
河北省廊坊市石虎中学高三数学文摸底试卷含解析.docx
16页河北省廊坊市石虎中学高三数学文摸底试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别是 ( )A.、 B.、 C.、 D.、参考答案:A略2. 已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向量都可以唯一地表示成(,为实数),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,2) B. C.(-∞,-2)∪(-2,+∞) D.参考答案:D3. 二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为( )A. B. C.或 D.或参考答案:C4. 设复数z满足z(2+i)=5i,则|z﹣1|=( )A.1 B.2 C. D.5参考答案:B【考点】复数求模.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,再由复数模的计算公式求|z﹣1|.【解答】解:∵z(2+i)=5i,∴,则|z﹣1|=|2i|=2.故选:B.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.5. 执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的取值范围为( )A.[-7,1] B.[1,3] C.[0,3] D.[0,1] 参考答案:C6. 已知焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8,则m等于( ) A. 4 B. 6 C. 16 D. 18参考答案:C略7. 已知函数f (x ) = a-,若f (x )为奇函数,则f (3)的值是( )A. B. C. D.参考答案:答案:D 8. 程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值,则判断框内可以填的条件为( ) A.i≤90?B.i≤100?C.i≤200?D.i≤300?参考答案:B9. 设,,,则( ) A. B. C. D. 参考答案:D略10. 若,则的解集为( )A. B. C. D.参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将长度为的线段分成段,每段长度均为正整数,并要求这段中的任意三段都不能构成三角形.例如,当时,只可以分为长度分别为1,1,2的三段,此时的最大值为3;当时,可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段,此时的最大值为4.则: (1)当时,的最大值为________; (2)当时,的最大值为________. 参考答案:(1);(2)(注:第一问2分,第二问3分)12. 在棱长为的正方体中,,分别为线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是 _____.参考答案:略13. 已知是定义在上的奇函数,当时,的图象如上图所示,那么不等式的解集为 . 参考答案: 14. 已知,定义表示不超过的最大整数,则函数的值域是____________。
参考答案:略15. 如图,线段长度为,点分别在非负半轴和非负半轴上滑动,以线段为一边,在第一象限内作矩形,,为坐标原点,则的取值范围是 ▲ . 参考答案: 略16. 某舰艇在A处侧得遇险渔般在北偏东45.距离为10海里的C处.此时得知.该渔船沿北偏东105方向.以每小时9海里的速度向一小岛靠近.舰艇时速21海里.则舰艇到达渔船的最短时间是________分钟.参考答案:4017. 已知G为△ABC的重心,令,,过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点,且,,则= .参考答案:3考点: 平面向量的基本定理及其意义.专题: 平面向量及应用.分析: 显然,根据G点为重心,从而可以用表示,而和共线,从而,而已知,从而会最后得到关于的式子:,从而得到,两式联立消去x即可求出答案.解答: 解:如图,=;∴;G为△ABC的重心;∴,;∴;整理得,;∴;消去x得,;∴.故答案为:3.点评: 考查向量加法、减法的几何意义,共线向量基本定理,重心的性质:重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍,以及向量加法的平行四边形法则,向量的加法、减法运算,平面向量基本定理.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知等比数列{an}的公比q>1,a1=2且a1,a2,a3﹣8成等差数列.数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=n2﹣8n.(Ⅰ)分别求出数列{an}和数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)设cn=,若cn≤m,对于?n∈N*恒成立,求实数m的最小值.参考答案:【考点】数列的求和;等比数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式可得an,再利用递推式可得bn.(II),由cn≤m,对于?n∈N*恒成立,即m≥cn的最大值,作差cn+1﹣cn对n分类讨论即可得出.【解答】(Ⅰ)解:∵a1=2且a1,a2,a3﹣8成等差数列,∴2a2=a1+a3﹣8,∴,化为q2﹣2q﹣3=0,∴q1=3,q2=﹣1,∵q>1,∴q=3,∴,当n=1时,.当n≥2时,,当n=1时,2×1﹣9=b1满足上式,∴.