高中数学讲义微专题63立体几何中的建系设点问题.docx

立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、 z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面 xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为 z 轴与底面的交点2、 x, y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么z几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于 x, y 轴上（2）找角： x, y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂O              y直条件x（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足 x, y, z 轴成右手系，所以在标 x, y 轴时要注意4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的zD'    E  C'FA'         B'J5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用G坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 + 底面两条线垂直）， OCy这个过程不能省略。

I6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：x  AHB① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若 AB 2 + AC 2 = BC 2 ，则 AB ^ AC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为 3 类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为 1）中的 A, C, D ' 点，坐标特点如下：x 轴： (x,0,0 ) y 轴： (0, y,0 ) z 轴： (0,0,z )规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为 0（2）底面上的点：坐标均为 (x, y,0 ) ，即竖坐标 z = 0 ，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：H ç1,   ,0 ÷ , I ç   ,1,0 ÷则可快速写出 H , I 点的坐标，位置关系清晰明了æ 1 ö æ 1 öè 2 ø è 2 ø2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果 A' (x , y , z ) 在底面的投影为 A (x , y ,0 ) ，那么1 1 2 2O            CIx = x , y = y （即点与投影点的横纵坐标相同） A H1 2 1 2B由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。

如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离例如：正方体中的 B ' 点，其投影为 B ，而 B (1,1,0) 所以 B' (1,1,z )，而其到底面的距离为1 ，故坐标为 B' (1,1,1)以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点)，则 AB 中点 M æç x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ö÷ ，① 中点坐标公式： A (x , y , z ), B (x , y , z1 1 1 2 22è  2 2     2  øA' B' = (x - 1, y - 1, z - 1)  \í y - 1 = 1 Þ í y = 0  \ A' (1,0,1)ï z - 1 = 0   ï z = 1图中的 H , I , E , F 等中点坐标均可计算② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求 A' 点的坐标，如果使用向量计算，则设 A' (x, y, z ) ，可直 接 写 出 A (1,0,0 ), B (1,1,0), B' (1,1,1) ， 观 察 向 量 AB = A' B ' ， 而 AB = (0,1,0) ，ì x - 1 = 0 ì x = 1ï ïî î二、典型例题：例 1：在三棱锥 P - ABC 中，PA ^ 平面 ABC ，ÐBAC = 90 ，D, E, F 分别是棱 AB, BC , CD的中点， AB = AC = 1, PA = 2 ，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标解： PA ^ 平面 ABC \ PA ^ AB, PA ^ ACÐBAC = 90 \ PA, AB, AC 两两垂直P以 AP, AB, AC 为轴建立直角坐标系F坐标轴上的点： A (0,0,0 ), B (1,0,0 ), C (0,1,0), P (0,0,2 )ACDEB中点： D : AB 中点 çæ 1,0,0 ÷E : BC 中点 ç   ,   ,0 ÷æ 1  1F : PC 中点 ç 0,   ,1 ÷ööè 2 øöè 2 2 øæ 1è 2 øB (1,0,0 ), C (0,1,0), P (0,0,2 ), D ç   ,0,0 ÷ , E ç   ,   ,0 ÷ , F ç 0,   ,1÷综上所述：æ 1 ö æ 1 1 ö æ 1 öè 2 ø è 2 2 ø è 2 ø小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。

这些过程在解答题中可以省略例 2：在长方体 ABCD - A B C D 中， E, F 分别是棱 BC , CC 上的点， CF = AB = 2CE ，1 1 1 1 1AB : AD : AA = 1: 2 : 4 ，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标1思路：建系方式显而易见，长方体 AA , AB, AD 两两垂直，1A1D1本 题 所 给 的 是 线 段 的 比 例 ， 如 果 设AB = a, AD = 2a, AA = 4a 等，则点的坐标都含有 a ，不1便于计算对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数B1C11                                             A     F解：因为长方体 ABCD - A B C D1 1 1D\ AB, AD, AA 两两垂直1BE  C2E ç1,   ,0 ÷ , F (1,2,1)\ 以 AB, AD, AA 为轴如图建系，设 AB 为单位长度1\ AD = 2, AA = 4,CF = 1,CE = 11B (1,0,0 ), C (1,2,0 ), D (0,2,0 ), B (1,0,4 ), A (0,0,4 ), C (1,2,4 ), D (0,2,4 )1 1 1 1æ 3 öè 2 ø例 3：如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AD = DC = CB = 1,ÐABC = 60 ，CF ^平面 ABCD ，且 CF = 1，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。

思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面 ABCD 找过 C 的相互垂直的直线即可由题意，ÐBCD 不是直角所FDCA               B以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择 BC 为轴），连结 AC可知 ÐADC = 120 \ 在 ADC 中AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD DC cos ADC = 3CB\ AC = 3由 AC = 3, BC = 1,ÐABC = 60 可解得 AB = 2, ÐACB = 90\ AC ^ BC CF ^ 平面 ABCD\CF ^ AC, CF ^ BCDB (0,1,0), A  (  3,0,0 ), D æç, -   ,0 ÷ , F (0,0,1)è  22以 AC, CF , BC 为坐标轴如图建系：3 1 öø方案二（以 CD 为轴）DAC过 C 作 CD 的垂线 CM CF ^ 平面 ABCD\CF ^ CD, CF ^ CM\ 以 CD, CF , CM 为坐标轴如图建系：AB（同方案一）计算可得： CM =32, AB = 2\ A ç   , -   ,0 ÷ , B ç   ,   ,0 ÷ , D (0, -1,0 ), F (0,0,1)è  2ø   è  2 22æ 3 3 ö æ 3 1 öø小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即 z 轴），对于 x, y 轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足 C 的直线为轴建立的坐标系。

例 4：已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC, BA = AD = DC = 1 BC = a ， E 是 BC 中点，将2BAE 翻 折 成 B AE ， 使 得 平 面 B AE ^ 平 面1 1B'AECD ， F 为 B D 中点1FA DADB EC思路：在处理翻折问题时，EC首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的本题在翻折时， BAE 是等边三角形，四边形 AECD 为 60 的菱形是不变。