=(3,3)，CA=(−6,−2),PA=PC+CA=(3,3)+(−6,−2)=(−3,1)，所以cos∠APC=cos〈PA,PC〉=PA⋅PC|PA||PC|=−3×3+1×3 10×3 2=− 55；(Ⅲ)由(Ⅱ)知，PC=λBC=(5λ,5λ),PA=PC+CA=(5λ,5λ)+(−6,−2)=(5λ−6,5λ−2)，则PA⋅PC=5λ(5λ−6)+5λ(5λ−2)=2(5λ)2−8⋅5λ=2(5λ−2)2−8，由P为线段BC上一点，且PC=λBC，得0≤λ≤1，当λ=25时，(PA⋅PC)min=−8，当λ=1时，(PA⋅PC)max=10，所以PA⋅PC的取值范围[−8,10]．19.(1)由题意函数f(x)=2cos2x+sin(2x+φ)−1，其中|φ|<π2．化简可得f(x)=cos2x+sin(2x+φ)．将①作为已知条件，因为f(π6)=1，所以f(π6)=cosπ3+sin(π3+φ)=1，所以sin(π3+φ)=12．因为|φ|<π2，所以φ=−π6．将②作为已知条件，因为−π12是f(x)的一个零点，所以f(−π12)=cos(−π6)+sin(−π6+φ)= 32+sin(−π6+φ)=0．所以sin(−π6+φ)=− 32，因为|φ|<π2，所以φ=−π6．将③作为已知条件，因为f(0)=f(π3)，所以f(0)=1+sin(φ)=f(π3)=cos2π3+sin(2π3+φ)=−12+sin(2π3+φ)．所以sin(2π3+φ)−sinφ=32，展开化简得 32cosφ−32sinφ=32，进而得cos(φ+π3)= 32，因为|φ|<π2，所以φ=−π6．(2)按照条件①②③结合(1)可得φ=−π6，即函数解析式为f(x)=cos2x+sin(2x−π6)=cos2x+ 32sin2x−12cos2x= 32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)．因为f(x)在区间[0,a]上有且仅有两个零点，所以令f(x)=0，则2x+π6=kπ,k∈Z，解得x=−π12+kπ2,k∈Z．当k=1时，x=5π12；当k=2时，x=11π12；当k=3时，x=17π12．可得a的取值范围为：[11π12,17π12)．20.(1)表格补充完整如下，ωx+φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx+φ)020−20f(x)=2sin(2x−π6)；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)=2sin(2x+2θ−π6)，因为g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0)，所以2×5π12+2θ−π6=kπ,k∈Z，解得θ=−π3+kπ2,k∈Z，因为θ>0，所以θ的最小值为π6；(3)x∈[π6,π2]时，2x−π6∈[π6,π2]，则令t=f(x)=2sin(2x−π6)，可得t∈[1,2]，f2(x)−mf(x)−1≤0转化为t2−mt−1≤0在t∈[1,2]上恒成立，所以1−m−1≤04−2m−1≤0，解得m≥32，所以m的取值范围[32,+∞)．21.解：(Ⅰ)α⋅β=x1y1+x2y2+x3y3=1×1+1×0+0×1=1．(Ⅱ)α⋅β=x1y1+x2y2+x3y3为偶数，即为0或2，若α⋅β=0，则A中的任意两个元素相同位置不能同时出现1，即(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)共有四个元素，若 α⋅β=2，则A中必有两组相。