(Ⅱ),若cn≤m,对于?n∈N*恒成立,即m≥cn的最大值,,当cn+1=cn时,即n=5时,c5=c6,当cn+1>cn时,即n<5,n∈N*时,c1<c2<c3<c4<c5,当cn+1<cn时,即n>5,n∈N*时,c6>c7>c8>c9>…,∴cn的最大值为,即.∴m的最小值为.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性,考查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19. 已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex﹣1﹣f(0)x+x2;(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若,求(a+1)b的最大值.参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.【专题】综合题;压轴题;探究型;转化思想.【分析】(1)对函数f(x)求导,再令自变量为1,求出f′(1)得到函数的解析式及导数,再由导数求函数的单调区间;(2)由题意,借助导数求出新函数的最小值,令其大于0即可得到参数a,b 所满足的关系式,再研究(a+1)b的最大值【解答】解:(1)令x=1得:f(0)=1∴令x=0,得f(0)=f'(1)e﹣1=1解得f'(1)=e故函数的解析式为令g(x)=f'(x)=ex﹣1+x∴g'(x)=ex+1>0,由此知y=g(x)在x∈R上单调递增当x>0时,f'(x)>f'(0)=0;当x<0时,有f'(x)<f'(0)=0得:函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(﹣∞,0)(2)得h′(x)=ex﹣(a+1)①当a+1≤0时,h′(x)>0?y=h(x)在x∈R上单调递增,x→﹣∞时,h(x)→﹣∞与h(x)≥0矛盾②当a+1>0时,h′(x)>0?x>ln(a+1),h'(x)<0?x<ln(a+1)得:当x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0,即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b∴(a+1)b≤(a+1)2﹣(a+1)2ln(a+1),(a+1>0)令F(x)=x2﹣x2lnx(x>0),则F'(x)=x(1﹣2lnx)∴当时,即当时,(a+1)b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性,解题的关键是第一题中要赋值求出f′(1),易因为没有将f′(1)看作常数而出错,第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题,本题考查了转化的思想,考查判断推理能力,是高考中的热点题型,计算量大,易马虎出错.20. (本小题满分10分)(不等式选讲)已知函数(1)解不等式:(2)若对任意的,都有,使得成立,求实数a的取值范围.参考答案:(1)由,得,所以,解不等式得,即,所以原不等式的解集是. (2)因为对任意的,都有,使得成立,所以,又,,所以,解得或,所以实数a的取值范围是或. 21. 已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数a>0.(Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若>0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,结合a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)法一:a=4时,求出f(x)的导数,得到切线方程根据新定义问题等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),结合函数的单调性求出即可;法二:猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为,然后加以证明即可.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),∵,∴…∵a>2,∴,令f′(x)>0,即,∵x>0,∴0<x<1或,…所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),…(Ⅱ)解法一:当a=4时,所以在点P处的切线方程为…若函数存在“类对称点”P(x0,f(x0)),则等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立.…①当0<x<x0时,f(x)<g(x)恒成立,等价于恒成立,即当0<x<x0时,恒成立,令,则φ(x0)=0,…要使φ(x0)<0在0<x<x0恒成立,只要φ(x)在(0,x0)单调递增即可.又∵,…∴,即.…②当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立时,.…∴.…所以y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为.…(Ⅱ)解法二:猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为.…下面加以证明:当时,…①当时,f(x)<g(x)恒成立,等价于恒成立,令…∵,∴函数φ(x)在上单调递增,从而当时,恒成立,即当时,f(x)<g(x)恒成立.…②同理当时,f(x)>g(x)恒成立.…综上知y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为.…22. 设|θ|<,n为正整数,数列{an}的通项公式an=sintannθ,其前n项和为Sn(1)求证:当n为偶函数时,an=0;当n为奇函数时,an=(﹣1)tannθ;(。
