2024-2025学年陕西省部分学校联考高二（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年陕西省部分学校联考高二（下）期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知数列1,− 2, 3,−2, 5,⋯，则该数列的第36项为(    )A. −36 B. 36 C. −6 D. 62.已知集合A={3,4}，B={x∈Z|30时，f(x)=(    )A. x2+x B. −x2+x C. x2−x D. −x2−x5.已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且a1<0，S2=S8，当Sn取得最小值时，n=(    )A. 3 B. 5 C. 6 D. 96.若数列{an}满足a1=9，an+1=an+11−an，则a2025=(    )A. −54 B. −19 C. 45 D. 97.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是(    )A. f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B. f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C. 对于任意x0∈(a,b)，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D. 存在x0∈(a,b)，使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率8.杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和围水域，石塔建于宋代元四年(公元1089年)，每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，一个等边三角形，记为△A1B1C1，设△A1B1C1的边长为a1，取△A1B1C1每边的中点△A2B2C2，设其边长为a2，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列{an}，若{an}的前和为9618，则△A1B1C1的边长a1=(    )A. 62 B. 61 C. 31 D. 30二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.下列求导运算正确的是(    )A. (3x)′=3xln3 B. (log2x)′=ln2x C. (sinx)′=cosx D. (cosx)′=−sinx10.记等比数列{an}的前n项积为Tn，且a6,a7∈N∗，若T12=96，则a6+a7的可能取值为(    )A. 6 B. 7 C. 9 D. 1011.定义数列{an}的“差分数列”{bn}：bn=an+1−an.若数列{an}的“差分数列”{bn}是公差为2的等差数列，且b1=3，a2=4，则(    )A. a1=1B. b2=5C. an=n2D. 数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)(2n+1)3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=2，则f′(x0)= ______．13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2asinC，bc=8，则△ABC的面积为______．14.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n−a．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)若Sm=80，求m．16.(本小题15分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3=9，a2+a3=8．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求Sn；(Ⅲ)若S3，a14，Sm成等比数列，求m的值．17.(本小题15分)我省某高中落实国家“双减”政策，合理安排学生作息时间.为了调查学生从家到达学校所需时间，学校对高一学生上学交通方式进行问卷调查.经调查，乘坐机动车上学的学生有800人，骑自行车上学的学生有250人，步行上学的学生有200人．(1)为保证调查结果相对准确，现用分层随机抽样的方法进行调查，已知在骑自行车上学的学生中抽取了5人，求从乘坐机动车上学的学生中应抽取多少人？(2)抽取出的5名骑自行车的学生从家到达学校所需时间分别为10，15，12，18，15(单位：min)，求这5个数的平均数和方差．18.(本小题17分)已知函数f(x)=2 x．(1)求曲线y=f(x)的一条与直线y=2x+1平行的切线的方程；(2)求过点P(0,1)且与曲线y=f(x)相切的切线方程．19.(本小题17分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{an}满足an+12n+1=an2n+12(n∈N∗)，a1=1．(Ⅰ)证明：数列{an2n}为等差数列；(Ⅱ)求Sn；(Ⅲ)若Sn≤2an−4n−λ对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.ACD 10.AD 11.ABC 12.2 13.2 14.50 15.(Ⅰ)设等比数列的公比为q，因为a1=S1=3−a，a2=S2−S1=6，a3=S3−S2=18，所以q=a3a2=3，则a1=a2q=2，即3−a=2，所以a=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)，Sm=3m−1=80，解得m=4．(Ⅰ)根据等比数列的定义，求出a1、a2、a3，可求出公比q和a1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得3m−1=80，可解出m．本题主要考查等比数列前n项和，属于中档题．16.解：(Ⅰ)由题意得S3=3a1+3d=9a2+a3=2a1+3d=8,，解得a1=1d=2；故{an}的通项公式为an=1+(n−1)×2=2n−1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，Sn=n(a1+an)2=n(1+2n−1)2=n2；(III)因为S3，a14，Sm成等比数列，所以S3⋅Sm=a142，所以9m2=272，即m2=81，又因为m∈N∗，则解得m=9． 17.解：(1)从乘坐机动车上学的学生中应抽取5250×800=16人；(2)抽取出的5名骑自行车的学生从家到达学校所需时间分别为10，15，12，18，15(单位：min)，则这5个数的平均数为10+15+12+18+155=14，方差为(10−14)2+(15−14)2+(12−14)2+(18−14)2+(15−14)25 =16+1+4+16+15=7.6． 18.(1)所求切线与直线y=2x+1平行，则切线的斜率k=2，由f(x)=2 x，得f′(x)=1 x，由f′(x)=1 x=2，解得x=14，又f(14)=2 14=1，∴切点坐标为(14,1)，∴所求切线方程为y−1=2(x−14)，即y=2x+12；(2)设切点为(a,2 a)，则f′(a)=1 a，∴切线方程为：y−2 a=1 a(x−a)，把点P(0,1)代入，得1−2 a=1 a(0−a)，解得a=1，可得切线方程为y−2=1×(x−1)，即y=x+1．∴所求切线方程为：y=x+1．19.(Ⅰ)证明：设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{an}满足an+12n+1=an2n+12(n∈N∗)，a1=1，可得an+12n+1−an2n=12，又a12=12，所以数列{an2n}是首项，公差均为12的等差数列．(Ⅱ)由等差数列的通项公式可得，an2n=12+12(n−1)=n2，则an=n⋅2n−1，Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1，于是2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，两式相减得−Sn=1+21+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=(1−n)⋅2n−1，所以Sn=(n−1)⋅2n+1．(Ⅲ)不等式Sn≤2an−4n−λ⇔(n−1)⋅2n+1≤n⋅2n−4n−λ⇔λ≤2n−4n−1，令cn=2n−4n−1，依题意，λ≤cn对任意n∈N∗恒成立，而cn+1−cn=[2n+1−4(n+1)−1]−(2n−4n−1)=2n−4，当n=1时，c2cn−1>....>c4>c3，因此cn的最小值为c3=c2=−5，则λ≤−5，所以实数λ的取值范围是(−∞,−5]．第6页，共6页。