矩阵练习(带答案详解)复习课程.pdf

矩 阵 练 习 ( 带 答 案 详 解 )精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除一、填空题：1. 若 A， B 为同阶方阵，则22)(BABABA的充分必要条件是BAAB2. 若n阶方阵 A， B ，C 满足IABC, I 为n阶单位矩阵，则1CAB3. 设 A， B 都是n阶可逆矩阵，若00ABC, 则1C0011BA4. 设 A1112，则1A21115. 设111111A，432211B. 则BA27317336.设300020001A，则1A310002100017设矩阵1 -1 32 0,2 0 10 1AB，TA 为 A的转置，则BAT=160222. 8. 110213021A， B 为秩等于 2 的三阶方阵，则 AB 的秩等于2 . 二、判断题（每小题2 分，共 12 分）1. 设BA、均为n阶方阵，则kkkBAAB)(（k 为正整数）精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除2. 设,A B C为n阶方阵，若 ABCI ，则111CBA ）3. 设BA、为n阶方阵，若 AB不可逆，则,A B都不可逆 ( ) 4. 设BA、为n阶方阵，且0AB，其中0A，则0B。

( ) 5. 设CBA、都是n阶矩阵，且ICAIAB,，则CB ）6. 若 A是n阶对角矩阵， B 为n阶矩阵，且ACAB，则 B 也是n阶对角矩阵 ）7. 两个矩阵 A与 B ，如果秩（ A）等于秩（ B ），那么 A与 B 等价 ）8. 矩阵 A的秩与它的转置矩阵TA 的秩相等 ) 三、选择题 ( 每小题 3 分, 共 12 分) 1. 设 A为 34 矩阵，若矩阵 A的秩为 2，则矩阵TA3的秩等于（ B ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 假定 A、 B 、 C 为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的（ C ）（A）)(BCAABC（B）)(kBAkAB（C ）BAAB（D）CBCABAC)(3. 已知BA、为n阶方阵，则下列性质不正确的是（ A ）(A) BAAB (B) )()(BCACAB(C) BCACCBA)( (D) CBCABAC)(4. 设IPAQ，其中 P、Q、 A都是n阶方阵，则（ D ）（A）111QPA（B）111PQA（C）PQA1（D）QPA1精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除5. 设n阶方阵 A，如果与所有的n阶方阵 B都可以交换，即BAAB，那么 A必定是（ B ）（A）可逆矩阵（B）数量矩阵（C）单位矩阵（D）反对称矩阵6. 两个n阶初等矩阵的乘积为（ C ）（A）初等矩阵（B）单位矩阵（C ）可逆矩阵（D）不可逆矩阵7. 有矩阵23A，32B，33C，下列哪一个运算 不可行（ A ）（A） AC（B） BC（C） ABC（D）CAB8. 设 A与 B 为矩阵且 ACCB ，C 为mn的矩阵，则 A与 B 分别是什么矩阵( D ) (A) nmmn (B) m nnm(C) nnm m (D) m mnn9. 设 A为n阶可逆矩阵，则下列不正确的是 ( B ) (A) 1A 可逆 (B) IA可逆(C) 2A可逆 (D) 2A 可逆10.BA,均n阶为方阵，下面等式成立的是（ B ）（A）BAAB（B）TTTBABA)(（C）111)(BABA（D）111)(BAAB11. 设BA,都是n阶矩阵，且0AB，则下列一定成立的是（ C ）（A）0A或0B（B）BA,都不可逆（C）BA,中至少有一个不可逆（D）0BA12. 设BA,是两个n阶可逆方阵，则1TAB等于（ A ）（A）1TA1TB (B) 1TB1TA（C ）TB1TA )(1（D）TB11TA13. 若BA,都是n阶方阵，且BA,都可逆，则下述错误的是（ A ）（A）BA也可逆（B） AB 也可逆精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（C）1B也可逆（D ）11BA也可逆14.BA,为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是（ B ）（A） AB（B）BA（C） BA（D ） BAB15设BA,均为n阶方阵，下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ）（A）BAB（B）BAAB（C ）IAA（D ）IA116. 设BA,都是n阶方阵，则下列结论正确的是（ D ）（A）若 A和 B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵（B）若0A且0B，则0AB（C）若 AB 是奇异矩阵，则 A和 B 都是奇异矩阵（D）若 AB 是可逆矩阵，则 A和 B 都是可逆矩阵17. 若BA与均为n阶非零矩阵，且0AB，则（ A ）（A）nAR)(（B）nAR)(（C）0)(AR（D）0)(BR四、解答题：1. 给定矩阵443312111A，343122321B，求ABT及1A解：6848126594443312111313422321ABT . （5分）2121252121211041A(5 分) 精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除2. 求解矩阵方程X110011101521234311解：02110011101分111001110111111111121分301222012X分3. 求解矩阵方程BXA，其中011220111A，112011111B解：因为6A所以 A可逆 . .(2分) 3131313161313261311A (4 分) 故3465323131323431311BAX.(4分) 精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除4. 求解下面矩阵方程中的矩阵X ：021102341010100001100001010X解：令021102341,010100001,100001010CBA，则BA,均可逆，且010100001,10000101011BA所以20143111211BCAX5. 设矩阵321011324A，求矩阵 B ，使其满足矩阵方程BAAB2. 解：BAAB2即ABIA)2(分而.461351341121011322)2(11IA分所以AIAB1)2(321011324461351341=.9122692683分五、证明题精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1. 若 A是反对称阵，证明2A 是对称阵。

证明：因为 A是反对称阵，所以AAT（3 分）22)()()(AAAAAAAATTTT, 所以2A 为对称阵 5 分）2. 设矩阵,A B及 AB 都可逆，证明11AB也可逆证明：因为,A B， AB 可逆，故11,AB，1()AB存在，分所以有11111111111()()()()ABB ABAA BIBAAA BA ABAAABABAAA AI分故11AB可逆，其逆为1B ABA. 分3. 已知BA,为n阶方阵，且BABABBAA222)(,，证明：0BAAB证明：BABAABBABA222)( 4 分所以0BAAB 4 分4. 设BA,为两个n阶方阵，试证明：22)(BABABA的充要条件是BAAB证明：充分性：因为BAAB所以2222)(BABBAABABABA 4分精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除必要性：因为22)(BABABA，即2222BABBAABA所以BAAB 8 分5. A是反对称矩阵， B 是对称矩阵 , 证明: AB 是反对称矩阵的充要条件是BAAB证明：充分性：因为AAT,BBT, BAAB所以ABBAABABTTT)(, 即 AB 是反对称矩阵 4 分必要性：因为 AB 是反对称矩阵，即ABABT)(又BAABABTTT)(所以BAAB 8 分。